Reducerea unei forme patratice la o forma canonica

Reducerea unei forme patratice la o forma canonica

Metoda Jacobi: Fie o forma patratica , , A - matrice simetrica. Daca toti minorii matricei A sunt nenuli atunci exista o baza B a spatiului V astfel incat forma patratica sa se transforme in forma canonica:

unde     reprezinta coordonatele vectorului x in baza B.

Metoda valorilor proprii: Aceasta metoda determina valorile proprii cu ajutorul ecuatiei caracteristice atasata matricei formei. Daca aceasta matrice poate fi transformata intr-o matrice diagonala, atunci se poate determina o baza in care se poate scrie forma canonica.

Metoda Gauss: Aceasta metoda formeaza patrate perfecte cand contine cel putin un .

Exemplul 1

Sa se transforme forma patratica , intr-o forma canonica.

Solutie. Matricea formei este: cu minorii . Metoda Jacobi nu se poate aplica caci avem minori nuli.

Vom incerca metoda vectorilor proprii scriind ecuatia caracteristica: si pentru care se obtin si , valori proprii distincte. Subspatiul propriu al valorii proprii l =0 se obtine din sistemul:

deci . Prin calcul similar obtinem     si . In consecinta matricea A se poate scrie ca o matrice diagonala care conduce la forma canonica

Baza in care s-a facut transformarea se obtine din trei vectori care apartin celor trei subspatii ale vectorilor proprii ca de exemplu: .