Teoreme de medie si conditii de tip Lipschitz pentru aplicatii diferentiabile

Teoreme de medie si conditii de tip Lipschitz pentru aplicatii diferentiabile   

Atat teorema lui Rolle cat si teoremele de medie date sub forma de egalitati (asa-numitele formule de tip Lagrange) sunt ,in general, false pentru functii cu valori complexe sau pentru functii cu valori in spatii Banach de dimensiune mai mare decat 1.Fie,de exemplu,.Avem ,in timp ce .Variante mai restrictive ale teoremei lui Rolle se pot insa stabili.Astfel,de exemplu,avem urmatorul rezultat:

Fie A o multime relativ compacta a unui spatiu de dimensiune finita si o functie reala diferentiabila pe si nula la frontiera lui A.Exista atunci un punct astfel incat .

Observam,de asemenea,in legatura cu teorema clasica de medie a lui Lagrange,,pentru functii reale,ca nu se afirma despre c decat ca este situat intre a si b si ca nu exista un rezultat analog pentru cu valori vectoriale.De aceea,este preferabila prezentarea acestei teoreme sub forma de inegalitate,

,pentru care exista forme analoage corespunzatoare spatiilor de dimensiune infinita.

Fara a incerca o clasificare,in functie de un aspect sau altul,in continuare vor fi expuse urmatoarele tipuri de teoreme de medie:

a)      formule de tip Lagrange;

b)      teoreme de majorare;

c)      teoreme de medie pentru functii vectoriale;

d)      teoreme de medie expuse in "limbaj geometric".

Teorema 7

Fie X un spatiu vectorial real si Fie x si y doua puncte din X,.Presupunem ca functionala este diferentiabila in sens Gateaux in orice punct al segmentului ,dupa directia Atunci exista ,astfel incat

(116)

Demonstratie

Consideram urmatoarea functie reala de o variabila reala:

Restrictia lui la segmentul satisface conditiile teoremei clasice a lui Lagrange.In particular, este derivabila pe si

.

Aplicand teorema lui Lagrange functiei pe intervalul ,obtinem ca exista astfel incat:

.

Analiza demonstratiei conduce la o serie de variante ale acestei teoreme.De exemplu,se observa ca nu este nevoie ca sa fie definita pe tot spatiul X;este suficient sa fie definita in orice punct al "dreptei" ce trece prin x si y si diferentiabila in orice punct al segmentului dupa directia Daca X este un spatiu normat,este suficient ca sa fie definita pe o multime deschisa care contine segmentul si G-diferentiabila in orice punct al segmentului dupa directia Se poate,in acest caz reface demonstratia de mai sus,lucrand cu functia definita doar pe .

Avem astfel:

Teorema 8

Fie X un spatiu normat real,U o multime deschisa din X si .Presupunem ca U contine segmentul si ca este G-diferentiabila in orice punct al acestui segment dupa directia Atunci exista astfel incat:

(117)

O varianta a teoremei 8 este:

Teorema 9

Fie X un spatiu normat real,U o multime convexa si deschisa in X,

Presupunem ca este G-diferentiabila in orice punct al segmentului dupa directia h.Atunci exista astfel incat:

(118)

In sfarsit,avem:

Teorema 10

Fie X un spatiu vectorial real, o multime convexa , Presupunem ca este G-diferentiabila in orice punct al segmentului dupa directia h.

Atunci exista astfel incat:

(119)

Cu teorema urmatoare se stabileste un rezultat de tipul teoremelor de medii pentru aplicatii de la un spatiu vectorial real la un spatiu normat real,altul decat R.

Teorema 11

Fie X un spatiu vectorial real,Y un spatiu normat real si .Fie .Presupunem ca P este G-diferentiabil in orice punct al segmentului

dupa directia Atunci pentru orice exista astfel incat:

(120)

Este adevarata urmatoarea estimare:

(121)

Demonstratie

Fie dupa cum urmeaza:

Ipotezele teoremei 11 atrag satisfacerea de catre a ipotezelor teoremei 7.In particular, este G-diferentiabila in orice punct al segmentului dupa directia

Fie,intr-adevar, cu un punct al segmentului .

Avem:

=

Aplicand teorema 7 avem:exista astfel incat:

care,tinand seama de modul in care este definita ,se mai scrie:

Observatie

Este evident,din modul in care s-a facut demonstratia ca depinde de e.Fie,in ipotezele in care am stabilit (120), astfel incat (existenta unui astfel de e este un corolar al teoremei Hahn-Banach):

Atunci din (120) urmeaza:

care este tocmai (121).

Corespunzator teoremelor 8-10 ,date pentru functionale,avem urmatoarele teoreme pentru operatori.

Teorema 12

Fie X si Y doua spatii normate reale, o multime deschisa din X si .Fie ca U contine segmentul si ca P este G-diferentiabil in orice punct al segmentului dupa directia Atunci pentru orice exista astfel incat:

(122)

Teorema 13:

Fie X si Y doua spatii normate reale, o multime convexa si deschisa , Presupunem ca este G-diferentiabil in orice punct al segmentului dupa directia h.Atunci pentru orice exista astfel incat:

(123)

Teorema 14

Fie X un spatiu vectorial real ,Y un spatiu normat real, o multime convexa, Presupunem ca este G-diferentiabil in orice punct al segmentului dupa directia h.Atunci pentru orice exista astfel incat:

(124)

Corolar 4

Fie X si Y doua spatii normate reale , o multime convexa si deschisa si .Daca P este derivabil pe U si ,atunci P satisface o conditie de tip Lipschitz pe U.

Demonstratie

Fie,intr-adevar, si doua puncte din U si astfel incat Aplicand teorema (14),obtinem ( fiind cel furnizat de teorema 14):

Avem un rezultat analog pentru functionale pe care il consemnam in

Corolar 5

Fie X un spatiu normat real, o multime convexa si deschisa si .Daca este derivabila in sens Gateaux pe U si atunci satisface o conditie de tip Lipschitz pe U.

Demonstratie

Fie,intr-adevar,Aplicand teorema 9,obtinem( fiind cel furnizat de teorema 9):

Corolar 6

Fie X si Y doua spatii vectoriale normate reale, , o multime convexa si deschisa si .Daca P este derivabil si cu derivata in sens Gateaux nula pe U,atunci P este constant pe U.

Demonstratie

Conforn corolarului 4,P satisface o conditie de tip Lipschitz pe U,cu constanta lipschitziana M=0.

Avem,evident,un rezultat analog pentru functionale.

Corolar 7

O functionala derivabila si cu derivata in sens Gateaux nula pe o multime convexa si deschisa U dintr-un spatiu normat real X este constanta pe U.

Teorema 15:(o teorema de medie in forma majoranta)

Fie o aplicatie continua a intervalului compact in spatiul normat real Y si g o aplicatie continua a aceluiasi interval in R.Presupunem ca si g sunt derivabile in orice punct .Daca

, (125)

atunci:

. (126)

Inainte de a trece la demonstratie,observam ca functia g,continua pe are conform cu (125) derivata pozitiva pe ,de unde,aplicand teorema clasica a lui Lagrange ,rezulta ca si inegalitatea (126) are sens (mai mult,se stie ca in aceste conditii g este crescatoare pe ).Teorema ramane valabila daca si g sunt derivabile si satisfac (125) pe I mai putin o parte numarabila a lui I.De asemenea,teorema ramane valabila daca si g poseda derivate la dreapta (sau la stanga , ) pe ,D fiind o parte numarabila a lui I si

[respectiv ],

Demonstratia teoremei 15

Fie astfel:

Vom dovedi ca In particular,,ceea ce constituie tocmai relatia (126).Vom dovedi,asadar ca Fie .Vom dovedi ca

Cum partea dreapta a acestei inegalitati nu depinde de ,de aici va rezulta Fie A multimea punctelor din pentru care (127) nu este adevarata,

Deoarece este continua pe ,A este deschisa in .

Fie c marginea inferioara a lui A:c= infA.Deoarece ,avem .Vom arata ca nu putem avea sau ,deci ca .Intr-adevar,.Din continuitatea lui pe ,rezulta ca exista o vecinatate a lui in ,fie aceasta ,astfel incat De aici rezulta ca si deci

c=inf ANu poate fi nici ,caci atunci multimea ,avand marginea inferioara egala cu b,s-ar reduce doar la punctul b si nu ar fi deschisa.Pe de alta parte,deoarece A este deschisa, c=inf A,deci

(128)

Deoarece si si sunt derivabile pe rezulta ca:

deci exista astfel incat pentru orice , sa avem

Din aceste doua inegalitati si din faptul ca (vezi (125)):

rezulta ca,pentru orice ,avem:

.

Aceasta ultima relatie este insa adevarata si pentru x=c,deci putem conchide ca pentru orice avem:

(129)

Din (128) si (129) rezulta

care se mai scrie

,

cTeeea ce contrazice faptul ca

Teorema 15 are urmatorul corolar imediat:

Corolar 8

Fie o aplicatie continua a intervalului in spatiul normat real Y.Presupunem ca este derivabila pe si

Atunci:

Demonstratie

Este suficient sa luam in teorema anterioara .Ramanand in cadrul aplicatiilor de la intervale compacte ale dreptei reale in spatii normate,indicam,fara demonstratii,urmatoarele rezultate:

Teorema 16

Fie o aplicatie continua a intervalului compact in spatiul normat real Y.Atunci exista un numar si odata cu c exista:

-fie un sir descrescator astfel incat;

-fie un sir crescator astfel incat:

Daca functia poseda derivata finita pe ,atunci,evident,daca si sunt sirurile furnizate de teorema 16,avem:

si,din teorema 16,rezulta:

,

care este teorema de medie.

Fie G o multime deschisa din si Y un spatiu normat real.O aplicatie se numeste bidimensional continua in punctul daca pentru orice exista astfel incat cu

In aceleasi conditii, se numeste bidimensional derivabila in ,daca exista un element astfel incat:

Teorema 17

Fie Daca este bidimensional continua in punctele de coordonate si bidimensional derivabila in orice punct ,atunci exista un punct astfel incat

Ultimul tip de teoreme de medie(teoreme formulate in limbaj "geometric" va fi ilustrat cu urmatoarele doua teoreme.

Teorema 18

Fie X un spatiu vectorial,Y un spatiu vectorial topologic local convex si Fie .Presupunem ca este G-diferentiabila in orice punct al segmentului dupa directia .Fie:

Atunci,

.

Demonstratie:

Se stie ca (consecinta a teoremei Hahn-Banach) orice multime convexa inchisa intr-un spatiu vectorial topologic local convex este intersectia tuturor semispatiilor inchise care o contin.Fie H un subspatiu inchis(in Y) determinat de si care contine ,

.

Deoarece

,

rezulta ca pentru orice ,

. (130)

Fie,pe de alta parte,,.

Deoarece P este G-diferentiabil in orice punct al segmentului dupa directia , este derivabila in orice punct din si

Tinand seama de (130),rezulta ca De aici rezulta ca aplicatia este descrescatoare pe (0,1),deci pentru orice doua puncte cu avem Prin continuitate,rezulta ca ceea ce este echivalent cu ,deci cu faptul ca Cum H a fost un subspatiu inchis arbitrar ce contine ,rezulta ca

Observatie

Este usor de vazut ca daca X este un spatiu vectorial real iar Y un spatiu normat real,atunci din teorema 18 rezulta imediat inegalitatea (121) din teorema 11:

.

Teorema 19

Fie X un spatiu vectorial real si Fie .Presupunem ca P este G-diferentiabil in orice punct al segmentului dupa directia si ca aplicatia

este continua pe (0,1).Atunci:

(131)

cu