Logaritmi

Logaritmi

1). Logaritmi

Fie a>0 un numar realsi a 1. Ecuatia de forma (1) are o solutie unic determinata notata prin: (2).

se numeste logaritmul numarului pozitiv N in baza a.

Din (1) si (2) se obtine , care ne arata ca logaritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza a pentru a obtine numarul dat.

De exemplu, a calcula ,inseamna a gasi un numar real x asa incat sa avem x² = 32. rezulta x = 5.

a). In practica se folosesc logaritmii in baza zece care se mai numesc logaritmi zecimali. Se noteaza cu in loc de

a). In matematica se folosesc logaritmii in baza care se numesc logaritmi naturali si se noteaza cu in loc de

2). Proprietatile logaritmilor

1. Daca A si B sunt doua numere positive, atunci are loc:

Proprietatea se poate extinde pentru n numere pozitive si avem :

2. .

Daca A este un numar pozitiv si m un numar real arbitrar, atunci are loc :

Daca A este un numar pozitiv si n 2 un numar natural, atunci are loc : Proprietatea 4 poate fi privita ca un caz particularal proprietatii 3.

3). Schimbarea bazei logaritmului aceluiasi numar

Daca a si b sunt doua numere pozitivediferite de 1, iar A un numar pozitiv oarecare, are loc egalitatea:

Numita formula de schimbare a bazei unui logaritm.

Daca in egalitatea de mai sus, A = a, atunci formula devineaaa ;

4). Operatia de logaritmare a unei expresii

Operatia de logaritmare are scopul de a transforma operatii complicate de inmultire, impartire si ridicare la putere in operatii de adunare, scadere si impartire la numere naturae.

Sa se logaritmeze expresia: E =

Se logaritmeaza expresia intr-o baza oarecare a :

In general, daca E este o expresie algebrica in care apar produse de puteri si radicali, putem sa-i asociem o expresie, notata logE , in care apar sume, diferente de logaritmi inmultite cu anumite numere rationale.

Functia logaritmica

Prin definitie, se numeste functie logaritmica functia , unde a > 0, a

Proprietati 

1. , ceea ce inseamna ca .

Functia logaritmica este monotona si anume daca a>1, functia este strictcrescatoare, iar daca 0<a <1, functia este strict descrescatoare.

Functia logaritmica este bijectiva.

Functia logaritmica este inversabila. Inversafunctiei ligaritmice in baza a este functia exponentiala .

Daca x avem

si daca , atunci .

6). Graficu functiei exponentiale

Graficul functiei exponentiale se construieste prin puncte.

Exemplu

Sa se construiasca graficul functiei f: (0,+ R, f(x)=, pentru

Se intocmeste un tablou de valori pentu cele doua cazuri :

Graficele celor doua functii reprezentate mai jos au proprietatile :

1).Graficele se gasesc la dreapta axei Oy ;

2).Trec prin punctul de coordonate (1, 0) ;

3).Graficul fiecarei functii este construit dintr-o singura ramura care ,,urca'' daca

baza a > 1 si ,,coboara'' daca baza 0<a<1 

4).Graficul se apropie din ce in ce mai mult de axa Oy pozitiva daca 0<a<1  si de axa Oy negativa daca a > 1.

5).Graficul functiei logaritmice este simetricul graficului functieiexponentiale fata de prima bisectoare.

Probleme rezolvate

E1. C3-2. Sa se calculeze: a). ; b). ; c).

E1. C3-2. Rezolvare. a). =x T

b). =x T; c). =xT

T

E2. C3-2. Sa se calculeze: a). ; b).

c).  ; d).

E2. C3-2. Rezolvare

a).

b).

c).

d).

E3. C3-2. Sa se arate ca expresia nu depinde de x.

E3. C3-2. Rezolvare. Avem

E4. C3-2. Sa se reprezinte pe acelasi sistem de axe graficele functiilor :

si

E4. C3-2. Rezolvare. Se intocmesc tabele de valori pentru cele doua functii, considerand valori care sa se poata calcula usor.

Graficele celor doua functii sunt simetrice fata de prima bisectoare a sistemului de axe Oxy.

Fisa de studiu

S1. C3-2. Sa se calculeze:

a). ; b). ;

c). ; d). .

S2. C3-2. Care dintre urmatoarele numere este mai mare:

a). ; b).

c). ; d).

S3. C3-2. Sa se determine valorile lui x pentru ca urmatorii logaritmi sa aiba sens :

a). ; b).

c). ; d).

S4. C3-2. Determinati valorile lui x pentru care:

a). ; b).

c).; d).

S5. C3-2. Stiind ca lg7 = p si lg5 = q , sa se exprime in functie de p si q

a). ; b).; c). ; d).

S6. C3-2. Sa se determine expresia lui x astfel incat ;

a).

b).

c).

S7. C3-2. Sa se arate ca expresiile urmatoare nu depend de x

a). ; b).

S8. C3-2. Sa se logaritmeze expresiie:

a).  ; b).

c).  ; d).

S8. C3-2. Sa se reprezinte graphic functiile:

a).

b).

c).

d).

Ecuatii

1). Ecuatii exponentiale

Se numeste ecuatie exponentiala, ecuatia in care necunoscuta este exponent sau in care este exponentul este o expresie.

In practica, atunci cand avem de rezolvat o ecuatie exponentiala, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun conditii de existenta exponentilor si bazei atunci cand este cazul ;

Pasul 2. se fac transformari echivalente folosind proprietatie functiei exponentiale pana se obtin ecuatii agebrice cunoscute ;

Pasul 3. se verifica daca valorile obtinute la pasul 2 apartin domeniului ecuatiei sau se fac veificari in ecuatia data initial.

a). Ecuatii de tipul

Pe baza injectivitatii functiei exponentiale ecuatia data este echivalenta cu ecuatia : . In aceste ecuatii b trebuie exprimat ca o putere a ui a(atunci cand este posibil).

Exemplu. Sa se rezolve ecuatia :

Prin rezolvarea ecuatiei de gradul doi se obtin solutiile : S = .

b). Ecuatii de tipul

Pe baza injectivitatii functiei exponentiale ecuatia data este echivalenta cu ecuatia algebrica , care se rezolva cu metode cunoscute.

Exemplu. Sa se rezolve ecuatia :

T

Prin rezolvarea ecuatiei de gradul doi se obtin solutiile : S = .

c). Ecuatii de tipul

In acest caz se logaritmeaza ecuatia convenabil intro anumita baza si apoi se fac transformari pentru a obtine o ecatie algebrica mai simpla.

Exemplu. Sa se rezolve ecuatia :

Pe baza injectivitatii functiei logaritmice se obtine prin logaritmare in baza 10 ecuatia echivalenta :

d). Ecuatii de tipul

In acest caz se face substitutia si se formeaza o ecuatie

de gradul doi, de forma , cu solutiile careia se revine la substitutia facuta. In final se verifica daca valorile obtinute verifica conditiile de existenta ale ecuatiei sau se verifica direct daca egalitatea data initia este adevarata.

Exemplu. Sa se rezolve ecuatia :

Se observa o substitutie de forma :

T.

Ecuatia de gradul doi atasata , are solutiile . Revenind la substitutie, se accepta numai t = 16. Se obtine .

d). Ecuatii de tipul

.

Ecuatia de gradul doi atasata , are solutiile . Revenind la substitutie, se accepta numai valoarea pozitiva t = 16. Se obtine .

2). Ecuatii logaritmice

Se numeste ecuatie logaritmica, ecuatia in care necunoscuta este sub logaritm sau la baza logaritmului.

In practica, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun conditii de existenta asupra bazei logaritmului si a expresiilor de sub logaritm ;

Pasul 2. se fac transformari echivalente folosind proprietatiele functiei logaritmice si a logaritmilor pana se obtin ecuatii agebrice cunoscute ;

Pasul 3. se verifica daca valorile obtinute la pasul 2 apartin domeniului ecuatiei sau se fac veificari in ecuatia data initial.

a). Ecuatii de tipul .

Pe baza definitiei logaritmului ecuatia data este echivalenta cu ecuatia de forma. De aici se obtin solutiile.

b). Ecuatii de tipul

.

Pe baza injectivitatii functiei logaritmice ecuatia data este echivalenta cu ecuatia algebrica , care se rezolva.

c). Ecuatii de tipul

In acest caz se face substitutia si se formeaza o ecuatie de gradul doi, de forma , cu solutiile careia se revine la substitutia facuta. In final se verifica daca valorile obtinute verifica conditiile de existenta ale ecuatiei sau se verifica direct ca

egalitatea data initial sa fie adevarata.

3). Sisteme de ecuatii exponentiale si logaritmce

Se numeste sistem de ecuatii exponentiale si logaritmice, sistemul in care necunoscutele sunt la exponent, la baza unui logaritm sau in expresii sub logarimi.

In practica, atunci cand avem de rezolvat un sistem de ecuatii exponentiale si logaritmice, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun conditii de existenta asupra bazelor, exponentilor atunci cand este cazul ;

Pasul 2. se fac transformari si substitutii convenabile folosind proprietatie functiei exponentiale si logaritmice pana se obtin sisteme agebrice cunoscute ;

Pasul 3. se verifica daca valorile obtinute la pasul 2 apartin domeniului sistemului sau se fac veificari in ecuatiile sistemului dat initial.

4). Inecuatii exponentiale si logaritmce

Se numesc inecuatii exponentiale sau logaritmce, inecuatiile in care necunoscutele sunt la exponent, la baza unui logaritm sau in expresii sub logarimi.

In practica, atunci cand avem de rezolvat o inecuatie exponentiala sau logaritmica, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun conditii de existenta asupra bazei, exponentilor, expresiilor desub logaritmi, atunci cand este cazul ;

Pasul 2. se fac transformari si substitutii convenabile folosind proprietatie functiei exponentiale si logaritmice pana se obtin inecuatii agebrice cunoscute ;

Pasul 3. se rezolva inecuatiile obtinute.

Pasul 4. se intersecteaza soutiile obtinute cu nultimea de existenta impusa pentru a obtinesolutia finala.

Pentru inecuatii exponentiale

a>1    0<a<1

a>1    0<a<1

Se observa ca :

a). Daca baza exponentialei a >1, sensul inegalitatii dintre imagini se pastreaza pentru argumente.

b). Daca baza 0 < a < 1, sensul inegalitatii dintre imagini se schimba pentru argumente.

Exemplul 1. Sa se rezolve inecuatia :.

Inecuatia nu are restrictii, domeniul maxim fiind R. Deoarece si folosind faptul ca baza este supraunitara, se obtine:

Pentru inecuatii logaritmice

Se observa ca :

a). Daca baza logaritmului este a >1, sensul inegalitatii dintre imagini se pastreaza pentru argumente.

b). Daca baza logaritmului este 0 < a < 1, sensul inegalitatii dintre imagini se schimba pentru argumente.

Exemplul 2. Sa se rezolve inecuatia : .

Domeniul inecuatiei este cerut de . Deoarece , rezulta ca ,

Solutia inecuatiei este data de intersectia :

Probleme rezolvate

E1. C3-3. Sa se rezolve ecuatia : .

E1. C3-3. Rezolvare. Se logaritmeaza tn baza 10 :

T.

Printr-o noua logaritmare in aceeasi baza, rezulta

E2. C3-3. Sa se rezolve ecuatia : .

E2. C3-3. Rezolvare. Se logaritmeaza in baza 10 :

Dupa calcule si scoaterea factorului comun x, rezulta ca :

T.

E3. C3-3. Sa se rezolve ecuatia : .

E3. C3-3. Rezolvare. Conditiile de existenta pentru logaritm sunt :

.

Dupa transformarea membrului doi in logaritm si din propretatatea de injectivitate a functiei logaritmice, rezulta ecuatia:

.

E4. C3-3. Sa se rezolve ecuatia : .

E4. C3-3. Rezolvare

Ecuatia se poate rezova printr-o substitutie. Se observa ca prin impatrtirea la se obtine T. Facand substitutia , rezulta ca ecuatia atasata =0 are solutiile .

Pentru solutia pozitiva acceptata se obtine solutia ecuatiei date printr-o logaritmare in baza 10: .

E5. C3-3. Sa se rezolve ecuatia : .

E5. C3-3. Rezolvare. Conditiile de existenta sunt :

Din proprietatea de injectivitate a functiei logaritmice, rezulta egalitatea argumentelor :

.

Soutia acceptata de conditiile de existenta este x = 4.

E6. C3-3. Sa se rezolve sistemul :

E6. C3-3. Rezolvare. Nu sunt necesare conditii de existenta pentru ecuatiile sistemului. Multimea maxima este R R. Dupa transformari ale puterilor se obtine sistemul echivalent

E7. C3-3. Sa se rezolve sistemul :

E7. C3-3. Rezolvare Se impun conditiile de existenta pentru ecuatiile sistemului :. Se obtine succesiv :

.

Sistemul simetric are solutiile simetrice

TT

Al doilea sistem simetric cu solutiile ecuatiei atasate

T,

nu verifica conditiile initiale ale sistemului.

E8. C3-3. 16.Daca si sa se rezolve sistemul

Fisa de studiu

S1. C3-3. Sa se rezolve ecuatiile ;

a). ; b). ; c). ; d).

e). ; f).

S2. C3-3. Sa se rezolve ecuatiile ;

a). ; b).

c).

S3. C3-3. Sa se rezolve ecuatiile ;

a). ; b).

c). ; d).

S4. C3-3. Sa se rezolve ecuatiile ;

a). ; b).

c). ; d).

S5. C3-3. Sa se rezolve ecuatia :

a).

S6. C3-3. Sa se rezolve ecuatia :

S7. C3-3. Sa se rezolve ecuatiile :

a). .

b). .

S8. C3-3. Sa se rezolve ecuatia:

S9. C3-3. Sa se rezolve ecuatia:

S10. C3-3. Sa se rezolve ecuatia:

S11. C3-3. Sa se rezolve ecuatia:

S12. C3-3. Sa se rezolve ecuatia:

S13. C3-3. Sa se rezolve ecuatia:

S14. C3-3. Sa se verifice identitatea:

S15. C3-3. Sa se rezolve inecuatiile:

a). ; b). ;

S16. C3-3. Sa se rezolve in R R sistemele:

a). ; b). ;

c). ; b). .

Exercitii de aprofundare

A1. Sa se verifice identitatea

.

Deoarece prin schimbarea bazei logaritmului obtinem . . Ramane de demonstrat prin inductie ca: .

A2. Sa se gaseasca perechile de numere reale (x,y) care verifica inegalitatea

A3. Daca atunci daca si numai daca

A4. Sa se rezolve inecuatia

A5. Sa se arate ca nu exista numere reale astfel incat, daca a si b sunt numere prime intre ele, si sa fie amandoua rationale.

A6. Sa se rezolve ecuatia

A7. Sa se rezolve ecuatia

A8. Sa se verifice identitatea:

Rezolvari

A2. Conditiile de existenta:

- multime simetrica si Deoarece adica deci baza logaritmilor este subunitara. Trecem logaritmii la baza cos1 si atunci inecuatia este echivalenta cu

Se observa ca inecuatia este simetrica in raport cu x, deci daca (x,y) este solutie, atunci si (−x,y) este solutie. Astfel solutiile inecuatiei sunt puncte ale planului simetrice fata de axa Vom considera deci solutiile inecuatiei pentru si Avem urmatoarele patru cazuri:

Avem , punctele sunt situate sub semidreapta

, punctele sunt situate deasupra semidreaptei

, punctele sunt situate intre dreptele de ecuatie si ;

, punctele sunt situate la dreapta dreptei de ecuatie

, punctele sunt situate intre dreptele si || Ox

, punctele sunt situate deasupra dreptei Ox

Rezulta urmatoarele sisteme de inecuatii:

      Solutiile sunt in regiunea hasurata vertical.

Nu are solutii.

Are solutii in regiunea hasurata orizontal.

Are solutii in regiunea hasurata oblic.

Pentru inecuatia initiala vom considera si solutiile simetrice fata de axa . Evident, frontierele acestor regiuni nu reprezinta solutii, pentru ca inegalitatile sunt stricte.

A3.Inegalitatea este echivalenta cu

Fie functia

este punctul de minim. Se poate aplica teorema lui Fermat. Rezulta ca

.

Reciproc, daca

.

. Avem

Din acest tablou se vede ca

A4. Ecuatia , are solutia x=2, care este unica asa cum rezulta din faptul ca functia este strict descrescatoare. Semnul functiei:

daca ;

daca

A5. Presupunem, prin absurd, ca exista astfel incat

si ca exista astfel incat

contradictie pentru ca , a si b fiind prime intre ele,

A5. Punem conditii de existenta:

Ecuatia devine succesiv:

sau sau

A7. Punem conditii de existenta: Pentru sunt puse in enunt

daca , daca intrucat Deci primul radical este egal cu iar al doilea radical astfel incat ecuatia devine .

Pentru explicitarea modulului, avem

Ecuatia devine

, prin ipoteza.

Daca care arata ca acest x este solutie.

Daca si deci acelasi x este solutie. Deci este solutie.

Ecuatia devine

care admite solutii numai daca

.

Ecuatia admite solutiile si , numai daca .

A8. Pentru , egalitatea este verificata. Acum Schimband baza, trecand la baza x, avem succesiv:

c.c.c.d.

Probleme nerezolvate

Se considera functia , data de legea

Sa se arate ca functia este o bijectie si sa se construiasca inversa ei.

Sa se rezolve in R ecuatiile:

. Se considera numerele reale

a) Sa se arate ca b). Care dintre numerele reale urmatoare

cu este mai mare.

Sa se determine toate numerele reale , astfel incat inegalitatea

, sa fie adevarata pentru orice real.

5. Sa se calculeze suma:

Sa se afle domeniul maxim de definitie al functiei f :E RR data de legea f(x)= ; f(x)=arcsin(lnx) .

Sa se rezolve inecuatia :

Sa se rezolve ecuatia : =2,unde este un parametru real,iar a>0.

Fie a,b,c numere reale distincte si presupunem ca sunt numere reale astfel incat pentru orice numar real x .Sa se arate ca

Sa se rezolve inecuatia : , 0 < a < 1.

Sa se determine relatia intre a si b,daca x

Sa se rezolve in R ecuatiile:

.

13.Sa se determine toate numerele reale m, astfel incat inegalitatea

sa fie adevarata pentru orice x real.

14.Sa se rezolve inecuatia .

Sa se reprezinte grafic functia

unde

Sa se demonstreze inegalitatea unde x>2 si N>1 si apoi

Sa se determine valorile reale ale lui a, pentru care inegalitatea este adevarata pentru orice x real.

Se considera functia cu

a.      Sa se studieze monotonia functiei f.

b.      Sa se rezolve ecuatia:

19.Sa se rezolve ecuatia:

20. Sa se gaseasca perechile de numere reale (x,y) care verifica inegalitatea

21. Daca atunci daca si numai daca

22. Sa se rezolve inecuatia

23. Sa se arate ca nu exista numere reale astfel incat, daca a si b sunt numere prime intre ele, si sa fie amandoua rationale.

24. Sa se rezolve ecuatia:

25. Sa se rezolve ecuatia

Sa se verifice identitatea:

Sa se rezolve inecuatia :

Se considera ecuatia este un parametru,, iar a constanta reala, cu a >0 si a Sa se determine m, astfel incat :

a). ambele radacini sa fie in [0,3]; b). una din radacini sa fie in [0,3].

Sa se reprezinte grafic unde a>0, a

Sa se rezolve ecuatia: unde A,p,q sunt constante: A>0, px>0, , p>0, ,q>0, , pq>0,

Sa se arate ca 4<

Sa se arate ca functia definita prin cu a supraunitar, este bijectiva.

Sa se arate ca

34.Fie functia f:[0,1], f(x)=, unde a,b>0,.

a.      Sa se arate ca f este descrescatoare pe si crescatoare pe

b.      Sa se arate ca pentru orice x[0,1] avem

Fie functia f(x)=, unde a>0, m.Sa se determine m, astfel ca domeniul de definitie al functiei f sa fie R. Sa se determine minimul sau maximul lui f(x).

36.a. Se da si N>0, . Sa se exprime si in functie de a si b.

b. Sa se arate ca unde A>0, x,y>0, iar m,n

Fie . Sa se arate ca daca si numai daca

Sa se rezolve ecuatia

Sa se arate ca functia are un minim. Sa se arate ca , oricare ar fi

40.a) Sa se arate ca:

b). Sa se rezolve ecuatia:

41.a). Sa se arate ca daca si , atunci .

b). Tinand seama de rezultatul de la punctul a. si inegalitatea sa se arate ca daca si si , atunci

Sa se demonstreze inegalitatea , unde sunt termenii unei progresii aritmetice cu ratia , daca este cea mai mare valoare a functiei

Sa se rezolve ecuatia