Matematica din spatele sporturilor extreme (Bungee Jumping)

Matematica din spatele sporturilor extreme (Bungee Jumping)

Coarda Elastica Constanta Sariturii

A =5 N/m

B =40 N/m

C =500 N/m

Rezistenta aerului pe care o infrunta saritorul este : R= a1*v - a2*|v|*v unde: A1=1

A2=1

Lungimea coardei neintinse este de 30 de metri. Saritorii sunt la 80 de metri de pamant.

Pentru a rezolva aceasta problema de fizica trebuie sa :

1) determinam toate fortele care actioneaza asupra corpului;

2) desemnam o diagrama libera a corpului;

3) aplicam legea a doua a lui Newton;

4) rezolvam ecuatia.

Determinarea fortelor care actioneaza asupra corpului:

Greutatea (G):

G = m*g

m = 90 kg

g = 10 m/s^2

Rezistenta Aerului (R):

R = a1*v+a2*|v|*v

a1 = 1

a2 = 1

v = dx/dt

Forta elastica c actioneaza asupra corzii (Fe):

Fe = k*x daca x>0

Fe = 0 daca x<0

Diagrama libera a corpului:

Legea a doua a lui Newton:

F = m*a

G-R-Fe = m*a

mg-Fe-a1*v+a2*|v|*v    =m*a

unde v = dx/dt si a = dv/dt

Rezolvarea ecuatiei :

Trebuie sa folosim rezolvarea ODE. Aceasta rezolva probleme cu valori intiale pentru ecuatii diferentiale ordinare (EDO). In acest exemplu folosim ODE45.

Sintaxa pentru ODE45 este:

[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options,p1,p2)

odefun - o functie care evalueaza partea din dreapta a ecuatiilor diferentiale. Toate rezolvarile rezolva sisteme de ecuatii de forma y'= f(t,y)

tspan - Un vector care specifica intervalul de integrare, [t0,tf]. Pentru a obtine solutii la timpuri specifice (toate crescatoare sau toate descrescatoare), folosim tspan = [t0,t1,,tf].

y0 - Un vector de conditii initiale.

Options - Argumentul optional de integrare creat folosind functia odeset. Vedeti odset pentru detalii.

p1,p2.. - Parametrii optionali pe care rezolvarea le trece la odefun si la toate functiile specificate la optiuni.

Intai trebuie sa cream functia odefun. Trebuie sa rescriem ecuatia noastra pentru ca aceasta sa ia forma y'=f(t,y).

Presupunem :

X1=x

X2=dx/dt

Prin urmare,

X1dot = x2

X2dot = g - Fe/m - a1/m*x2 - a2*|x2|*x2

function dxdt = bungeeode (t,x,k)

m=90;

g=10;

a1=1;

a2=1;

G=m*g;

R= a1*x(2)+a2*abs(x(2))*x(2);

if x(1)>0

Fe = k*x(1);

else

Fe = 0;

end

dxdt= [ x(2) ; (W-Fe-R)/m];

Durata poate fi de la 0 la 50 s.

Pentru a folosi functia prescrisa , atribuim optiunea ca [ ].

In fisierul script:

figura [t,xsol]=ode45(@bungeeode,[0 50],[-30 0],[],5);

plot(t,50-xsol(:,1))

figura [t,xsol]=ode45(@bungeeode,[0 50],[-30 0],[],40);

plot(t,50-xsol(:,1))

figura [t,xsol]=ode45(@bungeeode,[0 50],[-30 0],[],500);

plot(t,50-xsol(:,1))

Solutie : Cea mai buna alegere este coarda elastica B.