Gradientul functionalelor in sens Golomb-Tapia

Gradientul functionalelor in sens Golomb-Tapia

Conceptul de "gradient metric" pentru functionala neliniara a fost introdus de Golomb si Tapia carora le apartin si rezultatele esentiale legate de acest concept.In obtinerea acestor rezultate se utilizeaza extensiv proprietatile aplicatiei de dualitate normalizata.

Definitie 3

Fie X un spatiu normat real,X dualul sau, J aplicatia de dualitate normalizata pe X.Fie o functionala derivabila in sens Gateaux pe X.Gradientul lui f in sens Golomb-Tapia este,prin definitie,aplicatia :

(33)

dupa cum urmeaza:

(34)

fiind injectia de scufundare a lui X in X.

Vom explicita aceasta definitie.Dupa cum se stie:

Functionala f fiind derivabila dupa Gateaux pe X,pentru orice

In virtutea celor de mai sus avem:

=

= (35)

Propozitie 1

Oricare ar fi este o multime inchisa in X.

Demonstratie

Vom dovedi ca:

Deoarece ,avem:

(36)

(37)

Din (36) rezulta ca sirul numeric este constant,deci:

.

Pe de alta parte,din continuitatea lui ,

,

deci

(38)

Cu aceleasi argumente,din (37) rezulta:

iar pe de alta parte

,

deci

. (39)

Comparand (38),(39) cu (35),rezulta ca

Propozitie 2

Daca X este reflexiv, este nevida.

Demonstratie

Fie .Vom demonstra ca daca X este reflexiv,exista astfel incat:

(40)

(41)

Observam, mai intai,ca .Pentru orice avem:

(42)

(43)

Dar X fiind reflexiv,pentru orice asemenea exista (si numai unul) astfel incat:

, (44)

(45)

Tinand seama de (44) si (45) ,egalitatile (42),(43) se scriu sub forma (40),(41),ceea ce demonstreaza propozitia.

Propozitie 3

este o multime convexa in X.

Demonstratie

Fie deci astfel incat:

. (46)

(47)

Vom dovedi ca pentru orice Intr-adevar,tinand seama de (46) si (47) avem:

,

Asadar

Din aceasta egalitate rezulta:

deci:

Pe de alta parte

,

deci:

,

astfel incat:

ceea ce demonstreaza propozitia.

Propozitia 4

Daca X este strict convex,atunci contine cel mult un element.

Demonstratie

Fie ca ar exista Atunci ar fi adevarate egalitatile(vezi (46),(47)):

(48)

Din (48),tinand seama ca X este strict convex,rezulta:

(49)

Pe de alta parte, fiind o multime convexa in X,din rezulta:

deci:

. (50)

care contrazice (49).

Propozitia 5

z realizeaza maximul lui pe multimea

Demonstratie

Notam:

Vom demonstra mai intai implicatia directa:

Observam ca:

deci multimea numerelor reale este majorata de Pe de alta parte:

si,in plus,

deci majorantul indicat pentru multimea de numere reale este realizat pentru Deci:

si este realizat pentru    z

Reciproc,fie ca exista z cu proprietatea :

,de unde Cum,pe de alta parte,,rezulta Asadar,punctul z cu proprietatea ca realizeaza are urmatoarele proprietati:

deci

Remarcam ca daca X este reflexiv,strict convex si cu dual strict convex,atunci J si sunt bijectii monotone(in sens Minty-Browder) ale lui X pe ,respectiv a lui pe si :

Atunci din (33) si (34) rezulta:

(51)

In particular,daca X este un spatiu hilbertian real,atunci J este identitatea pe H si din (51) urmeaza:

Asadar,in cazul spatiilor hilbertiene reale,gradientul in sens Golomb-Tapia se reduce la gradientul in sens Gateaux.

In cele ce urmeaza vor fi studiate proprietati privind continuitatea lui

Vom nota

Notatii analoage pentru in ,respectiv in X

Definitie 4

Un spatiu normat X este uniform convex daca pentru orice exista astfel incat:

cu (52)

Definitie 5

Un spatiu normat X este slab uniform convex daca pentru orice si exista astfel incat:

cu (53)

Definitie 6

Un spatiu normat X este slab uniform convex pe directii daca pentru orice si exista astfel incat :

cu (54)

Teorema 6

Au loc urmatoarele implicatii:X uniform convexX slab uniform convexX slab uniform convex pe directii.

Demonstratie

Demonstram,mai intai ,implicatia:

X uniform convex X slab uniform convex.