Alegerea intre alternative

Alegerea intre alternative

Zi de zi suntem confruntati cu nevoia de a alege: dimineata alegem ce sa mancam la micul dejun; cu ce sa ne imbracam in ziua respectiva. Dar uneori facem alegeri mai importante: ce profesie sa avem, unde sa lucram, cu cine sa ne casatorim. Si periodic (alegem daca sa mergem si sa) votam intre diferiti candidati pentru consiliul facultatii in care lucram, pentru bordul organizatiei neguvernamentale in care activam ca voluntari, pentru consiliile locale, pentru Parlament sau pentru functia de presedinte al tarii. De fiecare data, alegerea noastra consta intr-un anumit comportament: oricine stie cum am decis atunci cand vede cum sunt imbracat azi, si oricine stie ca am votat (chiar daca nu stie cum) atunci cand ma vede iesind din cabina de vot. Alegerile pe care le facem sunt explicite si se manifesta in comportamentul nostru.

De fiecare data avem la dispozitie o multime de alternative intre care alegem. O alternativa este o stare posibila a lumii, care s-ar realiza daca noi am face o anumita alegere. Sa notam alternativele posibile cu x, y, z etc. Si sa spunem ca multimea X a alternativelor de care dispunem atunci cand urmeaza sa facem o alegere reprezinta agenda pe care o avem. Desigur, de multe ori agenda noastra e foarte restransa: frigiderul e cam gol astazi si nu am multe posibilitati intre care sa aleg pentru micul dejun; pentru functia de presedinte al bordului organizatiei neguvernamentale unde voi vota astazi s-a inscris un singur candidat etc. Mai mult, se poate ca in multe cazuri pe agenda mea sa se gasasca alternativa pe care o doresc cel mai mult; dar uneori nu e asa. Or, important este ca eu sa pot alege.

Alegerea pe care o fac este de obicei o singura alternativa din X. Dar nu se intampla neaparat asa. Uneori nu ma pot decide, iar alegerea mea consta in doua sau chiar mai multe alternative. De pilda, nu ma pot decide ce pereche de pantofi sa imi cumpar, si aleg doua perechi. Sau uneori chiar mi se cere sa aleg deodata mai multi candidati: pentru bordul organizatiei guvernamentale din care fac parte am in fata o lista cu zece candidati, dintre care eu trebuie sa aleg sapte. Asadar, alegerea mea consta intr-o submultime a lui X: care consta fie dintr-un singur element, fie din mai multe. Sau, uneori, eu nu doresc sa fac o alegere: pur si simplu nu aleg nici una dintre alternativele aflate pe agenda; alegerea mea este multimea vida. (Totusi, unii autori - iar mai jos vom vedea mai limpede acest lucru, atunci cand se va face presupunerea ca alegerea este intotdeauna o multime nevida - sustin ca niciodata alegerea nu este in defavoarea tuturor alterantivelor: atunci cand nu alegem nici o alternativa, in realitate noi alegem ceva, anume status quo-ul. Alegem sa se mentina alternativa deja practicata.)

Sa incercam acum sa formulam aceste consideratii intr-o modalitate mai riguroasa. Sa notam cu Φ multimea tuturor alternativelor posibile. O agenda este pur si simplu o submultime nevida X a lui Φ. Mai formal scris, avem: X Φ si X ≠ Æ; conditia pusa aici, ca agenda este nula (deci ca avem: X ≠ Æ) inseamna ca o situatie de alegere este fara sens daca nu admitem ca actorul rational are la dispozitie cel putin o alternativa. Sa definim o functie de alegere C. Ea indica, pentru fiecare agenda X, care sunt alernativele pe care sunt dispus sa le aleg. Sa notam cu C(X) aceasta multime. Mai riguros formulat, avem: sa notam cu P(Φ) multimea tuturor submultimilor lui Φ, asadar multimea tuturor agendelor cu care eu m-as putea confrunta. Atunci o functie de alegere C este o procedura prin care fiecarui element X al lui P(Φ) is se pune in corespondenta o (unica) multime C(X) de alternative.

C: P(Φ) → P(Φ)

Acum sa incercam sa determinam cateva dintre proprietatile lui C. Prima este aceea ca daca am la indemana o agenda X, atunci pare natural sa consider ca alegerea mea C(X) din X este o submultime a lui X; altfel zis, ar trebui sa avem, pentru orice agenda:

C(X) X

Caci altminteri am putea sa alegem o alternativa care nu e disponibila. Chiar daca nu am in frigider sucul meu preferat, eu il aleg pe acesta sa beau in aceasta dimineata: insa pare cel putin straniu sa spun ca am facut o asemena alegere. Mai degraba ideea este nu ca am ales o alternativa care nu e disponibila, ci ca pur si simplu nu am facut nici o alegere.

Dar, in al doilea rand, in multe situatii punem urmatoarea conditie: in orice situatie de alegere, in care deci - conform cu cele aratate mai devreme - avem la dispozitie cel putin o alternativa, alegerea este efectiva, adica alegem cel putin o alternativa (chiar daca, asa cum am sugerat mai devreme, aceasta este status quo-ul; daca intotdeauna punem ca alternativa si status quo-ul pe agenda, atunci alegerea e mereu nevida: caci a nu alege nici o alta alternativa inseamna a mentine alternativa deja practicata). Altfel spus, trebuie sa avem:

C(X ) ≠ Æ

Sa notam, in al treilea rand, ca nu am pus conditia - care pesemne ca multora le apare ca naturala - ca muiltimea C(X ) sa cuprinsa o singura alternativa, deci ca alegerea pe care o facem sa fie o unica alternativa. De pilda, daca X = , atunci C() va trebui sa fie, conform cu cele de mai sus, inclusa in agenda (altfel zis, sa nu cuprinda o alternativa alta decat x, y sau z, sa fie nevida (adica alegerea va fi cel putin una dintre cele trei alternative); dar ea poate sa constea in doua alternative, deci am putea avea sa zicem C() = C(), sau chiar C() = C(). Ceea ce inseamna ca, pus sa aleg intre alternativele x, y si y eu ma opresc asupra lui x si z sau nu pot sa elimin ca neacceptabila nici una dintre alternative.

Unii autori au sugerat si alte proprietati ale functiei de alegere C. Iata aici cateva care, intuitiv, apar ca plauzibile. Asa cum vom vedea, aceste proprietati ale functiei de alegere sunt se pot corela cu proprietatile relatiei de preferinta pe care un actor o sustine intre alternativele disponibile.

Independenta de cale (Plott: 1973). C X c Y = C C X c C Y

Aceasta conditie priveste ordinea in care se fac alegerile. Intr-un proces electoral, C(X c Y) indica faptul ca alegem intr-o singura etapa intre alternativele (candidatii) aflati in X c Y; dar C C X c C Y)) reprezinta o alegere care se face intr-un alt mod: mai intai aleg intre candidatii din X si, respective, dintre candidatii din Y, apoi aleg castigatorul dintre cei care au fost alesi in prima faza. De pilda, sa presupunem ca pentru functia de presedinte candideaza doua persoane x_S si y_S cu vederi de stanga si trei persoane x_D y_D si z_D cu vederi de dreapta. Eu pot pur si simplu sa ii iau pe toti impreuna si sa aleg cu cine votez, deci sa determin pe C(). Dar pot proceda si altfel: anume, mai intai determin pe care dintre candidatii de stanga l-as alege (deci construiesc multimea C(), apoi determin pe care dintre candidatii de dreapta l-as alege (deci construiesc multimea C() - iar apoi aleg candidatul castigator dintre acesti candidati. Proprietatea independentei de cale spune ca, oricum as proceda, ajung la acelasi rezultat. (Evident, o functie de alegere poate sa aiba sau poate sa nu aiba proprietatea independentei de cale!)

Conditia (Chernoff: 1954) O functie de alegere C satisface conditia daca si numai daca oricare ar fi agendele X si Y, daca e adevarat ca X Y, atunci C(Y) X C(X).

Conditia aceasta spune ca daca o alternativa x este aleasa dintre cele aflate pe agenda Y si daca eliminam din Y unele alternative (dar nu si pe x!), ramanand cu o agenda mai restransa X, atunci alternativa x va fi in continuare aleasa. Sa observam insa ca potrivit conditiei daca o alternativa y nu a fost aleasa in contextul mai larg, nimic nu o impiedica pe y sa fie aleasa in contextul mai restrans (acest lucru e rezonabil, fiindca e posibil ca o alternativa sa fi fost respinsa in contextul mai larg fiindca acolo exista o alternativa pe care o preferam acesteia; dar daca in noul context acea alternativa a disparut, desigur ca acum o pot prefera); conditia noastra spune doar ca x va trebui sa fie intre alternativele alese si in a doua situatie.

Chiar daca pare rezonabila, conditia nu este indeplinita de toate functiile de alegere sociala pe posibile[1]. Un exemplu este acela al regulii balotajului de alegere intre mai multi candidati. Sa presupunem ca pentru functia de presedinte al bordului unei organizatii neguvernamentale candideaza mai muti candidati: x₁, x₂, x_n. Fiecarui alegator i se cere sa ierarhizeze cei n candidati in ordinea pe care o doreste. In primul tur de scrutin m (m ≤ n) dintre acestia au un numar egal de aparitii pe primul loc. Regula cere sa se faca un al doilea tur de scrutin, iar alegatorii sa ierarhizeze din nou candidatii ramasi. (De cele mai multe ori dupa primul tur ramand doar doi candidati; in unele alegeri chiar se specifica faptul ca al doilea tur se face doar intre acestia, sau se specifica in ce fel, daca iarasi doi candidati sunt in balotaj, se alege intre ei, fara a se continua tururile de scrutin.) Or, aceasta regula nu satisface conditia . Intr-adevar, sa prespunem ca exista trei candidati x, y si y pe agenda Y. Sa mai prespunem ca 40% din electorat ii aranjeaza in ordinea (x, y, z), 40% in ordinea (y, z, x), iar restul de 20% in ordinea (z, x, y). Atunci C(Y) = (caci fiecare este pus pe primul loc de cate 40% dintre alegatori). Dar sa vedem acum in ce fel se alege doar intre cei candidati x si y (deci cum se alege din agenda X = ). Avem: 40% din alegatori ii aseaza in ordinea (x, y), alti 40% in ordinea (y, x), iar restul de 20% in iarasi in ordinea (x, y) (caci alegatorii nu mai au la dispozitie si candidatul z). Deci acum 60% pun pe locul intai pe x, deci C(X) = - in contradictie cu ceea ce solicita conditia , anume ca y sa fie in continuare selectata.

Sa luam acum o alta conditie (Sen: 1971):

Conditia . O functie de alegere C satisface conditia daca si numai daca oricare ar fi agendele X si Y avem: C(Y) C(X) C(X c Y

Conditia ne spunea ce se intampla daca incercam sa contractam agenda; conditia se refera la cazurile in care o extindem: daca o alternativa este aleasa in contexte mai restranse, atat cand avem la dispozitie agenda X cat si cand avem la dispozitie agenda Y, atunci ea va fi aleasa si intr-un context mai larg, atunci cand luam impreuna cele doua agende. Ca si in cazul conditiei , aceasta conditie nu impiedica situatiile in care o alternativa care era exclusa atat atunci cand se alegea din X cat si cand se alegea din Y sa fie aleasa totusi cand se pun impreuna toate alternativele din X si din Y.

Unele functii de alegere nu indeplinesc conditia ; cea mai cunoscuta este probabil regula pluralitatii. Potrivit acesteia, intr-o competitie este aleasa alternativa care obtine cel mai mare numar de voturi (daca in competitie sunt doar doi candidati, ea revine pur si simplu la regula simpla a majoritatii: este ales candidatul care obtine mai mult de jumatate din voturile care nu sunt abtineri). Sa presupunem iar ca avem trei candidati x, y si y; de asemenea, ca 40% din electorat aseaza candidatii in ordinea: (x, y, z), 35% in ordinea (z, y, x), iar restul de 25% in ordinea (y, x, z). Acum, daca luam agenda , avem C() = fiindca y e pus pe primul loc intre cele doua alternative de 60% dintre alegatori; daca luam agenda , avem C() = , fiindca y e pus pe primul loc intre cele doua alternative de 65% dintre alegatori; Dar sa luam agenda totala c = , care ii cuprinde pe toti cei trei candidati. Atunci avem C() = , fiindca x e asezat pe primul loc de cei mai multi dintre votanti (de 40%) - ca urmare regula pluralitatii nu indeplineste conditia

Sa adaugam inca doua conditii

Conditia (Sen: 1969) O functie de alegere C satisface conditia β daca si numai daca oricare ar fi agendele X si Y si alternativele x si y, daca X f Y si x C(X) si y C(Y) si y C(Y), atunci x C(Y).

In cuvintele lui Sen: daca la un anumit joc campionul lumii este pachistanez, atunci toti campionii Pachistanului la acel joc sunt si campioni ai lumii.

Conditia preferintei revelate. O functie de alegere C satisface conditia preferintei revelate daca si numai daca oricare ar fi agendele X si Y si alternativele x si y, daca x C(X), y X - C(X) si y C(Y), atunci x Y

Aceasta ultima conditie spune ca daca o alternativa este x revelata ca fiind mai buna decat o alta y, in sensul ca intr-un context de alegere (in cazul nostru X) ea este aleasa, in timp ce y e respinsa, atunci daca intr-un alt context de alegere (in cazul nostru Y) alternativa y a fost aleasa, inseamna ca x nu a fost disponibila acolo.

Un rezultat foarte important este urmatorul:

Teorema 1. O functie C de alegere satisface conditia preferintei revelate daca si numai daca ea satisface simultan conditiile si

Demonstratie. Mai intai, sa aratam ca daca o functie C satisface conditia preferintei revelate, atunci satisface si conditiile si . Pe de o parte, daca C satisface conditia preferintei revelate, atunci satisface si conditia . Intr-adevar, sa luam o alternativa x din X Y si sa presupunem de asemenea ca x C(Y). Pentru a arata ca C satisface conditia a lui Sen, trebuie sa aratam ca x C(X). Sa luam un oarecare y C(X). Cum e indeplinita condtia preferintei revelate, inseamna ca y Y. Asadar, avem x, y Y si x, y Y si x C(Y) si y C(X). Ca urmare, prin conditia preferintei revelate decurge ca x C(X). Pe de alta parte, sa aratam ca daca C satisface conditia preferintei revelate, atunci satisface si conditia . Demonstratia este simpla: presupunand ca avem x, y C(X) si X Y si y C(Y), trebuie sa aratam ca avem si x C(Y). Dar, cum X Y si din presupunerile facute decurge ca x, y Y, inseamna ca sunt indeplinite conditiile care permit sa aplicam conditia preferintei revelate si deci sa conchidem ca x C(Y).

In al doilea rand, sa aratam ca daca functia C satisface si conditiile si , atunci atisface si conditia preferintei revelate. Sa presupunem ca avem x, y X Y si ca x C(X) si y C(Y). Pentru ca sa obtinem rezultatul dorit, ca e satisfacuta conditia preferintei revelate, trebuie sa aratam ca x C(Y). Or, intrucat x, y X Y Y si y C(Y) conditia implica faptul ca y C(X Y). Mai departe, intrucat avem x, y X Y X si x C(X), conditia implica faptul ca x C(X Y). Dar acum am obtinut clauzele care fac sa se poata aplica conditia : avem x, y X Y Y si y C(Y). Prin conditia decurge acum ca x C(Y) - q.e.d.

Exercitiu. Cititorul poate incerca sa demonstreze si urmatoarele relatii intre conditiile definite in aceasta sectiune:

a)      Daca o functie C de alegere satisface conditiile α si β, atunci ea satisface si conditia γ.

b)      Daca o functie C de alegere satisface conditia independentei de cale, atunci satisface si conditia α.

Vom reveni asupra acestor conditii in sectiunea 5.3. Vom arata ca diferitelor proprietati ale functiilor de alegere le corespund proprietati ale relatiilor de preferinta intre alternativele disponibile.