SPATII ALE VECTORILOR LIBERI DIN E3

SPATII ALE VECTORILOR LIBERI DIN

1. Segmente orientate

Notam cu multimea tuturor punctelor spatiului euclidian cunoscut din geometria elementara. Dreptele si planele sunt submultimi ale lui . Punctul, dreapta planul si spatiul sunt notiuni primare legate prin anumite axiome cunoscute din geometria elementara.

Consideram multimea tuturor dreptelor din pe care o notam cu . Relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pesi imparte multimea in clase de echivalenta.

Definitia 1 Se numeste directia dreptei clasa de echivalenta a relatiei de paralelism din determinata de adica

Altfel exprimat, o directie este multimea tuturor dreptelor din spatiul paralele intre ele (fig.1) fiecare dreapta din aceasta multime fiind un reprezentant al directiei respective.

fig.1 fig.2 fig.3. fig.4

Definitia 2 Se numeste segment orientat orice pereche formata cu doua puncte A si B intr-o ordine determinata. Daca A este primul punct si B cel de-al doilea, segmentul orientat il vom nota cu (A,B) sau (fig.2). A se numeste originea iar B extremitatea segmentului orientat . Dreapta determinata de punctele A si B se numeste dreapta suport a lui .

Daca B = A , segmentul orientat (A,A) se numeste segment orientat nul; dreapta lui suport este nedeterminata.

Lungimea( norma sau modulul) unui segment orientat este distanta dintre cele doua puncte A si B.

Directia unui segment orientat este directia dreptei determinata de punctele A si B. Segmentele orientate se numesc opuse

.

Un segment orientat nenul determina unic dreapta AB si un sens de parcurs pe aceasta dreapta: sensul de la A la B.

O dreapta impreuna cu alegerea unui sens de parcurs se numeste dreapta orientata

O directie impreuna cu unul din cele doua sensuri posibile (fig.3) se numeste directie orientata

Definitia 3. Doua segmente orientate nenule care au acelasi suport au acelasi sens daca sensurile determinate (de ele) pe dreapta suport coincid. Doua segmente orientate nenule si de aceeasi directie si de suporturi distincte au acelasi sens daca extremitatile lor (adica B si D) se afla in acelasi

semiplan determinat de dreapta AB care uneste originile segmentelor (fig.4.) in planul dreptelor suport.

Definitia 4. Doua segmente orientate nenule se numesc echipolente daca au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasi lungime.

Daca si sunt echipolente vom nota .

Teorema 1 Relatia de echipolenta are urmatoarele proprietati:

1). este o relatie de echivalenta ;

2).(echipolenta opuselor)

3). date fiind segmentul orientat si punctul C, exista punctul D si este unic astfel incat

4).

Demonstratie.

Primele trei proprietati fiind usor de dovedit le propunem ca exercitiu. Demonstram cea de-a patra proprietate. Cand A,B,C,D nu sunt coliniare (fig.5) patrulaterul ABCD este un paralelogram (avand doua laturi opuse paralele si egale). Rezulta ca segmentele orientate si au aceeasi directie si aceeasi lungime. Ele au si acelasi sens deoarece D si C se afla in

acelasi semiplan determinat de AB, deci

Daca (fig.6) pentru a demonstra ultima proprietate consideram o dreapta arbitrara . Prin A,B,C,D ducem drepte paralele intre ele si neparalele cu d. Fie punctele de intersectie ale acestor paralele cu . Din egalitatea triunghiurilor rezulta deci au aceeasi directie.

Mai mult, au si acelasi sens intrucat B si D sunt in acelasi semiplan determinat de dreapta in planul dreptelor paralele Lungimile segmentelor sunt egale, egalitatea rezultand din egalitatea acelorasi triunghiuri. Deci . Pentru ca nu sunt coliniare putem folosi proprietatea 4) (demonstrata in acest caz):

fig.5 fig.6

Avem de asemenea ca deci, folosind proprietatea de tranzitivitate

2. Spatiul al vectorilor liberi din

Deoarece relatia de echipolenta din multimea este o relatie de echivalenta, ea imparte pe in clase de echivalenta. Vom nota cu clasa de echivalenta a lui , adica iar multimea claselor de echivalenta, multimea cat o vom nota cu .

Propozitia 2.

a) Corespondenta este o bijectie. Totodata ea este o transformare liniara.

b) Daca sunt doua puncte fixate in , corespondenta

cu este de asemeni o bijectie si avem

si

Demonstratia - tema

Pe baza afirmatiilor din Propozitia 2 vom determina pe o structura de spatiu vectorial. In acest scop vom defini pe doua operatii: adunarea si inmultirea cu scalari.

Definitia 5 Fie si doi vectori liberi oarecare din si reprezentantii lor (fig.8.) din unde adunarea a fost definita. Clasa segmentului fiind determinata definim suma celor doi vectori liberi prin relatia Daca este un numar real oarecare definim pe operatia de inmultire cu scalari cu ajutorul operatiei respective din , prin relatia unde este clasa determinata de segmentul in baza Propozitiei 2. Rezulta ca operatiile astfel definite nu depind de alegerea punctului O deci sunt bine definite. Rezulta deci ca este un spatiu vectorial real.

Definitia 6. Clasele de echivalenta ale segmentelor orientate din relativ la relatia de echipolenta se numesc vectori liberi.

Directia, sensul si lungimea vectorului liber sunt directia, sensul si lungimea care sunt comune segmentelor orientate ce definesc acel vector liber.

se numeste spatiul vectorilor liberi din . Vectorii liberi vor fi notati cu sau Pentru lungimea (norma) unui vector liber sau vom folosi corespunzator notatiile sau Vectorul liber care are lungimea unu se numeste versor sau vector unitate. Vectorul liber care are lungimea zero se numeste vectorul nul, Directia si sensul lui sunt nedeterminate. Doi vectori liberi si sunt egali si se scrie daca reprezentantii lor sunt echipolenti sau echivalent, daca au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasi lungime.

fig.8. fig.9.

Observatia 1. Un reprezentant al vectorului liber se poate obtine si pe o alta cale. De exemplu, daca se ia segmentul orientat care-l reprezinta pe cu originea in B (fig.9.) atunci si deci

Am obtinut astfel o regula practica de adunare a vectorilor liberi

numita regula triunghiului.

Observatia 2. Relatia de echipolenta a segmentelor orientate din mai poate fi definita si astfel : este echipolent cu daca mijlocul segmentului neorientat [AD] coincide cu mijlocul segmentului neorientat [BC] (fig.10); daca A = D atunci mijlocul este tot A).

fig.10.

Daca punctele A,B,C,D nu sunt pe o dreapta atunci daca si numai daca ABCD este un paralelogram.

Se constata direct pe cale geometrica, ca relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe

1. reflexivitatea: , mijlocul lui [AB] fiind unic;

2. simetria: , evident;

3. tranzitivitatea: si .

si aceasta proprietate este evidenta caci daca mijloacele segmentelor [AD] si [BC] coincid si de asemenea mijloacele segmentelor [DE] si [CF] coincid atunci mijlocul lui [AF] coincide cu mijlocul lui [BE].

Alegem in un punct O numit origine. Oricarui punct M din ii corespunde un vector si numai unul al carui reprezentant este Reciproc, la orice vector corespunde un punct si numai unul M astfel incat sa reprezinte pe . Rezulta ca multimile si sunt in corespondenta biunivoca, bijectia fiind unic determinata prin fixarea originii O. Vectorul liber se numeste vector de pozitie al punctului M fata de originea O.

Propozitia 3 Spatiul euclidian este un spatiu afin.

Demonstratie. Daca identificam un segment orientat cu bipunctul si consideram functia

definita prin relatia unde este vectorul liber corespunzator lui atunci constatam determina un spatiu afin.

3. Proiectie ortogonala pe o dreapta (pe un plan)

3.1. Unghiuri

Definitia 7 Orice vector liniar nenul care are directia determinata de o dreapta d se numeste vector director al dreptei d. Daca este versor de directie d atunci se numeste versor director al dreptei d (fig.11).

O dreapta pe care s-a ales un sens de parcurs se numeste dreapta orientata. Daca este vectorul director al unei drepte d atunci se accepta ca sens pozitiv, (+),pe dreapta d sensul vectorului sau director .

Definitia 8. Unghiul dintre doi vectori liberi nenuli este unghiul determinat de segmentele lor reprezentative: si respectiv. Daca cel putin unul dintre vectorii liberi si este atunci unghiul dintre si este nedeterminat.

Evident, unghiul dintre si nu depinde de punctul O in care consideram reprezentantii lui si intrucat unghiurile cu laturile paralele si de acelasi sens sunt egale (fig.12).

fig.11. fig.12.

Definitia 9 Vectorii se numesc ortogonali daca unghiul dintre ei este . Se accepta ca este ortogonal pe orice vector.

Definitia 10. Unghiul dintre un vector si o dreapta orientat' de vector director este unghiul dintre si (fig.13).

fig.13

Unghiul dintre doua drepte orientate este unghiul format de vectorii lor directori (fig.14)

fig.14

3.2. Proiectia ortogonala a unui vector liber pe o dreapta

(pe un alt vector)

Fie o dreapta d si un vector liber nenul de reprezentant Prin A si B ducem planele si , respectiv perpendiculare pe d.

Fie (fig.17)

fig.15

Fie un vector director al dreptei d si unghiul dintre si (totodata ). Daca unghiul dintre si este egal cu sau echivalent are acelasi sens cu (si totodata cu d). Daca atunci si (segmentul orientat nul). Daca atunci ; in acest caz are sens contrar lui (fig.16).

fig.16.

Teorema 4 Vectorul liber nu depinde de segmentul orientat care-l reprezinta pe . El depinde de directia dreptei d (nu si de dreapta d).

Demonstratie: Fie un alt reprezentant al lui si construit dupa acelasi procedeu de constructie a lui pe o dreapta Consideram cazul cand unghiul dintre si d este ascutit (fig.15) demonstratia se face analog cand unghiul este obtuz (fig.18).

fig.17.

Cum rezulta ca segmentele orientate (Fig.15) si (fig.17) au aceeasi directie. Considerand directia orientata prin vectorul director dreptele d si au acelasi sens de parcurs ; in acest caz si au acelasi sens. Rezultatul ramane valabil si cand .

Triunghiurile dreptunghice si sunt egale avand ipotenuzele egale si . Rezulta de aici ca . Am aratat astfel ca segmentele orientate si au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasi marime, deci sunt echipolente si in

consecinta .

Pe baza acestei teoreme putem da urmatoarea definitie:

Definitia 11 Vectorul liber (fig.15) se numeste proiectia ortogonala a lui pe dreapta d si se noteaza

Consecinta. Daca atunci ceea ce rezulta din (teorema 4).

Rezulta ca proiectia ortogonala a lui pe o dreapta d depinde numai de directia lui D. De aceea daca este un vector director al dreptei d atunci putem vorbi de proiectia ortogonala a lui pe pe care o notam Evident este o functie si mai mult este o transformare liniara dupa cum reiese din urmatoarea teorema

Teorema 5 Fie si , proiectia ortogonala pe . Aplicatia are urmatoarele proprietati:

(1)

(2)

fig.18.    fig.19.

Demonstratie. Fie versorul dreptei orientate d si O un punct pe dreapta d. Fie si doi vectori perpendiculari pe si perpendiculari intre ei, este o baza in . Descompunand vectorul dupa vectorii acestei baze (fig. 18) obtinem , unde .

Deci. La fel, avem

unde

deci

Observatie. Relatiile (1) si (2) atesta ca este o transformare liniara.

Fie versorul unui vector nenul adica Pentru orice vector proiectia pe este vector coliniar cu deci exista un numar real (Fig.19) astfel incat

(3)

fig.20    fig.21

Definitia 12. Numarul real definit prin relatia (3) se numeste marimea algebrica a proiectiei ortogonale

Din proprietatile (1) si (2) ale lui rezulta

(4)

(5)

Din triunghiul dreptunghic (fig.21) rezulta

(6)

4. Produs scalar

Produsul scalar a fost definit in Capitolul 2(definitia 2.2) pentru un spatiu vectorial real oarecare. Teorema care urmeaza poate servi drept o definitie in a produsului scalar.

Teorema 6 Functia definita prin

(7)

este un produs scalar pe

Demonstratie. Verificam axiomele din definitia produsului scalar.

1)

2)

3)

Axioma 1) este indeplinita intrucat fiind unghi neorientat.

2) Aplicam comutativitatea:

si proprietatea care rezulta din 7 pe

baza relatiei (10):

(8)

avem deci

(9)

iar pe baza relatiilor (4) si (5) rezulta de aici

deci axioma a doua este indeplinita.

3)

Propozitia 7. Doi vectori distincti sunt ortogonali daca

si numai daca produsul lor scalar este egal cu zero. Demonstratia este evidenta.

Propozitia 8. Fie o baza in si doi vectori si

Produsul scalar este dat daca se cunosc valorile lui pe multimea .

Pe baza proprietatilor produsului scalar avem:

(10)

deci produsul scalar este cunoscut daca se cunosc cele noua produse Expresia(10) se scrie mult mai simplu daca folosim baze ortonormate.

Definitia 13. Se numeste baza ortonormata in si se noteaza cu o baza formata din versori ortogonali adica

Definitia 14. Reperul pentru care baza este ortonormata se numeste reper ortonormat sau reper cartezian.

Propozitia 9. Daca vectorii sunt dati prin expresiile lor analitice in baza ortonormata

atunci produsul scalar are expresia analitica

(11)

Demonstratie. Relatia (11) rezulta din (14) daca luam si tinem seama de definitia bazei ortonormate (definitia 13.):

(12)

unde este simbolul lui Kronecker.

Consecinte.

Daca atunci deci

(13)

Daca sunt raportati la baza avem

(14)

Produs vectorial

Consideram cele doua repere ortonormate din fig. 22. Observam

ca ele nu pot fi suprapuse printr-o miscare in spatiu astfel incat 0,A,B,C sa fie respectiv in

fig.22    fig.23

Daca plasam un surub (cu filatura obisnuita 'dreapta') pe si-i imprimam o miscare de rotatie de la spre , el va inainta in sensul indicat de. Dimpotriva rotind spre , surubul va inainta in sens opus. Reperul care satisface regula surubului 'se numeste reper drept sau orientat pozitiv', iar reperul (fig.22) se numeste reper stang sau orientat negativ. Spatiul punctual euclidian se numeste orientat daca daca este raportat la unul din reperele din fig.22. Orice reper ortonormat este fie drept fie stang.

Definitia 15 Produsul vectorial al vectorilor necoliniari este vectorul (fig.23) care are:

a) directia perpendiculara pe planul determinat de ;

b) sensul dat de regula surubului;

c) norma definita de formula

(15)

Daca , prin definitie (vectorul se considera paralel cu orice vector).

Observatii

1) Formula (15) este valabila si pentru vectorii coliniari

2) Norma este egala cu aria paralelogramului construit pe reprezentantii ai vectorilor respectiv.

Daca , vectorii formeaza un reper drept.

Teorema 10. Produsul vectorial este o aplicatie definita pe care are proprietatile:

1) (anticomutativitatea)

2)

3)

4)

5) (identitatea Lagrange)

Demonstratie. Proprietatile 1), 2) si 4) rezulta direct din definitie. Pentru a demonstra proprietatea 3) consideram fara a restringe generalitatea, ca este versor . Fie un plan perpendicular in O pe (fig.23) si proiectia ortogonala a lui pe planul , ceea ce notam Avem

(16)

si

(17)

Rotim planul in sens trigonometric in jurul lui O.

Vectorul trece in ceea ce notam Avem deci adica

(18)

Observam de asemenea ca

Directia lui este directia normalei la planul vectorilor si deci si la fel ca si . Din constructia lui rezulta ca sensul lui este astfel incat reperul este orientat pozitiv la fel ca si reperul si au si acelasi sens deci iar, dupa (18), avem

(19)

deci

(20)

Cum R si sunt transformari liniare, este de asemenea transformare liniara (a lui in ), deci

(21)

Din (20) si (21) rezulta proprietatea 3)

unde (22)

Daca nu este versor, iar

deci efectuand constructia precedenta pentru obtinem Cu aceasta si atunci proprietatea 3) se deduce din (21) scrisa pentru in loc de , prin inmultire cu

si folosind proprietatea 2) avem

deci si in acest caz

Proprietatea 5) se obtine pornind de la identitatea

care se inmulteste cu numarul real

deci

Teorema 11 (expresia analitica a produsului vectorial). Daca

si atunci

Demonstratie. Produsul vectorial este o aplicatie biliniara in baza proprietatilor 2) si 3) (teorema 10) si in consecinta,

Avem insa

(23)

Se poate arata usor ca

(24)

tinind seama de (24), din (23) obtinem expresia analitica(din enunt) a produsului vectorial in baza ortonormata

Pentru simplificarea scrierii produsul vectorial se prezinta sub forma de determinant formal

(25)

cu recomandarea ca acesta sa se dezvolte dupa prima linie.

Definitia 16. Dublul produs vectorial este un produs de forma

sau

Notam si avem si . Cum este perpendicular pe planul vectorilor si iar e perpendicular pe normala la plan rezulta ca sunt coplanari. Prin urmare avem

(26)

inmultim scalar cu si tinand seama ca rezulta

(27)

si de aici cu. Din (26) si (27) obtinem pentru

(28)

Pentru a-l determina pe particularizam vectorii in (28) luand, de exemplu, Obtinem astfel

adica in (28), deci

(29)

Analog se demonstreaza ca

(30)

Aplicatie. Dandu-se , (fig.25), sa se gaseasca aria triunghiului Aria triunghiului M₁ M₂ M₃ este jumatate din aria paralelogramului construit pe segmentele reprezentative si , deci

unde

iar

fig.24 fig.25

6. Produs mixt

Definitia 17. Produsul mixt al vectorilor liberi este numarul

Propozitia 6. Modulul produsului mixt a trei vectori necoplanari este egal cu volumul paralelipipedului construit pe reprezentantii cu originea comuna a vectorilor (fig.26)

Demonstratie Fie avem

Deci

(31)

Teorema 13. Produsul mixt are urmatoarele proprietati :

1.

2.

3.

4.

daca si numai daca sunt coplanari.

fig.28

Demonstratie. Proprietatile 1), 3) si 4) se deduc pornind de la definitia produsului mixt si utilizand proprietatile (pentru 1)), si (pentru 3) si 4)). Proprietatile 2) si 5) rezulta folosind teorema 12.

Teorema 14. (Expresia analitica a produsului mixt). Daca vectorii sunt dati in baza ortonormata atunci produsul lor mixt are urmatoarea expresie analitica:

(32)

unde

Demonstratie. Produsul vectorial are expresia

iar produsul scalar fiind egal cu suma produselor coordonatelor corespunzatoare avem

Observatii.

1) Proprietatile produsului mixt rezulta si din expresia

lui analitica.

2) Produsul mixt este pozitiv sau negativ dupa cum vectorii necoplanari determina un reper orientat pozitiv respectiv negativ. Intr-adevar din relatia de definitie a produsului mixt avem

deci produsul este numar real pozitiv sau negativ dupa cum unghiul sau in primul caz vectorii necoplanari formeaza un reper drept intrucat vectorul se afla de aceeasi parte a planului OBC ca si

3) Consideram egalitatea (proprietatea 2) si folosind comutativitatea inmultirii scalare obtinem

Rezulta astfel relatia

(33)

Produsul mixt se mai noteaza