Relatii in trapez, prezentate ca aplicatii la unele teoreme studiate in clasa a VII-a

Relatii in trapez, prezentate ca aplicatii la unele

teoreme studiate in clasa a VII-a

Ca aplicatie la teorema lui Thales poate fi prezentata problema P₁ : O paralela dusa la una din bazele unui trapez imparte laturile neparalele in segmente proportionale  care poate fi folosita ca lema in problemele cu sectiuni paralele cu baza in piramida si trunchi de piramida, cu extensie la Con si trunchiul de con.

P₂. O paralela dusa prin punctul de intersevtie al diagonalelor unui trapez la bazele acestuia, determina cu laturile neparalele un segmenst care este medie armonica a lungimilor bazeler trapezului

C

D

Demonstratie : In DADC(MO DC)T (1)

M

N

O

In D BCD(ON DCT (2)

Din    (1)si (2) rezulta [MO]s[NO] (3)

In triunghiul ADB, MO ABT

A

B

Adunand membru cu membru relatiile (1) si (3)

Obtinem 1=MOT MO = , dar MN = 2MO

si rezulta MN=

P

P₃. Punctul de intersectie al laturilor neparalele ale unui trapez, punctul de intersectie al diagonalelor sale si mijloacele bazelor sunt patru puncte coliniare

Q

O

N

M

D

C

B

A

Demonstratie:Ducem BQ AC(QIPO

In DPQB(QB OC)T(5)

Din P₁ avem si obtinem T OA QB.

deci AQBO paralelogram T [AN]s[NB]. Asemanator se

demonstreaza ca si cum [AN]s[NB]T[DM]s[MC].

Aceasta problema poate constitui la randul ei lema in rezolvarea

altor probleme.

P

A

Exemplu :   Fiind dat un paralelogram, construiti , numai cu rigla negradata , mijlocul unei laturi

( Etapa jud.Botosani 1987)

Solutie : Prelungim una din laturile neparalele ( exemplu AD)

Pe care luam un punct P. Fie PB DC=, AE DB=

D

C

M

Si PO AB=. Conform P₃T [AN]s[NB]

Propunem spre rezolvare problemele :

B

P₄     In orice trapez isoscel ortodiagonel inaltimea este

N

media aritmetica a lungimilor bazelor.

P₅ In orice trapez dreptunghic ortodiagonal inaltimea

este medie geometrica a lungimilor bazelor.

Bibliografie: Gh,Titeica: Culegere de probleme de geometrie,ed.Tehnica 1996

Colectia revistei de matematica Penta