Spectrul

Spectrul

1. In acest paragraf si in urmatorul vom studia comportarea ecuatiei

sau ceea ce este acelasi lucru, a ecuatiei

an functie de parametrul complex Aici si in cele ce urmeaza U este presupus a fi un operator liniar continuu in spatiul Banach complex .

Consideram ambele ecuatii avand in vedere faptul ca ecuatia (1) se considera de obicei in teoria ecuatiilor integrale , pentru care vom da aplicatii in 6, iar ecuatia se considera de obicei in analiza functionala abstracta la studiul proprietatilor spectrale ale operatorului U .

In functie de rezolubilitatea ecuatiei (1) planul complex se imparte in doua multimi : multimea a valorilor lui pentru care ecuatia (1) are o solutie unica oricare ar fi membrul drept al ecuatiei , (prin urmare, operatorul are invers continuu (vezi XII.1.) si multimea compusa sin celelalte valori ale lui Punctele multimii se numesc valori nesingulare ale operatorului U, multimea se numeste multime caracteristica a operatorului U.

In mod analog vom introduce multimea a acelor pentru care ecuatia are o solutie unica , pentru orice membru drept si multimea complementara

Punctele multimii se numesc valori regulare ale operatorului U iar insasi multimea se numeste spectrul operatorului U.

Daca pentru o valoare a lui ecuatia omogena

    (2)

are solutii diferite de zero atunci se numeste valoarea caracteristica a operatorului U. Evident multimea atuturor valorilor caracteristice este continuta in multimeaFiecare solutie a ecuatiei (2)se numeste element(vector) propriu corespunzator valorii caracteristice date.Multimea

se numeste subspatiul radacina iar dimensiunea lui (finita sau infinita ) se numeste multiplicitatea valorii caracteristice Numarul r de multimi distincte din sirul se numeste rangul valorii caracteristice

Daca in locul ecuatiei (2) consideram o ecuatie omogena corespunzatoare ecuatiei

   

atunci ajungem la notiunea de valoare proprie (sau numar propriu) de element (sau vector) propriu si de subspatiu radacina corespunzator valorii proprii date care au fost deja definite pentru operatorii in spatiul Hilbert.

Sa observam ca daca U este operator autoadjunct intr-un spatiu Hilbert si este o valoare proprie a sa atunci rangul ei r =1 adica

    (3)

si de aceea in acest caz subspatial radacina este adica se compune din toti vectorii proprii ai operatorului U

Sa demonstram relatia (3). Deoarece valorile proprii ale unui operator autoadjunct sunt reale operatorul si toate puterile sale sunt operatori autoadjuncti. Omitand pentru simplificare indicele si alegand vom avea pentru

de unde

Continuand astfel ajungem la egalitatea adica si deci . Incluziunea opusa are loc pentru un operator arbitrarar. Astfel

Daca se considera mai departe un arbitrar, atunci alegand k astfel incat vom avea incluziunile evidente De aici

Vom mentiona acum o legatura simpla intre spectrul multimii caracteristice a unuia si aceluiasi operator U. Este usor de vazut ca daca atunci

si invers. Evident in acelasi mod sunt legate si valorile caracteristice cu valorile proprii ale operatorului U. Aici este important sa avem invedere ca elementul propriu corespunzator valorii caracteristice va fi totodata elementul propriu corespunzator valorii proprii si reciproc . Mai departe deoarece pentru observatia anterioara se extinde si la subspatiile proprii. Din aceasta cauza nu este necesar sa distingem notiunile de vector propriu corespunzator unei valori caracteristice si de vector propriu corespunzator unei valori proprii fapt care se reflecta si in terminologia introdusa mai sus.

Legatura indicata intre multimea caracteristica si spectru permite sa se considere , dupa cum este comod, doar una dintre aceste doua notiuni paralele si , in esenta, echivalente dand ambele formulari numai in cazuri exceptionale

Vom enunta acum cateva propozitii simple legate de notiunile introduse mai sus.

I.           Relatia este echivalenta cu existenta inversului bilateral continuu

II.        Multimea valorilor nesingulare este deschisa si prin urmare multimea caracteristica este inchisa.

Aceasta rezulta din teorema care afirma ca daca un operator are invers continuu, atunci si un operator suficient de apropiat de norma de aceasta are invers continuu (V.4.6) In cazul nostru

astfel incat daca exista atunci pentru diferenta suficient de mica, va exista si

III.     Discul

este continut in multimea ; prin urmare spectrul este in intregime continuti in discul

Pentru a stabili valabilitatea acestei afirmatii este suficient sa aplicam teorema lui Banach privind operatorul invers.

IV.            Multimile sunt dispuse simetric fata de axa reala.

Intradevar

iar conform teoremei XII.2.4. operatorii exista in acelasi timp.

v.         Daca X este spatiu cu structura reala , Iar U operator real, atunci multimea este simetrica fata de axa reala. In afara de aceasta daca este un vector propriu corespunzator , atunci valorii caracteristice ii va corespunde vectorul propriu

Intradevar

de unde rezulta ca egalitatatile sunt echivalente.

Observatie. In punctul s-a definit spectrul in cazul unui operator autoadjunct in spatiul Hilbert. Teorema demonstata acolo stabileste echivalenta celor doua definitii.

2. In cazul in care U este operator compact structura multimii caracteristice poate fi descrisa suficient de complet.

Teorema 1. Daca U este un operator compact atunci

a)     multimea caracteristica este formata numai din valori caracteristice adica ; pe langa aceasta fiecare valoare caracteristica are multiplicitate finita

b)    pentru orice discul contine doar un numar finit de valori caracteristice.

c)     daca si daca este un element propriuzis corespunzator lui iar este un element propriu corespunzator lui atunci

Demonstratie. a) Conform teoremei XIII.1.4. daca atunci ecuatia omogena (2) are o solutie nenula. Faptul ca subspatiul propriu este finit-dimensional rezulta din lema 2. Intradevar confor acestei leme, exista un astfel incat De aceea in acest caz, subspatiul propriu este . Dar

unde

este evident operator compact. De aceea pe baza teoremei deja mentionate multimea solutiilor ecuatiilor omogene

formeaza un subspatiu finit-dimensional, iar

b) Sa presupunem contrariul anume ca intr-un disc este continuta o multime infinita de valori caracteristice. Sa alegem din aceasta multime un sir de valori caracteristice distincte un sir de vectori proprii nenuli corespunzatori

Vom arata (prin inductie)ca pentru orice n = 1,2, .. elementele sunt liniar independente.Pentru n =1 aceasta este adevarata. Sa presupunem ca propozitia este adevarata pentru . O vom verifica atunci pentru elementele . Presupunand contrariul vom avea

de unde in virtutea relatiei (4)

Introducand aceasta expresie in egalitate precedenta vom gasi

Deoarece

abtinem astfel elementele sunt liniar dependente contrar ipotezei inductiei.

Sa formam multimile . Deoarece conform celor demonstrate putem gasi pe baza lemei cvasiperpendicularei elementele astfel incat

    (5)

Adica adica daca

atunci

Totodata

Fie . Sa consideram expresia

conform celor demonstrate si є . Prin urmare

Ca urmare a relatiilor (5)

ar contrazice compacitatea peratorului U intrucat sirul este marginit

c)     Avem si . Prin urmare

ceea ce este imposibil, in virtutea faptului ca numai daca

In incheiere sa remarcam ca daca U este operator compact intr-un spatiu infinit-dimensional X atunci punctul zero apartine spectrului operatorului U