Preferinta Pareto

Preferinta Pareto

Cele doua reguli de agregare a preferintei sociale permit sa realizam - la nivelul grupurilor sociale - o comparatie foarte simpla a diferitelor alternative disponibile. Sa incepem prin a defini o relatie R^P de preferinta sociala intre alternative (pe care o vom numi preferinta Pareto) in felul urmator:

Definitia 1. R^P x y) daca si numai daca pentru orice persoana i din G, are loc R_i x y

Sa ne amintim din capitolul 5 cum, pe baza unei relatii de preferinta nestricta putem construi relatiile de indiferenta si, respectiv, de preferinta stricta. Vom avea:

Definitia 2.

I^P x y) daca si numai daca e adevarat atat ca R^P x y) cat si ca R^P y x

P^P x y) daca si numai daca e adevarat ca R^P x y) si e fals ca R^P y x

Asadar, o alternativa x e Pareto indiferenta fata de o alta y atunci cand fiecare e Pareto-preferata celeilalte; si este Pareto-preferata strict lui y atunci cand e Pareto-preferata nestrict lui y, dar nu e adevarat ca y e Pareto-preferata nestrict lui x. Tinand cont de definitia lui R^P x y), decurge ca vom avea P^P x y) atunci cand toti membrii grupului G prefera nestrict pe x lui y, dar exista un membru al grupului care nu prefera nestrict pe y lui x - altfel zis prefera strict pe x lui y. Vom spune ca alternativa x e Pareto-superioara alternativei y atunci cand P^P x y

Lema 1. (Superioritatea Pareto). Fiind dat un grup G, o agenda X (care include alternativele x si y) si un profil p_G al acestuia, alternativa x este superioara Pareto alternativei y daca si numai daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

pentru orice persoana i din G, are loc R_i x y

pentru cel putin o persoana j din G are loc P_i x y

Cu alte cuvinte, daca o politica adoptata de primaria din orasul meu va face ca nimeni din locuitorii orasului sa nu piarda, iar cel putin unul sa castige, atunci acceptarea acestei politici e justificata apeland la ideea de superioritate Pareto. Conceptul de superioritate Pareto ne permite sa definim unul dintre cele mai importante concepte folosite in teoria economica: acela de optim Pareto.

Definitia 3. O alternativa aflata pe agenda X a grupului G este optima Pareto daca si numai daca nu exista nici o alta alternativa y care sa ii fie Pareto-superioara (deci sa aiba loc P^P y x

Sa fim foarte atenti la aceasta definitie. Potrivit ei, alternativa x este Pareto-optima daca nu putem alege o alta alternativa y astfel incat toata lumea va considera ca y e cel putin la fel de buna ca si x, iar cel putin o persoana va considera ca y e strict mai buna decat x. In al doilea rand, data fiind o agenda X a grupului, definitia nu exclude cazurile in care exista mai mult de o singura alternativa care este Pareto-optima. In sfarsit, sa observam ca definitia a fost de forma: x este optima Pareto daca nu exista nici o alta alternativa y care sa ii fie Pareto-superioara; ea nu a fost formulata ca: x este optima Pareto daca x este Pareto-superioara oricarei alte alternative y. Motivul va fi formulat mai jos: vom arata ca relatie de preferinta Pareto nu este completa; ca urmare, desi nu e adevarat ca x este Pareto-superioara oricarei alte alternative, e totusi posibil sa fie adevarat ca nu exista nici o alta alternativa care sa fie Pareto-superioara lui x

Pe scurt deci, o alternativa x este optima Pareto daca nu este respinsa de nici un membru al grupului si este preferata strict de cel putin unul. Sa luam acum un exemplu. Sa presupunem ca avem 10 mere, care se pot distribui intre doua persoane. O alternativa este atunci o pereche ordonata, de exemplu (4,5), in care primul numar indica numarul de mere pe care il primeste prima persoana, iar al doilea numarul de mere pe care il primeste a doua persoana. Evident, e posibil ca toate sau numai o parte a merelor sa fie distribuite. Mai presupunem ca fiecarui actor ii plac merele, deci prefera o alternativa in care are mai multe mere alteia in care are mai putine. Sa luam situatia initiala (0,0), in care nici un mar nu a fost distribuit nici unui actor. Atunci prin orice atribuire de mere cel putin unui actor se obtine o alternativa superioara Pareto alternativei initiale: (0,2), (1,7) sau (10,0) sunt fiecare superioare Pareto alternativei (0,0). Orice alternativa care distribuie toate cele 10 mere este optima Pareto, fiindca nu e nici o posibilitate de a aloa inca un mar unui actor fara a-l lua de la celalalt: sunt asadar optime Pareto alternativele (0,10), (1,9), (4,6), (5,5), (10,0) etc. (In fiecare an, cand Guvernul trimite proiectul legii bugetului la Parlament, distributia veniturilor este una optima Pareto: fiindca toti banii au fost alocati unei anumite destinatii, iar redistribuirea fondurilor inseamna a face ca un ordonator de credite sa primeasca mai putin.)

Iata inca doua exemple:

1. Fie o situatie in care avem doua bunuri, anume mere si pere. Actorului 1 ii plac merele si nu sufera perele, in timp ce actorului 2 ii plac perele, dar nu sufera merele. Atunci: singura distributie Pareto-optima este cea in care actorului 1 i se dau toate merele, iar actorului 2 i se dau toate perele. Altminteri, unul dintre actori are un bun care nu-i place, si i-ar fi mai bine daca nu l-ar avea.

2. Fie o situatie in care exista doua bunuri, anume mere si pere. Fiecaruia din cei doi actori ii plac ambele bunuri, dar in feluri diferite. Pentru actorul 1, un mar face cat exact doua pere; pentru actorul 2, o para face exact cat un mar. Astfel, pentru actorul 1 daca a e un numar de mere, iar b e un numar de pere (iar n e un numar natural oarecare), atunci el este indiferent daca are perechea (a,b) de bunuri sau perechea (a - n, b + 2n) de bunuri (si analog pentru actorul 2!).

Ca exercitiu, citiorul poate arata ca in aceasta situatie sunt distributii Pareto-optime de bunuri cele in care:

a)      actorul 1 nu are nici o para;

b)      sau actorul 2 nu are nici un mar.

(Astfel de distributii sunt cele in care: actorul 1 are toate merele, iar actorul 2 are toate perele; actorul 1 are toate merele si toate perele; actorul 2 are toate merele si toate perele.)

Sa mai introducem aici o relatie, de preferinta Pareto slaba, pe care o vom nota cu P^U

Definitia 4. P^U x y) daca si numai daca pentru orice persoana i din G, are loc P_i x y

Evident, daca este adevarat ca P^U x y), atunci va fi adevarat si ca P^P x y). Cum se observa usor, relatia de preferinta slaba P^U este cea folosita in definirea alegerii unanime, iar cealalta, tare, e presupusa in definirea alegrii consensuale. Vom spune de aici inainte ca regula preferintei sociale consensuale este criteriul Pareto tare, iar regula preferintei sociale unanime este criteriul Pareto slab. Formularea celor doua criterii Pareto ne permite sa observam limpede de ce unul este numit "tare" iar celalalt "slab". Anume, cel tare elimina mai multe alternative decat cel slab. Intr-adevar, daca toti membrii lui G considera ca alternativa x e cel putin la fel de buna ca y si cel putin unii membri nu sunt indiferenti intre x si y, atunci potrivit conditiei tari y este exclusa ca alegere; dar nu putem spune acelasi lucru daca facem apel numai la criteriul slab.

Teorema 1.

Relatia R^U este reflexiva si tranzitiva.

Relatiile P^U si P^P sunt tranzitive si asimetrice[2].

Sa demonstram numai prima parte. Mai intai, deoarece R_i x x) pentru orice membru i al grupului, cu siguranta decurge si ca R x x). Pentru tranzitivitate, deoarece avem:

pentru orice membru i al grupului, daca R x y) si R y z), atunci R x z

putem conchide (facand apel la legile logicii predicatelor) ca:

daca pentru orice membru i al grupului e adevarat ca R x y) si pentru orice membru i al grupului e adevarat ca R y z), atunci pentru orice membru i al grupului e adevarat ca R x z

adica exact conditia care defineste tranzitivitatea lui R

Dar relatia R asa cum a fost definita aici nu este una de ordine slaba. Cu alte cuvinte, ea nu are si proprietatea completitudinii: intr-adevar, daca un membru al grupului prefera strict pe x lui y, iar un altul prefera strict pe y lui x, atunci definitia lui R nu ne permite sa sustinem nici un fel de relatie de preferinta Pareto intre cele doua alternative. Am putea sa incercam sa inlaturam aceasta situatie in mai multe moduri. Primul ar fi acela de a spune ca in toate aceste cazuri preferinta Pareto e una de indiferenta: asadar, am putea defini o relatie de preferinta Pareto in felul urmator:

P x y) daca pentru orice membru i al grupului e adevarat ca R_i x y) si pentru cel putin un membru j al grupului e adevarat ca P_i x y

P y x) daca pentru orice membru i al grupului e adevarat ca R_i y x) si pentru cel putin un membru j al grupului e adevarat ca P_i y x

I x y) in toate celelalte cazuri.

O asemenea solutie nu pare foarte atractiva[3], caci ar face ca indiferenta intre doua alternative sa fie aproape intotdeauna regula. In particular, ea ar face ca alternativele Pareto-optime sa fie indiferente intre ele - ceea ce iar e dificil de acceptat, cel putin pentru aceia dintre noi care am dori sa admitem posibilitatea redistribuirii. (O chestiune pe care o vom aminti imediat mai jos).

O solutie alternativa ar fi de tip conservator: ori de cate ori nu sunt indeplinite criteriile pentru a alege pe x, va fi preferata alternativa y. Am avea asadar:

P x y) daca pentru orice membru i al grupului e adevarat ca R_i x y) si pentru cel putin un membru j al grupului e adevarat ca P_i x y

P y x) in toate celelalte cazuri.

Sa ne gandim la un aranjament de alegere sociala definit in felul urmator: daca se face o propunere de schimbare x a stutus-quo-ului y, atunci propunerea x e adoptata numai daca e preferata strict de cel putin un membru al grupului, iar nici un membru al grupului nu i se opune; altminteri se ramane la status-quo y (Sen: 1970, p. 25). Desigur, un astfel de aranjament nu trateaza la fel cele doua alternative (in Capitolul 7 vom spune ca el nu respecta proprietatea neutralitatii). Dar, pe de alta parte, o astfel de regula poate fi de fapt interpretata ca una a vetoului, in care fiecare membru al grupului are dreptul sa isi opuna veto-ul in alegerea unei alternative. O regula de acest tip spuneam ca este conservatoare: potrivit ei, adoptarea unei politici care sa schimbe starea de fapt devine foarte greoaie. Dar, uneori aranjamentele institutionale exact acest lucru il urmaresc. Am mentionat mai devreme unele dintre situatiile in care in Consiliul European sunt adoptate decizii prin regula unanimitatii: scopul lor este si acela de a nu permite schimbari prea rapide, indeosebi in domenii de importanta foarte mare .

Teorema 2. Daca agenda X este finita, atunci pentru orice profil p_G al grupului G exista cel putin o alternativa Pareto-optima.

Demonstratie. Am vazut ca relatia R^P de preferinta nestricta Pareto este reflexiva si tranzitiva. Trebuie sa aratam ca, daca X este nevida, atunci este de asemenea nevida si urmatoarea multime:

Sup(X,R^P

Sa presupunem ca multimea Sup(X,R^P) este vida, deci ca pentru orice alternativa x exista o alta y incat P^P(y,x). Stim, mai intai, ca relatia R^P este tranzitiva; ca urmare, si relatia P^P va fi tranzitiva. Sa luam asadar o alternativa x₁ din agenda X. Stim ca exista o alternativa x₂ astfel incat P^P(x₂,x₁). Mai departe, exista inca o alternativa x₃ astfel incat P^P(x₃,x₂). Cum agenda X este finita, ajungem sa consideram toate alternativele de pe agenda X, si fie x_n ultima. Atunci ar trebui sa detectam in sirul x₁, x_n o alternativa x_i astfel incat sa avem P^P(x_i,x_n). Dar o asemenea situatie ar incalca ipoteza ca relatia P^P este tranzitiva.[6]

Sa ne intoarcem acum la exemplul folosit mai devreme, al merelor care se impart intre doua persoane. Sa presupunem, inca a odata, ca avem o distributie (3,2) a merelor (dintr-un total de 10 mere). De asemenea, sa mai admitem ca restul celor cinci mere a fost atribuit celei de-a doua persoane, careia ii mai revine inca un mar din cele pe care le avea prima persoana, incat distributia finala este (2,8). Cum putem compara intre ele distributiile (3,2) si (2,8)? Evident, cea de-a doua nu este superioara Pareto primeia, si nici invers, fiindca de fiecare data o persoana pierde, chiar daca cealalta castiga. Dar sa ne gandim la posibilitatea urmatoare: plecand de la distributia (2,8), cea de-a doua persoana da un mar de la ea primeia, compensandu-i astfel pierderea; se ajunge atunci la distributia (3,7), in care nici o pesoana nu a pierdut, dar una a castigat in raport cu distributia (3,2) (distributia (3,7) e deci Pareto-superioara distributiei (3,2)). Am putea atunci sa spunem ca distributia (2,8) este intr-un sens superioara distributiei (3,2) fiindca exista posibilitatea de a redistribui bunurile avute in aceasta situatie astfel incat cel care castiga sa poata compensa pe cei care pierd, ramanand totusi cu un anumit castig. Aceasta procedura de a construi o relatie de preferinta intre doua alternative se numeste criteriul Kaldor-Hicks al compensarii.

Ideea criteriului Kaldor-Hicks este ca cei care castiga dintr-o tranzitie pot in principiu sa ii compenseze pe cei care pierd; cu alte cuvinte, in urma tranzitiei spre o noua stare castigurile totale intrec pierderile totale. Criteriul Kaldor-Hicks e deci mai slab decat cel al lui Pareto, care nu accepta numai posibilitatea compensarii, ci solicita ca acea compensare sa fie efectiva: in cazul nostru, distributia (2,8) nu este superioara distributiei (3,2) potrivit criteriului lui Pareto, fiindca de fapt un membru al grupului pierde, in timp ce altul castiga, chiar daca pentru intregul grup castigul total creste de la 5 la 10 mere. Se observa asadar ca criteriul lui Kaldor-Hicks este mai apropiat de abordarea utilitarista: potrivit lui J. Bentham, o actiune este de preferat alteia daca ea creste beneficial total al mebrilor societatii (dupa Bentham, o actiune este moral corecta daca ea produce "cea mai mare fericire pentru cei mai multi"). Spre deosebire de criteriul lui Pareto, in care nu se face nici o comparatie intre beneficiile individuale (ci se cere doar ca - luat fiecare in parte - nici un individ sa nu piarda prin acceptarea unei alte alternative), in cazul criteriului lui Kaldor-Hicks comparam beneficiile si pierderile membrilor grupului.

Teorema 3. Criteriul Kaldor-Hicks nu este consistent cu nici o regula de agregare a preferintelor.

Altfel spus, oricare ar fi o regula f de agregare a preferintelor membrilor grupului G, va exista un profil p_G al grupului astfel incat regula si crieriul produc preferinte contradictorii. Motivul este simplu (Sen: 1970, p. 31): date fiind doua alternative x si y aflate pe agenda grupului, apeland la criteriul Kaldor-Hicks este posibil sa obtinem preferinte contradictorii, atat P(x,y) cat si P(y,x). Intr-adevar, se pot lua alternativele x si y astfel incat sa existe o alta alternativa z, obtinuta prin redistribuirea beneficiilor din x si care sa fie Pareto-superioara lui y; si sa existe o alternativa z', obtinuta prin redistribuirea beneficiilor din y si care sa fie Pareto-superioara lui x.

Putem construi insa si alte criterii de comparare a alternativelor, care sa fie mai egalitare. Caci, asa cum am vazut, o distributie egalitara (5,5) a celor 10 mere este Pareto-optima, dar la fel sunt si distributiile foarte inegalitare (2,8) si (10,0). Probabil ca cel mai cunoscut este criteriul diferentei al lui J. Rawls (1971). (Vom vedea mai jos in acest capitol, pe scurt, cum justifica el crieriul propus.) Pentru Rawls compararea diferitelor alternative de distribuire a bunurilor (primare) trebuie sa se conformeze celor doua principii ale dreptatii:

(a)    Fiecare persoana are aceleasi pretentii imprescriptibile la o schema pe deplin adecvata de libertati egale de baza, schema care este compatibila cu aceeasi schema de libertati pentru toti; si

(b)    Inegalitatile sociale si economice trebuie sa satisfaca doua conditii: mai intai, ele trebuie atasate posturilor si pozitiilor deschise tuturor in conditii de egalitate echitabila de sanse; si, in al doilea rand, ele trebuie sa fie in cel mai mare beneficiu al celor mai putin avantajati membri ai societatii (principiul diferentei).[7] (Rawls: 2001, pp. 42- 43)

Sa luam de exemplu urmatoarele distributii de bunuri intre doi actori A si B (un exemplu asemanator, fara a patra alternativa, se afla in Rawls: 2001, p. 69):

Potrivit criteriului Pareto slab, alternativele 2, 3 si 4 sunt toate superioare alternativei 1; si exista doua alternative optime Pareto, anume 3 si 4. Intr-adevar, din niciuna nu se poate ajunge la o alta distribuire a bunurilor astfel incat nici un actor sa nu piarda, dar cel putin unul sa castige ceva. Sa comparam insa alternativa 3 cu 4: nici una nu este superioara Pareto celeilalte, fiindca un actor pierde si celalalt castiga in tranzitia de la una la alta; si la fel este cu alternativele 2 si 3.

Criteriul lui Kaldor-Hicks spune ceva in plus: anume, el permite ca sustinem ca alternativa 3 este superioara alternativei 2, fiindca se poate produce plecand de la 3 o redistribuire (120,135) care e Pareto superioara alternativei 2. Insa si acest criteriu lasa netransata comparatia dintre alternativele 3 si 4: intr-adevar, plecand de exemplu de la alternativa 3, actorul B ar trebui sa distribuie cel putin 10 unitati actorului A; insa nu poate distribui mai mult de 10, fiindca el al ramane cu mai putin de 130 unitati, iar daca distribuie exact 10, atunci nici un actor nu a castigat nimic.

Principiul diferentei al lui Rawls furnizeaza aici o metoda de discriminare. Principiul cere sa identificam mai intai cel mai putin avantajat actor. Acesta este A. Or, conform alternativei 4 situatia lui este mai buna decat in 3, ca urmare 4 va fi superioara lui 3. Observam, mai mult, ca alternativa 4 este mai egalitara[8] decat alternativa 3. (Rawls accentueaza insa ca criteriul diferentei nu este egalitar in sensul ca cere o stricta egalitate: el admite inegalitatile, in masura in care sunt spre beneficiul celui mai putin avantajat membru al grupului.)