Model liniar unifactorial

Model liniar unifactorial

Se cunosc urmatoarele date privind productia (miliarde lei) alimentelor si bauturile precum si consumul intermediar (miliarde lei) pentru anii 1990-2004.

Se cere :

a.       Sa se specifice modelul econometric ce descrie legatura dintre cele doua variabile.

b.      Sa se estimeze parametrii modelului si sa se calculeze valorile teoretice ale variabilei endogene.

c.       Sa se verifice ipotezele de fundamentare a metodei celor mai mici patrate.

d.      Sa se verifice semnificatiile estimatorilor si verosimilitatea modelului.

Rezolvare :

a)

Pe baza datelor problemei se poate construi un model econometric

unifactorial de forma:

y f (x ) u

unde:

y = valorile reale ale variabilelor dependente;

x = valorile reale ale variabilelor independente;

u = variabila reziduala, reprezentand influentele celorlalti

factori ai variabilei y, nespecificati in model, considerati factori intamplatori, cu influente nesemnificative asupra variabilei y.

Analiza datelor din tabel, in raport cu procesul economic descris

conduce la urmatoarea specificare a variabilelor:

y = capacitatea de cazare turistica in functiune, reprezentand

variabila rezultativa (endogena);

x = numarul de innoptari, reprezentind variabila factoriala

(exogena), respectiv factorul considerat prin ipoteza de lucru cu influenta cea mai puternica asupra variabilei y.

Specificarea unui model econometric presupune, de asemenea,

alegerea unei functii matematice tice f x cu ajutorul careia poate fi descrisa legatura dintre cele variabile. In cazul unui model unifactorial, procedeul cel mai des folosit il constituie reprezentarea grafica a celor doua siruri de valori cu ajutorul corelogramei - vezi figura 1.

Figura 1. Legatura dintre productia (miliarde lei) si consumul intermediar (miliarde lei) din Romania

Din grafic se poate observa ca distributia punctelor empirice (x_t ,y_t) poate fi aproximata cu o dreapta. Ca atare, modelul econometric care descrie legatura dintre cele doua variabile se transforma intr-un model liniar unifactorial y a bx u a si b reprezentand parametrii modelului, b 0 , panta dreptei fiind pozitiva deoarece legatura dintre cele doua variabile este liniara.

b)Deoarece parametrii modelului sunt necunoscuti, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor metode, in mod curent fiind folosita insa metoda celor mai mici patrate (M.C.M.M.P.).

Utilizarea acestei metode porneste de la urmatoarea relatie:

;

;

unde:

= valorile teoretice ale variabilei y obtinute numai in functie de valorile

factorului esential x si de valorile estimatorilor parametrilor a si b,

respectiv si ;

= estimatiile valorilor variabilei reziduale

In mod concret, M.C.M.M.P. consta in a minimiza functia:

Conditia de minim a acestei functii rezulta din:

Tabel 1

Tabel 1 (continuare)

Tabel 1 (continuare)

Estimarea parametrului :

(vezi calcule in tabelul 1, coloanele 1,2,3,4)

Estimarea parametrului :

Dispunand de estimatiile parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale variabilei endogene, ,cu ajutorul relatiei:

(vezi tabelul 1, coloana 5).

Valorile variabilei reziduale vor rezulta din urmatoarea relatie

(vezi tabelul 1,coloana 8).

Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie patratica a variabilei reziduale si abaterile medii patratice ale celor doi estimatori, si :

(vezi tabelul 1, coloana 9)

unde:

k = numarul parametrilor.

-

In urma acestor calcule, modelul econometric se poate scrie:

;

(1504.80) (0.017)

c) Estimatorii obtinuti cu ajutorul M.C.M.M.P. sunt estimatori de maxima verosimilitate daca pot fi acceptate urmatoarele ipoteze:

c1) Variabilele observate nu sunt afectate de erori de masura.

Aceasta conditie se poate verifica cu regula celor trei sigma, regula care consta in verificarea urmatoarelor relatii:

;

Pe baza datelor din tabelul 1, coloanele 7, 11, se obtin:

Deoarece valorile acestor variabile apartin intervalelor si

, ipoteza de mai sus poate fi acceptata fara rezerve.

c2) Variabila aleatoare (reziduala) este de medie nula ,

iar dispersia ei, , este constanta si independenta de X - ipoteza de homoscedasticitate, pe baza careia se poate admite ca legatura dintre Y si X este relativ stabila.

Acceptarea ipotezei se poate face prin intermediul mai multor procedee:

c2.1) Procedeul grafic - care consta in construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale x si ale variabilei reziduale (vezi figura 2).

Figura 2

Deoarece graficul punctelor empirice prezinta o distributie oscilanta, se poate accepta ipoteza ca cele doua variabile sunt independente si nu corelate.

c2.2.) Acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate cu

ajutorul analizei variatiei (vezi punctul d)).

c3) Valorile variabilei reziduale sunt independente, respectiv nu exista fenomenul de autocorelare. Acceptarea sau respingerea acestei conditii se poate face cu:

c3.1.) Procedeul grafic - corelograma intre valorile variabilei dependente si valorile variabilei reziduale (vezi figura 3).

Figura 3

c3.2.) Testul Durbin-Watson consta in calcularea termenului empiric:

si compararea acestei marimi " d " cu doua valori teoretice, d₁ si d₂ , preluate din tabela Durbin-Watson (vezi Anexa 3) in functie de un prag de semnificatie , arbitrar ales, de numarul variabilelor exogene k si de valorile observate n,n

Acceptarea sau respingerea ipotezei de independenta a erorilor se bazeaza pe o anumita regula, care consta in:

daca autocorelare pozitiva;

- daca indecizie, recomandandu-se acceptarea autocorelarii pozitive;

- daca erorile sunt independente;

- daca indecizie, recomandandu-se acceptarea

autocorelarii negative;

- daca autocorelare negativa.

Pe baza datelor problemei, valoarea empirica a variabilei Durbin-Watson este:

Lucrand cu un prag de semnificatie , numarul variabilelor exogene fiind , iar numarul observatiilor , din tabela distributiei Durbin-Watson se citesc valorile (pentru cazul ) si .

Deoarece ,se poate preciza ca erorile sunt independente

c3.3.) Coeficientul de autocorelatie de ordinul 1

Se poate demonstra ca intre coeficientul de autocorelatie de ordinal 1 si variabila Durbin-Watson exista relatia:

Stiind ca:

Calculul coeficientului de autocorelatie de ordinul 1:

Deoarece , si acest indicator arata ca ipoteza de independenta a valorilor variabilei reziduale poate fi acceptata.

c4) Verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei reziduale

Se stie ca, daca erorile urmeaza legea normala de medie zero si de abatere medie patratica (consecinta ipotezelor c1, c2, c3), atunci are loc relatia:

Pe baza acestei relatii, in functie de diferite praguri de semnificatie , din tabela distributiei normale se vor prelua valorile corespunzatoare ale lui .

Lucrand cu un prag de semnificatie ,din tabela distributiei Student n < se preia valoarea variabilei, cu un numar de grade de libertate ,, iar pentru un prag de semnificatie , avem . Cu ajutorul acestor date, verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza urmatorului graphic (Figura 4.): pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei , , iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale .

Se observa ca valorile empirice ale variabilei reziduale se inscriu in banda construita, cu un prag de semnificatie .Ca atare, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptata cu acest prag de semnificatie.

Figura 4

d) Verificarea semnificatiei estimatorilor si a verosimilitatii modelului

d1) Verificarea semnificatiei estimatorilor

Estimatorii sunt semnificativ diferiti de zero, cu un prag de semnificatie , daca se verifica urmatoarele relatii:

;

Stiind ca (vezi punctul b) al problemei) , , , si, lucrand cu un prag de semnificatie , din tabela distributiei Student se preia valoarea .

d2) Verificarea verosimilitatii modelului

Pentru a accepta ipoteza de liniaritate se calculeaza coeficientul de corelatie liniara:

Coeficientul de corelatie liniara fiind definit in intervalul [-1;1] , rezulta ca valoarea obtinuta de 0.99 indica o puternica corelatie liniara intre cele doua variabile. Verificarea verosimilitatii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale (analiza variatiei).

Testul Fisher-Snedecor indica faptul ca rezultatele obtinute sunt semnificative pentru un prag de semnificatie de 5%: F_c=8589.93> F_0.05;12=4.76.

Pe baza datelor din tabelul de mai sus se poate calcula raportul de corelatie dintre cele doua variabile:

Se poate demonstra ca, in cazul unei legaturi liniare, raportul de corelatie este egal cu coeficientul de corelatie liniara:

Verificarea semnificatiei raportului de corelatie si, implicit, a coeficientului de corelatie liniara se face cu ajutorul testului Fisher- Snedecor:

, R fiind semnificativ daca .

Deoarece raportul de corelatie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificatie , rezulta modelul econometric:

;

R=0.99

d=1.42

care descrie corect dependenta dintre cele doua variabile, acesta explicand 99,05% din variatia totala a variabilei dependente, adica variatia productiei se datoreaza in proportie de 99,05% valorii adaugate brute.