Sisteme de ecuatii diferentiale

Sa se determine solutia generala pentru sistemele diferentiale

liniare omogene:

a) b) c)

Solutie

a) Sistemul se scrie matriceal , unde , . Calculand obtinem si cum valorile proprii sunt simple, rezulta ca matricea A se diagonalizeaza. Notand si vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii, rezulta solutia generala a sistemului

, deci

cu C₁ si C₂ constante reale arbitrare.

In practica se aplica si metoda derivarii si eliminarii, care comporta calcule mai putine. Din prima ecuatie rezulta si inlocuind in ecuatia secunda, rezulta , deci si cum , rezulta .

b) Sistemul se scrie matriceal , unde , si solutia generala este , cu o matrice fundamentala a sistemului; fiecare din coloane fiind cate o solutie a sistemului. Deci pentru a rezolva sistemul trebuie sa determinam o matrice fundamentala a lui. Calculand obtinem , deci

, deci A se diagonalizeaza; in acest caz o matrice fundamentala este , adica si solutia generala a sistemului va fi , unde C₁, C₂ si C₃ sunt constante reale arbitrare.

c) Sistemul se scrie matriceal , unde , . Valorile proprii ale lui ( ) sunt , si vom avea: ,

Notand cu vom avea si o matrice fundamentala a sistemului este si inlocuind

, deci solutia generala a sistemului este , unde C₁, C₂ si C₃ sunt constante reale arbitrare.

Fie . Sa se determine solutia generala a sistemului , unde si apoi solutia particulara care verifica conditia initiala .

Solutie Rezolvam sistemul prin mai multe moduri:

a) Calculand se obtine , , cu si , deci matricea A se diagonalizeaza. In acest caz o matrice fundamentala a sistemului este . Solutia generala va fi , iar solutia particulara

.

b) Cum A se diagonalizeaza, luand , rezulta . Atunci . Deci

si cum solutia generala avem solutia

.

Solutia particulara ceruta este, conform teoriei

.

c) Folosim acum metoda derivarii si eliminarii. Derivam prima ecuatie in raport cu t: si inlocuim din sistemul dat; rezulta , deci . Derivam din nou, deci si inlocuim din nou din sistemul initial; rezulta . Din cele trei relatii , , se elimina y si z si se obtine o ecuatie diferentiala in x(t), anume cu solutia . Din prima ecuatie rezulta , deci si inlocuind in cea de a treia ecuatie a sistemului obtinem de unde si deci ; rezulta solutia generala a sistemului . Determinam solutia particulara punand conditia x(0) = 3, y(0) = 1, z(0) = 4, adica

; rezulta C₁ = 2, C₂ = 1, C₃ = 2 si solutia ceruta este .

Deci, indiferent de metoda, deoarece solutia problemei Cauchy este unica, se obtine aceeasi solutie.

. Sa se determine solutia generala a sistemului diferential liniar omogen .

Solutie Notand , , sistemul se scrie . Calculand valorile proprii ale lui A, obtinem si , deci A se jordanizeaza. Aducand pe A la forma canonica Jordan, obtinem matricea nesingulara de trecere cu proprietatea . Daca in sistemul initial facem substitutia X = TY cu , obtinem adica sistemul diferential , format din ecuatii diferentiale liniare de ordinul intai. Rezolvand aceste ecuatii, obtinem , , , adica si solutia generala a sistemului este

unde C₁, C₂ si C₃ sunt constante reale arbitrare.

. Fie matricea .

a) Sa se calculeze ;

b) Sa se determine solutia generala a sistemului , unde si apoi solutia particulara care verifica conditia x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 0.

Solutie

a) Matricea A are valorile proprii si avem

, deci

matricea A se jordanizeaza. Aducand pe A la forma canonica Jordan, obtinem matricea nesingulara cu proprietatea , deci si atunci . Dar cum , rezulta si , deci vom obtine

.

Deci si cum rezulta:

.

b) Solutia generala a sistemului este , cu C₁, C₂ si C₃ constante arbitrare, deci

.

Solutia particulara ceruta este:

.

Sa se determine solutia sistemului diferential liniar neomogen:

ce verifica conditia x(0) = 0, y(0) = 1, z(0) = 0.

Solutie: Notam ; sistemul se scrie matriceal . Valorile proprii ale matricei A fiind

, iar si

, rezulta ca A se jordanizeaza. Reducand matricea A la forma canonica Jordan se obtine matricea nesingulara, cu , astfel incat ; rezulta si . Conform teoriei solutia problemei Cauchy este

. Sa se determine solutia sistemului cu conditia x(0) = 1, y(0) = 0.

Solutie Efectuand substitutia obtinem , adica , deci sistemul diferential cu coeficienti constanti . Derivand prima ecuatie avem , adica ecuatia liniara neomogena cu coeficienti constanti , cu solutia generala

. Deoarece , avem

si solutia generala a sistemului este

.

Din conditia initiala x(0) = 1, y(0) = 0, obtinem C₁ = 1, C₁ + C₂ = 0, adica C₁ = 1, C₂ = -1 si solutia ceruta este .

Sistemul se putea rezolva mai simplu derivand prima ecuatie in raport cu t, deci si inlocuind pe si din sistemul dat obtinem . Eliminand pe y din relatiile si obtinem ecuatia liniara cu coeficienti constanti , ce are solutia generala . Din prima ecuatie , adica si punand conditia initiala x(0) = 1, y(0) = 0, obtinem solutia .

Sa se determine solutia sistemului diferential ce satisface conditia x(0) = 3, y(0) = 10, z(0) = 6.

Solutie Ultima ecuatie cu conditia z(0) = 6 fiind o ecuatie cu variabile separabile ne conduce la solutia . Primele doua ecuatii ale sistemului devin si eliminand pe y intre ele, gasim ecuatia diferentiala in x liniara de ordinul al doilea . Constatam ca ea admite solutia , care, de altfel verifica conditia . Conform teoremei de existenta si unicitate a problemei Cauchy, rezulta ca ea este unica si avem . Deducem imediat din sistem ca . Prin urmare solutia problemei Cauchy este:.

. Sa se determine solutia sistemului diferential care verifica conditia .

Solutie Sistemul se scrie , adica sau . Adunand cele doua ecuatii obtinem

adica si . Din ecuatia a doua obtinem , adica si cum , rezulta . Deci solutia generala a sistemului este si cum x(0) = 1, y(0) = 1, obtinem C₁= C₂=1 si solutia ceruta este .

. Sa presupunem ca o particula materiala se afla la momentul t in punctul (x(t), y(t)) si are legea de miscare , iar la momentul t = 0 ea se afla in punctul (1, -1). Se cere momentul la care particula se afla pe dreapta    x-8 = 0.

Solutie Asadar si valorile proprii ale matricei fiind matricea se diagonalizeaza. Calculand vectorii proprii corespunzatori, obtinem matricea , .

Deci si particula se gaseste pe dreapta x - 8 = 0 daca e^t = 8 adica t = ln8 este momentul cerut.

. Miscarea unui mobil M(x, y) intr-un plan xOy se realizeaza dupa legea . La momentul t = 0 el se afla in punctul A(1, 1). Sa se determine traiectoria parcursa de mobil.

Solutie Din prima ecuatie rezulta si inlocuim in ecuatia secunda; rezulta si ecuatia caracteristica avand radacinile avem . Cum obtinem . Din conditia x(0) = 1, y(0) = 1 obtinem C₁ = 1, C₂ = -1, adica traiectoria parcursa de mobil, curba integrala a sistemului diferential, este data de .

. Sa se rezolve sistemele diferentiale simetrice:

a) ;

b) ;

c) .

Solutie

a) Cum , rezulta ; iar , adica

. Curbele integrale sunt date ca intersectie a suprafetelor , .

b) Din rezulta , apoi din avem si curbele integrale sunt date de intersectia suprafetelor , .

c) Din proprietatile rapoartelor egale, obtinem , adica deci , rezulta . Apoi din rezulta deci si . Curbele integrale sunt .

. Se cer liniile de camp pentru urmatoarele campuri de vectori:

a) ;

b) .

Solutie: Daca este un camp vectorial, atunci liniile de camp ale lui sunt traiectoriile solutiilor sistemului diferential autonom .

a) Sistemul diferential autonom fiind , aplicand proprietatile rapoartelor egale, inclusiv faptul ca unui numitor nul ii corespunde si numaratorul nul, rezulta

, de unde

si liniile de camp ale campului vectorial sunt curbele: .

b) Din sistemul diferential autonom

obtinem

, adica , deci . Din prima egalitate a sistemului obtinem . Facand substitutia se ajunge la ecuatia cu variabile separabile . Prin integrare rezulta

, deci si cum , rezulta . Liniile de camp sunt curbele .

. Sa se integreze urmatoarele sisteme diferentiale:

a) , cu ;

b)

Solutie

a) Din prima ecuatie deducem , adica si introducand in ecuatia a doua obtinem , deci cu solutia generala . Cum , rezulta si solutia generala a sistemului este .

b) Din prima ecuatie rezulta , deci . Din prima si a doua ecuatie obtinem , deci , de unde adica si integrand rezulta deci . Cum obtinem , deci solutiile sunt: .

. Sa se studieze stabilitatea (spre + ) a solutiilor sistemelor urmatoare:

a) ; b) .

Solutie Stabilitatea oricarei solutii a unui sistem liniar depinde de pozitia valorilor proprii ale lui A. Daca toate valorile proprii sunt situate in semiplanul stang deschis (Reλ<0), atunci solutiile sunt asimptotic stabile; daca unele valori sunt in semiplanul stang deschis si altele pe axa imaginara (Reλ=0), dar acestea din urma sunt simple, atunci solutiile sunt stabile, dar nu asimptotic stabile. In celelalte cazuri, solutiile sunt instabile, oricare ar fi B(t).

a) Sistemul se scrie matriceal , cu

, si . Cum valorile proprii sunt , avem solutiile instabile, oricare ar fi B(t).

b) In acest caz , cu valorile proprii , deci solutiile sunt asimptotic stabile.

. Sa se studieze stabilitatea solutiei nule pentru:

a) ;

b) .

Solutie

a) Pentru o functie f(x, y), nula in origine, partea liniara asociata este . Se considera partile liniare ale functiilor sistemului initial si se obtine sistemul liniar asociat: . Cum , valorile ei proprii sunt si solutia nula este asimptotic stabila.

b) Scriem ecuatia sub forma unui sistem diferential echivalent: . Sistemul liniar asociat fiind , matricea sistemului are valorile proprii si deci solutia nula a ecuatiei initiale este stabila.

Exercitii suplimentare

Sa se determine solutia generala pentru sistemele diferentiale urmatoare:

. R.

. R.

. R.

. R.

. R.

. Sa se calculeze pentru matricea .

R.

. Sa se determine solutia sistemului cu conditia x(0) = 1, y(0) = 2.

R..

. Sa se determine solutia generala a sistemului

R. .

Sa se determine liniile de camp pentru:

.

R.

.

R.

.

R.

Sa se rezolve sistemele:

.     R.

.     R.

. Sa se studieze stabilitatea solutiei nule pentru:

a)     R. Asimptotic stabila.

b)     R. Instabila.

c)     R. Instabila.

. Sa se studieze stabilitatea solutiei problemei Cauchy:

    R. Instabila.