Momentele unei variabile aleatoare discrete

Momentele unei variabile aleatoare discrete

Se considera doua variabile aleatoare si si se presupune ca poate lua valorile , iar poate lua valorile Pentru fiecare pereche , fie probabilitatea ca sa ia valoarea si sa ia valoarea , adica:

DEFINITIE Probabilitatile constituie repartitia comuna a variabilelor aleatoare , .

DEFINITIE Variabilele aleatoare si sunt independente, daca pentru orice , si orice are loc:

Se considera acum mai mult de doua variabile aleatoare. Fie , variabile aleatoare, unde variabila aleatoare ia valorile , .

DEFINITIE Probabilitatile :

constituie repartitia comuna a variabilelor aleatoare

DEFINITIE Variabilele aleatoare sunt independente, daca pentru orice

DEFINITIE Variabilele aleatoare sunt independente, daca orice numar finit de variabile aleatoare din acest sir sunt independente.

Introducem acum o caracteristica numerica foarte importanta, asociata unei variabile aleatoare.

DEFINITIE Numarul

se numeste valoarea medie a variabilei aleatoare

EXEMPLU In experimentul cu zarul :

DEFINITIE Fie un numar intreg, . Numarul

se numeste moment de ordinul al variabilei aleatoare

OBSERVATIE Momentul de ordinul este valoarea medie.

DEFINITIE Numarul

se numeste dispersia variabilei aleatoare

Cu ajutorul acestor notiuni introduse, se pot demonstra o serie de proprietati.

PROPRIETATEA 1 Fie o variabila aleatoare si un numar intreg, . Atunci

Demonstratie Fie variabila aleatoare cu repartitia

Atunci variabila aleatoare va avea evident repartitia :

cu alte cuvinte, valorile si au aceeasi probabilitate ,

si deci

()

Din proprietatea anterioara se deduce imediat:

PROPRIETATEA 2 Fie o variabila aleatoare care poate lua o singura valoare cu probabilitatea (adica). Atunci:

PROPRIETATEA 3 Fie o variabila aleatoare si un numar real. Atunci:

Demonstratie. Fie variabila aleatoare cu valorile , avand probabilitatile si fie . Aceasta noua variabila aleatoare ia valorile cu aceleasi probabilitati si deci:

()

PROPRIETATEA 4 Fie variabile aleatoare . Atunci valoarea medie a sumei acestor variabile aleatoare este egala cu suma valorilor medii, adica:

Demonstratie. Fie mai intai numai doua variabile aleatoare si . Se presupune ca variabila aleatoare ia valorile cu probabilitatile , iar variabila aleatoare ia valorile cu probabilitatile . De asemenea fie :

, .

Fie  ; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea cu probabilitatea , , . Prin urmare :

Suma , este suma probabilitatilor tuturor evenimentelor de forma , unde indicele este acelasi pentru toti termenii sumei, iar indicele variaza de la un termen la altul, parcurgand toate valorile de la la . Deoarece evenimentele pentru indici diferiti sunt incompatibile doua cate doua, suma este probabilitatea producerii unui eveniment oarecare din cele evenimente , . Dar, a spune ca s-a produs un eveniment oarecare din evenimentele , , este echivalent cu a spune ca s-a produs evenimentul . Intr-adevar, daca s-a produs unul din evenimentele , , este evident ca s-a produs si evenimentul ; reciproc, daca s-a produs evenimentul , atunci intrucat variabila aleatoare ia neaparat una din valorile sale posibile , trebuie sa se produca si un eveniment oarecare din evenimentele , . Asadar, fiind probabilitatea producerii unui eveniment oarecare din evenimentele , , este egala cu probabilitatea evenimentului , adica

.

In mod analog se deduce:

.

Tinand seama de aceste expresii in relatia , se obtine :

Pentru mai mult de doua variabile aleatoare, se procedeaza prin inductie. Fie

si se presupune teorema adevarata pentru . Atunci :

Aplicand proprietatea pentru doua variabile aleatoare, se obtine :

PROPRIETATEA 5 Dispersia unei variabile aleatoare este data de relatia :

Demonstratie

daca se tine seama de proprietatea precedenta. Mai departe, aplicand de doua ori proprietatea 1., se obtine :

.

PROPRIETATEA 6 Fie si doua variabile aleatoare independente. Atunci valoarea medie a produsului acestor variabile aleatoare este egala cu produsul valorilor medii, adica :

Demonstratie. Se presupune ca variabila aleatoare ia valorile cu probabilitatile , iar variabila aleatoare ia valorile cu probabilitatile . De asemenea :

,

si cum f si g sunt variabile independente:

Fie ; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea cu probabilitatea . Prin urmare:

PROPRIETATEA 7 Fie variabile aleatoare independente doua cate cate doua. Atunci dispersia sumei acestor variabile aleatoare este egala cu suma dispersiilor, adica:

Demonstratie. Din proprietatea 6 se deduce

Daca se tine seama de faptul ca variabilele aleatoare sunt independente, atunci din proprietatea 6 rezulta ca cele doua sume duble de mai sus se reduc si deci :

PROPRIETATEA 8 (Inegalitatea lui Cebisev) Fie o variabila aleatoare si un numar pozitiv oarecare. Atunci

sau

Demonstratie Fie o variabila aleatoare care ia valorile cu probabilitatile . Dispersia variabilei aleatoare este :

Fie este un numar oarecare; daca din suma de mai sus se elimina toti termenii pentru care si raman numai termenii pentru care , suma poate numai sa se micsoreze, adica

Aceasta suma se va micsora si mai mult daca in fiecare termen al ei vom inlocui factorul prin valoarea inferioara

Suma din partea dreapta reprezinta suma probabilitatilor tuturor acelor valori ale variabilei aleatoare care se abat de la valoarea medie de o parte si de alta cu mai mult de ; conform proprietatii de aditivitate a doua evenimente incompatibile, aceasta este probabilitatea ca variabila aleatoare sa ia una din aceste valori. Cu alte cuvinte, aceasta suma este . Adica :

ceea ce permite aprecierea probabilitatii abaterilor mai mari decat un numar dat dinainte, cu conditia numai sa fie cunoscuta dispersia .

Cu ajutorul proprietatilor 7 si 8 se poate demonstra urmatorul rezultat foarte important, cunoscut sub numele de legea numerelor mari.

PROPRIETATEA 9 Fie     un sir de variabile aleatoare independente care au aceeasi repartitie si deci, aceeasi valoare medie si aceeasi dispersie . Atunci, pentru orice si arbitrari, , exista un numar natural astfel incat indata ce , are loc :

Demonstratie. Din proprietatile 1 si 4, se deduce:

si deci, aplicand proprietatea 8, se obtine:

Dar:

de unde rezulta:

Fiind dati , se poate determina un numar natural , care depinde de si , astfel incat indata ce , sa rezulte :

Prin urmare :

Cu alte cuvinte, proprietatea 9 arata ca daca variabilele aleatoare sunt independente si daca au aceeasi medie si aceeasi dispersie , atunci pentru un suficient de mare, expresia va diferi oricat de putin de cu o probabilitate oricat de apropiata de .

Studiul independentei a doua variabile aleatoare se poate realiza si prin intermediul coeficientului de corelatie.

DEFINITIE Se numeste corelatie a doua variabile aleatoare, media produsului abaterilor acestora:

.

PROPRIETATE

Demonstratie

DEFINITIE Se numeste coeficient de corelatie:

TEOREMA Corelatia a doua variabile aleatoare independente este nula.

Demonstratie Daca variabilele X, Y sunt independente, atunci si , respectiv sunt independente.

PROPRIETATI

1)  ;

2) daca si numai daca intre variabilele X si Y exista o relatie de legatura liniara.

Demonstratie 1) Fie , . , . Calculand media variabilei aleatoare U, se obtine :

Calculand discriminantul si impunand conditia ca acesta sa fie pozitiv, rezulta proprietatea data.

2) Fie , , .