Variabile aleatoare

Variabile aleatoare

Frecvent, in viata de toate zilele, intalnim marimi ale caror valori se schimba sub influenta unor factori intamplatori.

Definitie. O marime asociata unei experiente aleatoare si care ia valori la intamplare, in functie de rezultatul experientei, se numeste variabila aleatoare.

De aici se poate desprinde concluzia ca o variabila aleatoare reprezinta o corespondenta intre multimea rezultatelor posibile ale unei experiente aleatoare si multimea numerelor reale.

Definitie. O variabila aleatoare este o functie care asociaza fiecarui eveniment elementar (fiecarui eveniment al spatiului de selectie) un numar real.

Definitie. Fiind dat un camp de probabilitate , functia R, masurabila () se numeste variabila aleatoare.

Observatie. Unele variabile aleatoare pot lua un numar finit de valori, iar altele pot lua orice valoare dintrun interval.

Definitie. O variabila aleatoare este discreta daca multimea valorilor sale este o multime discreta (finita sau numarabila).

Observatie. Daca multimea valorilor unei variabile aleatoare este finita, variabila aleatoare se numeste simpla.

Definitie. Ovariabila aleatoare este continua daca multimea valorilor sale este o submultime a lui R.

Variabile aleatoare discrete

Tinand seama de faptul ca valorile unei variabile aleatoare sunt influentate de cauze aleatoare, iar unele valori pot aparea mai des decat altele, rezulta ca o variabila aleatoare este mult mai bine precizata daca se cunoaste si probabilitatea cu care este luata fiecare valoare.

, unde , si

sau

, unde , si

Operatii cu variabile aleatoare discrete

Fie doua variabile aleatoare discrete care iau o multime finita de valori si o constanta R

Suma si produsul cu o constanta se prezinta astfel:

Suma celor doua variabile se calculeaza dupa cum urmeaza:

unde

,

Daca variabilele aleatoare sunt independente, atunci

Produsul celor doua doua variabile are urmatoarea distributie:

unde au aceeasi semnificatie ca mai sus.

Exemple.

Fie , doua variabile aleatoare.

Suma este data de deoarece

Produsul este dat de sau

deoarece

Independenta variabilelor aleatoare

Fie doua variabile aleatoare discrete simple.

Definitie. Variabilele aleatoare simple sunt independente daca evenimentele sunt independente.

Observatie. Cu alte cuvinte, doua variabile aleatoare sunt independente daca probabilitatea ca una din variabile sa ia o anumita valoare nu depinde faptul ca cealalta a luat o alta valoare.

In cazul variabilelor aleatoare discrete care iau o multime numarabila de valori, distributia se prezinta astfel:

, ,

Observatie. Operatiile cu variabile discrete care iau o multime numarabila de valori se efectueaza la fel ca operatiile cu variabile aleatoare simple.

Media unei variabilei aleatoare discrete simple este

Media unei variabilei aleatoare discrete care ia o multime numarabila de valori este daca seria este absolut convergenta. Suma acestei serii este valoarea medie a variabilei aleatoare , notata cu .

Proprietati. Daca sunt doua variabile aleatoare simple, atunci

1. , , R

Se stie ca ,

,

2. , unde ,

Se observa ca , se inmulteste cusi se insumeaza dupa

, ehivalent cu .

3.

Fie si

, ,

4. Daca sunt independente

,

Fie doua variabile aleatoare independente si produsul lor:

Definitie. Se numeste moment de ordinul al variabilei aleatoare , numarul .

Dispersia variabilelor aleatoare discrete

Pentru caracterizarea unei variabile aleatoare, valoarea medie este, in general, insuficienta. Doua variabile aleatoare simple pot lua acelasi numar de valori si pot avea aceeasi medie, dar in timp ce una ia valori apropiate de valoarea medie, cealalta poate sa ia valori foarte departate de aceasta medie.

Exemplu.

Fie si , ,

De aici rezulta necesitatea introducerii unui indicator numeric, care sa masoare gradul de imprastiere a valorilor unei variabile aleatoare in jurul valorii medii.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete este

iar abaterea medie patratica este .

Dispersia se mai noteaza si calculeaza astfel:

unde

Proprietati

1.

2. Doua variabile care difera printr-o constanta au dispersii egale. Daca , aR atunci .

3. , aR.

4. Dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente doua cate doua este egala cu suma dispersiilor variabilelor considerate.

.

Exemplu. Fie variabila aleatoare

Sa se calculeze , , , .

Variabile aleatoarede tip continuu

Definitie. Se numeste lege de probabilitate, o corespondenta intre valorile posibile ale unei variabile aleatoare si probabilitatile corespunzatoare.

In cazul variabilelor de tip continuu, legea de probabiltate este corespondenta dintre intervalele dreptei reale si probabilitatile corespunzatoare acelor intervale.

Definitie. Se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare , functia : R →, .

Functia de repartitie se poate calcula pentru variabile de tip discret, dar ea prezinta mare interes pentru variabile de tip continuu.

Exemplu.

Fie variabila aleatoare simpla:

,

Proprietati

1. Pentru orice variabila aleatoare si R,

deoarece ceea ce inseamna ca

2. == 0 si ==

Evenimentul este imposibil, iar este evenimentul sigur, de unde rezulta ca ,.

3.este continua la stanga, ceea ce inseamna ca R

4.este nedescrescatoare pe R, ceea ce inseamna ca rezulta ca .

Daca rezulta ca , ceea ce inseamna ca si .

Definitie. Spunem ca are densitate de repartitie sau densitate de probabilitate, daca exista o functie : R → astfel

unde este functia de repartitie a variabilei aleatoare .

Definitie. Functia : R → R este densitate de repartitie a variabilei aleatoare , daca

a)      , R

b)      este integrabila pe R si

Observatii.

Exemplu.Sa se determine constantele R astfel ca functia:

sa fie densitate de repartitie.

Exemplu. Fie o variabila aleatoare. Sa se determine constanta R astfel incat functia

Media si dispersia unei variabile aleatoare de tip continuu

Fie o variabila aleatoare care ia valori in intervalul si are densitatea de repartitie pe acest interval.

Definitie. Se numeste valoare medie a variabilei , numarul .

Observatie. Definitia se pastreaza si pentru , .

Proptietati.

1. Daca sunt doua variabile aleatoare de tip continuu, atunci

2. , R

3. Daca atunci

4. Daca sunt variabile aleatoare independente, atunci

Definitie.Se numeste dispersia variabilei aleatoare , numarul

sau

unde

Proprietati.

oricare ar fi variabila aleatoare . daca si numai daca .

2.

3. , R

4. Daca variabilele aleatoare sunt independente doua cate doua, atunci

Tema de casa nr. 10   

Fie

Sa se calculeze

Se considera trei urne:

Din fiecare din aceste urne se extrage cate o bila. Se cere valoarea medie si abaterea medie patratica a numarului de bile albe obtinute din cele trei urne.

3. Fie ,

Se cere:

a)      distributia sumei .

b)      distributia produsului

Se considera variabilele aleatoare independente.

,

Sa se calculeze , .

5. Se arunca un zar de 120 de ori. Sa se gaseasca o margine inferioara pentru probabilitatea unde X reprezinta numarul de aparitii ale fetei cu 6 puncte.