Schimbarea de variabila in integrala definita. Consideratii metodice

Schimbarea de variabila in integrala definita. Consideratii metodice

Programa actuala de analiza matematica,la clasa a XII-a,la capitolul Primitive prevede numai:

Primitivele unei functii.Integrala nedefinita a unei functii,proprietati ale integralei nedefinite:liniaritate.Primitive uzuale.Dupa care urmeaza capitolul:Integrala definita.

Nu intalnim aici metode de calcul al primitivelor:integrarea prin parti,schimbarea de variabila,integrarea rationala.

Aceste metode sunt prevazute la integrala definita;si consider ca intai sa se faca schimbarea de varibila apoi integrarea prin parti.

Teorema1.(formula de schimbare de variabila) Fie φ: [a,b] →J, f: J→R, unde J este un interval din R, cu proprietatile:

f continua pe J,

φ derivabila, cu derivata continua pe [a,b].

Atunci =.

Demonstratie Cum f este continua , admite primitive. Fie F :J→R o primitiva . Ca urmare F'(x)=f(x).

Din Leibniz-Newton, membrul drept al egalitatii de demonstrate devine:

=F(x)| F(φ(a))-F(φ(b)) .    (1)

Tinind cont de formula de derivare a functiilor compuse avem: (Fφ)'(t)=F'(φ(t))φ'(t)=f(φ(t).φ'(t), t[a,b], adica Fφ, este o primitiva pentru functia

(f).φ'. Aplicind din nou formula Leibniz-Newton avem:

= (Fφ)(t) |=F(φ(b))-F(φ(a)) . (2)

Din (1) si (2), rezulta egalitatea din enuntul teoremei.

Consideratii metodice:aplicarea primei formule de schimbare de variabila nu necesita tabelul primitivelor functiilor compuse deoarece practic procedam astfel:

si avem nevoie de derivatele functiilor compuse si de tabelul primitivelor functiilor elementare in care schimbam litera x in litera t.

Greseli tipice la aceasta formula intalnim la elevii care uita sa calculeze noile limite de integrare,pastrand limitele initiale,sau inlocuieste fara a reveni la limitele initiale,ceea ce duce la pierderea punctajului total,cu toate ca el stie sa integreze(la probleme tip grila).

Teorema 2.(a doua formula de schimbare de variabila) .Daca φ: [a,b][c,d], f:[c,d], sunt doua functii cu proprietatile:

f este continua pe [c,d],

φ este bijectiva, φ si φ^-1 sunt derivabile cu derivatele continue, atunci .

Intr-adevar, functiile φ si f fiind continue, rezulta ca f este continua, deci admite primitive. Fie P:[a,b] , o functie derivabila astfel incit P^'=f (3)

Din formula Leibniz-Newton , rezulta

(4)

Pe de alta parte, tinind seama de (3), avem (P)'(x)=P'(φ(x)).()'(x)=f(φ((x))).()'(x)=f(x).()'(x)

Ca urmare,

(5)

Din (4) si (5) se obtine egalitatea din enunt.

Practic si rapid procedam astfel:

Dificultati intilnite:

Tendinta elevilor de a nu verifica cu atentie conditiile de aplicativitate ale teoremei.

Tendinta elevilor de a aplica automat tipuri de substitutii care abunda prin multe manuale si culegeri.

Mentalitatea din pacate a multor elevi ca la matematica nu trebuie " teorie" si de aici multe greseli rezultate din calcule si formule incorect aplicate.

Exemplul 1.Sa se calculeze integrala:

Solutie:aplicand formula lui Leibniz-Newton obtinem;

Sa calculam acum aceasta integrala cu ajutorul schimbarii de variabila

pentru x=-2,t=4 si pentru x=4,t=16,deci

Rezultate total diferite.Unde este gresala?

Nu putem face schimbarea de variabila deoarece pe intervalul considerat functia nu este bijectiva.

Exemplul 2.Consideram integrala definita:

Aplicand formula lui Leibniz-Newton,obtinem:

.Rezultatul obtinut este absurd,deoarece functia de sub integrala este strict pozitiva si deci integrala ei definita nu poate fi un numar negativ.

Comentariu: functia nu este definita in ,deci nu poate fi primitiva pe intervalul [0,2] a functiei de sub semnul integrala.Formula Leibnitz-Newton nu se poate aplica in acest caz.

Exemplul 3.Sa se calculeze integrala:

Solutia 1.facem schimbarea de variabila .cand .Rezulta ca

Solutia 2.aplicand formula lui Leibniz-Newton,obtinem:

Comentariu:Integrala considerata este integrala improprie.Aceste calcule sunt corecte(cu precizarile de rigoare) numai pentru integrala improprie.Limitele de integrare contrazic conditiile impuse de functia integrata.

Exemplul 4.Sa se calculeze

Solutie:Functia considerata este strict pozitiva pe intervalul dat,deci si integrala definita este strict pozitiva.Acum,facand schimbarea de variabila

Comentariu:Nu putem face schimbarea de variabila ,nu este definita in punctul x=.

Exemplul 5.Sa se calculeze

Solutie:facem schimbarea de variabila

Revenind la integrala obtinem:

Rezultat gresit,deoarece dupa efectuarea schimbarii de variabila,nu s-au calculat noile limite ale integralei;s-a lucrat cu cele vechi.

Exemplul 6.Calculati

Solutie:.Pe de alta parte putem scrie

Comentariu:functia nu este definita in si deci nu putem face schimbarea .