Spatii vectoriale

Spatii vectoriale

Fie V o multime nevida de elemente si K un corp de scalari (de regula K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C) Pe multimea V se definesc doua operatii:

Operatia de adunare "+" ca lege de compozitie interna, care asociaza fiecarei perechi de elemente un element suma

Operatia de inmultire cu scalari "" ca lege de comparatie externa, care asociaza, fiecarei perechi de elemente un element

Definitie. Multimea nevida V se numeste spatiu vectorial peste corpul K daca este grup abelian, adica verifica:

pentru ;

pentru ;

element neutru O_V I V astfel incat x+O_V=O_V+x=x, ;

, element opus, , astfel incat ;

si    verifica:

pentru , ;

pentru , ;

pentru , ;

pentru element neutru si .

Definitie. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K. Un vector se numeste combinatie liniara a vectorilor daca exista scalori astfel incat:

Definitie. Un sistem de vectori din V se numeste sistem de generatori ai spatiului vectorial V daca orice vector se poate scrie ca o combinatie liniara a vectorilor .

Definitie. Un sistem de vectori din V se numeste sistem liniar independent daca din rezulta nuli .

Daca exista scalari nenuli, sistemul de numeste sistem liniar dependent.

Propozitie: Vectorii sunt liniar dependenti daca si numai daca cel putin un vector dintre ei este o combinatie liniara de ceilalti.

Definitie: Fie V spatiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori. ,     se numeste baza pe spatiul vectorial V daca este format dintr-un numar maxim de vectori liniar independenti. Numarul vectorilor din baza determina dimensiunea spatiului.

Propozitie Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si o baza a spatiului V, atunci orice vector se scrie in mod unic ca o combinatie liniara a vectorilor bazei.

Definitie. Coeficientii ai reprezentarii vectorului in baza B se numesc coordonatele vectorului v in baza B. Se poate scrie atunci .

Spatiul vectoria n-dimensional real este multimea:

pe care se definesc operatiile:

si .

Propozitie. Sistemul de vectori unitari:

, , .,

formeaza o baza a spatiului vectorial numita baza canonica.

Observatie: In spatiul exista o infinitate de baze.

Propozitie: Un sistem de vectori sunt vectori liniar independenti daca rangul matricei vectorilor este egal cu numarul vectorilor. Vectorii sunt liniar dependenti daca rangul matricei vectorilor este mai mic ca numarul vectorilor.

Consecinta: In spatiul vectorial un sistem de n-vectori:

, , .,

formeaza o baza a spatiului daca si numai daca determinantul matricei vectorilor este nenul

Propozitie. (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei) Fie , si doua baze din , unde:

, , ., , , .,

si, prin abuz de notatie, notam cu A si B matricile asociate bazelor A si B (matricile de trecere de la o baza oarecare la baza canonica).

Fie coordonatele vectorului v in baza A, coordonatele vectorului v in baza B, si pentru fiecare i, , , coordonatele vectorului in baza B. Atunci:

Scrisa matriceal, relatia devine , unde

In plus avem relatia

Exemplu. Fie vectorii si un vector exprimat in raport cu baza prin coordonatele 1, 2 si 1. Sa se exprime coordonatele vectorului v in raport cu baza unde si

Solutie. Matricele de trecere de la baza A, respectiv B la baza canonica sunt:

si .

Coordonatele vectorului v in raport cu baza B se obtin prin realizarea calculelor conform propozitiei date de mai sus.