Modificari ale conditiilor lui Arrow

Modificari ale conditiilor lui Arrow

In ce conditii pot aparea circularitatile? Si, cum le putem evita? La prima intrebare, teorema lu Arrow, discutata in capitolul anterior, da un raspuns clar: daca o functie de preferinta sociala satisface anumite conditii, atunci nu putem construi o preferinta sociala care sa fie completa si tranzitiva. Or, daca nu este tranzitiva, atunci trebuie sa existe cel putin trei alternative intre care se naste un cerc. Asadar, circularitatea se naste din natura conditiilor lui Arrow. Sa ne amintim ca acestea sunt: conditia domeniului domeniului universal, criteriul Pareto tare, criteriul de independenta a alternativelor irelevante si conditia de nedictatura. Teorema lui Arrow arata ca o functie de preferinta sociala le poate satisface pe toate numai daca relatia de preferinta sociala produsa nu este tranzitiva. Sau, altfel zis, relatia de preferinta sociala e tranzitiva numai daca e incalcata una din aceste conditii (de exemplu, e incalcata conditia de nedictatura). De aici se ridica insa doua probleme: mai intai, este oare posibil sa aratam ca e incalcata tranzitivitatea relatiei de preferinta sociala si sub conditii mai slabe decat cele formulate de Arrow? In al doilea rand, cum pot fi ele modificate (si, de dorit, nu foarte mult!) astfel incat sa fie impiedicata posibilitatea de a trage concluzia ca relatia de preferinta sociala nu e tranzitiva?

*1. Conditii mai slabe. Cand am discutat relatiile dintre proprietatile luate in considerare de K. Arrow si, respectiv, de K. May am aratat ca cele ale lui May sunt mai tari decat ale lui Arrow. Acum sa incercam sa cautam conditii mai slabe decat cele ale lui Arrow, care insa permit sa se derive circularitatile. Exista multe teoreme care stabiliesc astfel de rezultate, si care pleaca de la conditii mai putin tari decat domeniul universal, criteriul Pareto tare sau independenta alternativelor irelevante. Aici vom da un singur exemplu, care priveste conditia domeniului universal. Motivul pentru care vom proceda astfel e acela ca, asa cum vom vedea mai jos in acest capitol, modificarea conditiei domeniului universal este cea mai cunoscuta si mai utilizata cale pentru a evita aparitia circularitatilor. De aceea, intrebarea care se pune este daca nu putem gasi unele conditii mai slabe decat demeniul universal, care sa pastreze insa rezultatul lui Arrow. Nu vom da aici toate demonstratiile, insa vom indica unele rezultate foarte semnificate in acest sens.

Domeniul universal cere ca orice profil al grupului sa fie admisibil: oricum ar fi preferintele individuale, functia de preferinta sociala va genera preferinta grupului. Pe de alta parte, am vazut ca problemele pot aparea numai daca luam in discutie cel putin trei alternative. Plecand de aici sa definim proprietatea tripletelor libere. Mai intai, vom spune ca o tripleta are proprietatea de a fi libera (adica: nu e supusa nci unei constrangeri) daca fiecare membru al grupului are orice preferinta posibila intre cele trei alternative intr-unul din profilele grupului. Cu alte cuvinte, daca j e un membru al grupului, j va ordona cele trei variante in orice mod posibil intr-unul din profilele grupului. In al doilea rand, multimea profilelor admisibile spunem ca are proprietatea tripletelor libere daca orice tripleta format din alternativele de pe agenda are proprietatea de a fi lebera. Observam ca, potrivit acestei definitii, nu vom mai lua ca domeniu al functiei de preferinta sociala orice domeniu posibil al grupului, ci numai pe acelea care au proprietatea tripletelor libere.

Intrebarea care rasare imediat este daca aceasta proprietate e intr-adevar mai slaba decat cea a domeniului universal. Raspusul e afirmativ, cum arata urmatorul exemplu: sa presupunem ca agenda grupului cuprinde patru alternative, deci X = si de asemenea ca fiecare membru al grupului are o relatie de preferinta intre acestea care e una de ordine liniara (sa ne amintim ca aceasta inseamna ca R este completa, tranzitiva si antisimetrica) si ca nici unul dintre membrii grupului nu accepta fie ca alternativa x este preferata tuturor celorlalte alternative, fie ca toate celelalte alternative sunt preferate ei. Atunci se poate arata ca proprietatea tripletelor libere este indeplinita; dar desigur ca nu e indeplinita si cea a domeniului universal. Intr-adevar, potrivit supozitiilor noastre, tripleta

e libera. Sa luam orice alta tripleta in care apare x, de pilda . Stim ca x nu poate fi maximala sau minimala pe agenda X. Sa luam cazul in care nu e adevarat ca x e preferata tuturor alternativelor din X. Dar, intrucat acest lucru se poate intampla fiindca alternativa w e preferata lui x, inseamna ca nu avem nici o restrictie privind ordonarea (liniara) a alternativelor din tripleta - care e deci libera.

O alta proprietate a domeniului admis, si mai slaba decat cea a tripletelor libere, e proprietatea lantului (Kalai, Muller, Satterthwaite: 1979). Domeniul are proprietatea lantului daca oricare ar fi perechile (x, y) si (z, w) de alternative exista un sir v₁, v₂, v_n de alternative astfel incat toate tripletele: , , , sunt libere .

Acum e posibil sa reformulam teorema lui Arrow apeland la conditiile mai slabe definite aici.

Teorema de imposibilitate a lui Arrow; o formulare mai slaba. Nu exista nici un mod de agregare a preferintelor individuale (o RPS) care sa produca o relatie de preferinta sociala reflexiva, conexa si tranzitiva si care, de asemenea, sa satisfaca simultan: 1) conditia ca domeniulsa aiba proprietatea lantului; 2) criteriul Pareto tare; 3) criteriul de independenta a alternativelor irelevante; 4) conditia de nedictatura.

Pentru demonstratie, vom face apel la doua leme, pe care doar le prezentam fara a le si demonstra la randul lor .

Lema 1. Daca C este o submultime a grupului G, atunci sau multimea C sau multimea G - C este o coalitie decisiva.

Lema 2. Daca C₁ si C₂ sunt coalitii decisive, atunci C₁ C₂ este de asemenea o coalitie decisiva.

Demonstratia e scurta. Deoarece avem criteriul Pareto, inseamna ca exista cel putin o coalitie decisiva, anume grupul G ca intreg (pe de alta parte, stim ca G este o multime finita). Sa luam acum o coalitie decisiva C care are cei mai putini membri. Ea are cel putin un membru. Fie acum j un votant din C. Daca e o coalitie decisiva, am demonstrat teorema. Daca insa nu e o coalitie decisiva, prin lema 1 multimea G - e o coalitie decisiva. Mai departe, conform lemei 2, multimea C (G - ) e de asemenea o coalitie decisiva. Dar multimea C (G - ) are mai putini membri decat C (caci j nu face parte din ea) - ceea ce contrazice supozitia noastra ca C e o coalitie decisiva cu cei mai putini membri. De aceea, vom putea conchide ca e o coalitie decisiva, deci nu exista nici o functie de agregare a preferintelor individuale care sa satisfaca toate conditiile din teorema.

2. Restrictii asupra conditiilor. Daca modificam insa conditiile din teorema lui Arrow, putem face ca aparitia circularitatilor sa nu mai fie obligatorie. Desigur, putem sa procedam radical, respingand total unele din aceste conditii, si sa aratam ca nu mai poate decurge concluzia teoremei lui Arrow. Mai interesanta este insa o alta procedura: anume, sa cautam modificari mai fine, cat e posibil de mici, ale conditiilor respective, care sa conduca insa la rezultatul dorit.

De exemplu, daca facem apel la reguli de agregare a preferintelor individuale care nu indeplinesc conditia de independenta atunci e posibil ca circularitatea sa fie evitata. Cunoastem deja un exemplu de astfel de regula, anume cea a lui Borda. Ea, am vazut, nu satisface independenta alternativelor irelevante si, in acelasi tip, produce o relatie de preferinta sociala care este intotdeauna tranzitiva. (Intr-adevar, potrivit acestei reguli fiecarei alternative i se ataseaza un numar, iar relatia de preferinta se defineste prin compararea acestor numere. Or, relatia standard ≤ intre doua numere naturale este evident una care e tranzitiva si, deci, nu poate crea circularitate.)

Criteriul lui Pareto si conditia de nedictatura nu sunt dintre cele mai susceptibile pentru a fi modificate. Caci crieriul lui Pareto indica cel mai limpede, asa cum am vazut, ca alegerea sociala trebuie sa depinda de preferintele individuale. Iar conditia de dictatura iarasi nu e in pozitia de a fi usor abandonata: in formularile cele mai cunoscute ale teoremei lui Arrow, se arata ca daca celelalte conditii sunt indeplinite, cea de nedictatura cade - iar tocmai acest lucru creaza perplexitatea si nevoia de a modifica celelalte conditii. Cu toate acestea, ea poate fi slabita in unele moduri, permitandu-se existenta unor membri ai grupului care, chiar daca nu sunt dictatori, au totusi o capacitate ridicata de a impune preferinta sociala. Chiar daca fiecare din acestea nu e de dorit, totusi ele sunt mult mai putin de evitat decat pur si simplu existenta unui dictator.

Vom spune ca un membru j al grupului G are putere de veto daca din faptul ca P_j(x,y) decurge ca R(x,y). Altfel spus, in preferinta sociala alternativa y nu poate sta deasupra alternativei x daca votantul j prefera strict pe x lui y. Vom spune de asemenea ca o coalitie C de membri ai grupului este o oligarhie daca C este o coalitie decisiva si fiecare membru al ei are putere de veto. In sfarsit, vom spune ca o functie de preferinta sociala are un colegiu daca intersectia tuturor coalitiilor sale decisive este nevida. Vom vedea imediat mai jos cum pot fi utilizate aceste notiuni in demonstrarea unor rezultate de tipul celui al lui Arrow.

Sa ne intoarcem acum la ultimii doi candidati care pot fi luati in considerare: primul este cerinta ca relatia de preferinta sociala care e obtinuta sa fie tranzitiva, iar cel de-al doilea e conditia domeniului universal.

Sa incepem cu primul candidat. Faptul ca tranzitivitatea cade pentru unele reguli de agregare a preferintelor sociale nu ne constrange direct sa respingem acea regula. Intr-adevar, stim ca regula majoritatii simple nu produce o relatie de preferinta sociala tranzitiva - si, cu toat acestea, este atat de larg acceptata.

Dar uneori se pot avea in vedere reguli de agregare a preferintelor individuale care produc relatii sociale de preferinta nu tranzitive, ci cvasi-tranzitive sau acirculare (a se vedea paragraful 5.2 pentru definitia acestor notiuni). Astfel, sa definim o regula f de agregare a preferintelor individuale in felul urmator (Campbell, Kelly: 2002):

Regula extinsa Pareto: Daca pentru orice membru j al grupului avem P_j(x,y), atunci P(x,y); daca pentru orice membru j al grupului avem P_j(y,x), atunci P(y,x); in toate celelalte cazuri avem I(x,y).

Sa observam, mai intai, ca preferinta sociala astfel definita este cvasi-tranzitiva. Intr-adevar, sa presupunem ca avem P(x,y) si P(y,z). Atunci, potrivit definitiei, pentru fiecare membru j al grupului avem P_j(x,y) si P_j(y,z). Cum preferintele individuale sunt tranzitive, urmeaza ca pentru orice membru j al grupului avem P_j(x,z) si, deci, P(x,z). Pe de alta parte, regula extinsa Pareto satisface toate conditiile din enuntul teoremei lui Arrow: 1) conditia domeniului universal; 2) criteriul Pareto tare; 3) criteriul de independenta a alternativelor irelevante; 4) conditia de nedictatura. Iata deci ca daca restrangem conditia de tranzitivitate nu mai putem deriva inconsistenta intre conditiile lui Arrow.

Ca simple exemple, iata inca doua rezultate interesante in acest sens (Austen-Smith, Banks: 2000, pp. 40 - 43):

Teorema oligarhiei. Sa presupunem ca functia f de agregare a preferintelor individuale indeplineste conditia independentei alternativelor irelevante si criteriul Pareto. Atunci: daca f defineste o relatie de preferinsa sociala cvasi-tranzitiva, atunci exista o oligarhie.

Teorema lui Banks. Daca grupul G are n membri si pe agenda X sunt cel putin n alternative, atunci orice functie de agregare a preferintelor individuale care satisface criteriul Pareto si produce o relatie de preferinta sociala aciclica are un colegiu.

Cu aceasta, am ajuns la cele mai discutate proceduri de evitare a aparitiei circularitatilor: cele care presupun o modificare a conditiei domeniului universal. Sa ne amintim ca aceasta conditie spune, pur si simplu, ca o regula de preferinta sociala trebuie sa se aplice oricarui profil p_G al grupului G - adica oricarui mod posibil de aranjare a preferintelor individuale ale membrilor grupului - si de fiecare data sa genereze un singur rezultat in ce priveste preferinta grupului intre oricare doua alternative.

Inca inainte ca K. Arrow sa demonstreze teorema sa de imposibilitate, D. Black a publicat (imediat dupa al doilea razboi mondial) mai multe lucrari care au oferit o solutie foarte simpla la problema circularitatii (lucrarea sa Black: 1958 sintetizeaza aceste rezultate). Black a propus urmatoare restrictie asupra preferintelor pe care le pot avea membrii grupului. Anume, sa luam o oarecare tripleta de alternative aflate pe agenda X. Un membru oarecare j al grupului are o relatie de preferinta, sa spunem strica, intre aceste alternative. Una dintre ele ii va aparea ca cea mai buna; alta ca cea mai proasta; ultima va fi medie, la mijloc intre cele doua. Acum sa consideram un profil p_G. Vom spune ca preferintele membrilor grupului G la profilul p_G pentru alternativele din tripleta au un singur varf daca exista o alternativa din aceasta tripleta care nu va fi asezata de nici membru al grupului pe pozitia cea mai proasta. Cu alte cuvinte, una dintre alternative va fi considerata de orice membru al grupului ca fiind fie cea mai buna alternativa, fie ca fiind medie.

Sa luam un exemplu. Sa presupunem ca grupul G are trei membri, anume votantii 1, 2 si 3, iar X = . Cele trei relatii de preferinta, R₁, R₂ si R₃ se definesc pentru alternativele din agenda grupului astfel:

R₁: xPyPz

R₂: yPxPz

R₃: zPyPx

La profilul p_G = (R₁, R₂, R₃) relatiile de preferinta au un singur varf, fiindca alternativa y nu este niciodata asezata de vreunul din cei trei votanti pe ultimul loc. Alaturat avem si o reprezentare grafica a acestui model.

Ideea lui Black este aceea de a considera ca domeniu al functiei de preferinta sociala nu orice profil posibil, ci numai acele profile in care, pentru orice tripleta formata din alternativele aflate pe agenda X a grupului, preferintele individuale au un singur varf. In figura din stanga preferintele R₁, R₂ si R₃ au un singur varf, dar preferinta R are doua varfuri: ea nu este deci una acceptabila.

Sa observam ca, revenind la exemplul nostru, nu este atunci acceptabil un profil p'_G = (R' , R' , R' ) definit astfel:

R : xPyPz

R : yPzPx

R : zPxPy

Intr-adevar, in acest caz orice alternativa este considerata ca cea mai proasta de un votant. Dar sa notam ca acesta este profilul cel mai simplu in care se constituie circularitatea.

D. Black a putut, plecand de aici, sa demonstreze urmatoarea teorema:

Teorema lui Black. Daca domeniul functiei de preferinta sociala este alcatuit numai din profilele in care preferintele individuale, pentru orice tripleta de alternative de pe agenda, au un singur varf, atunci prin regula majoritatii se produce o relatie tranzitiva de preferinta sociala.

Teoria spune ca, daca restrictionam functia de decizie sociala la profilele in care preferintele (pentru oricare tripleta de alternative) au singur varf, atunci, chiar daca altminteri preferintele individuale sunt divergente, iar grupul apeleaza la regula majoritatii, atunci el nu se va confrunta niciodata cu o situatie in care preferinta sociala astfel obtinuta sa cuprinda circularitati. Vom vedea in paragraful 9.3 ca grupurile de oameni au practicat pe larg aceasta metoda: cea mai simpla cale, se va arata, de a obtine preferinte cu un singur varf, este aceea de a aranja alternativele pe o singura dimensiune. De exemplu, daca avem de ales intre mai multe partide politice, le asezam pe dimensiunea ideologica: de la stanga la dreapta.

Formuland mai abstract aceasta ideea, am putea defini mai simplu ideea de preferinta cu un singur varf. Anume, sa presupunem ca un membru j al grupului aranjeaza cele n alternative aflate pe agenda X in felul urmator: x_j1, x_j2, x_jn. Vom spune ca votantul j are o preferinta cu un singur varf daca exista un numar k asfel incat alternativa x_jk are proprietatea ca: 1) x_jkPx_jk-1Px_jk-2 Px_j1 si 2) x_jkPx_jk+1Px_jk+2 Px_jn. Astfel, votantul j a pus toate alternativele pe o linie: alternativa x_jk este preferata tuturor alternativele aflate la stanga ei, precum si tuturor alternativelor aflate la dreapta ei. Profilele admise vor fi atunci cele in care toate preferintele individuale au un singur varf.

Pana atunci insa sa incercam sa generalizam teorema lui Black. Restrictionarea preferintelor pe care o cere ea este ca, luand trei alternative, una dintre ele sa nu se gaseasca vreodata pe cea mai proasta pozitie. Intrebarea este insa de ce restrictionarea trebuie neaparat sa fie de acest gen. Nu s-ar putea, de exemplu, sa cerem ca, orice trei alternative am lua, una sa nu fie niciodata considerata ca cea mai buna, sau sa nu fie niciodata considerata ca medie - iar in aceste cazuri sa nu se mai obtina din nou circularitate? (Desigur, restrictia propusa de Black este intuitiva: am vazut ca ea poate primi o interpretare geometrica simpla. Dar aceasta nu inseamna desigur ca alte restrictii nu sunt posibile.) Raspunsul la aceasta intrebare e intr-adevar afirmativ si a fost dat de A. Sen (Sen: 1966). Vom demonstra teorema mai generala alui Sen (teorema lui Black e doar un acaz particular al acesteia).

Vom spune ca un profil p_G al grupului G are proprietatea restrictionarii valorii daca pentru orice tripleta de alternative aflate pe agenda grupului exsita o alternativa care sau nu este cea mai buna, sau nu este cea mai proasta, sau nu este pe o pozitie medie pentru nici un membru j din grup. Teorema lui Sen vizeaza clasa tuturor profilelor care au proprietatea restrictionarii valorii. El a demonstrat ca daca grupul are un numar impar de membri iar preferintele membrilor grupului sunt relatii de ordine liniare, atunci proprietate restrictionarii valorii implica faptul ca regula majoritatii genereaza o relatie de preferinta tranzitiva[4]. Ca urmare, prin acest tip de restrictionare a domeniului conditiile lui Arrow devin consistente. (Ca exercitiu, cititorul poate incerca sa arate ca profilele definite de Sen nu au nici proprietatea tripletelor libere, nici cea a lantului.)

Teorema lui Sen. Daca grupul G are numar impar n de membri, profilul p_G are proprietatea restrictionarii valorii si sunt indeplinite: 1) criteriul Pareto tare; 2) criteriul de independenta a alternativelor irelevante; 3) conditia de nedictatura, atunci regula majoritatii simple genereaza o relatie de preferinta sociala tranzitiva.

Demonstratie . Sa notam cu R relatia de preferinta sociala generata de regula majoritatii simple la modelul p_G. Daca xPyPz, atunci cel putin (n+1)/2 membri ai lui G prefera pe x lui y si cel putin (n+1)/2 membri ai lui G prefera pe y lui z. De aceea, trebuie sa existe cel putin un membru j al grupului astfel incat xP_jyP_jz. Sa presupunem insa ca exista un cerc xPyPzPx. Atunci trebuie sa existe cel putin un membru j al grupului astfel incat xP_jyP_jz, cel putin un membru j' al grupului astfel incat yP_j'zP_j'x si cel putin un membru j'' al grupului astfel incat zP_j''xP_j''y. Dar atunci din existenta cercului format din cele trei alternative x, y si z decurge ca fiecare element al tripletei noastre e luat cel cel putin un membru al grupului ca cea mai buna alternativa; ca e luat de cel putin un membru al grupului ca cea mai proasta alternativa; si ca e luat de cel putin un membru al grupului ca alternativa medie - ceea ce contrazice supozitia ca profilul p_G are proprietatea restrictionarii valorii.