Teorema lui Arrow

Teorema lui Arrow

In acest paragraf vom prezenta unul dintre cele mai cunoscute rezultate de "imposibilitate" in teoria alegerii sociale. El mai este cunoscuta ca un "paradox"; aceasta pentru ca, in esenta, el dovedeste o incompatibilitate intre doua seturi de conditii: pe de o parte, conditii plauzibile cu privire la aranjamentele acceptabile in care se realizeaza decizia sociala; pe de alta parte, ideea existentei unei proceduri de producere a unei relatii de preferinta sociala care ar trebui sa aiba caracteristici pe care le admitem ca rationale.

Teorema lui Arrow (1951) are urmatoarea structura: presupunem ca stim care sunt preferintele individuale (altfel zis, cunoastem agenda si profilul grupului G). Admitem, de asemenea, ca alegerea sociala e functie de preferintele individuale. Spre deosebire de teorema lui May, pe care am discutat-o in Capitolul 7, abordarea lui Arrow nu se concentreaza asupra unor reguli de preferinta sociala (RPS) specifice (cum este regula majoritatii simple). Dimpotriva, Arrow studiaza clase de astfel de reguli si isi propune sa determine proprietati pe care le au diferite astfel de clase. Am vazut ca o RPS ataseaza fiecarui profil al unui grup o preferinta sociala. O preferinta sociala trebuie sa fie analoaga relatiilor de preferinta individuale; asadar, ea trebuie sa aiba proprietatile de conectivitate si tranzitivitate. Teorema lui Arrow arata ca unele clase de RPS sunt vide: nu exista nici o regula de preferinta sociala care sa satisfaca anumite proprietati. In particular, unele proprietati ale RTS-urilor care par acceptabile se dovedesc a fi incompatibile: nu exista nici un RTS care sa aiba toate acele proprietati. Cum explica insusi Arrow structura demonstratiei sale:

Sunt propuse anumite proprietati pe care ar trebui sa le posede orice functie de alegee sociala. Apoi este examinata posibilitatea de a indeplini aceste conditii. Daca avem noroc, atunci va exista exacto o functie de alegere sociala care le va satisface. Daca suntem mai putin norocosi, vor putea sa existe mai multe functii de alegere sociala care vor satisface conditiile sau axiomele. In sfarsit, culmea nenorocului va fi atunci cand nu exista nici o functie care sa indeplineasca acele conditii dorite.[1]

Arrow defineste un numar de patru astfel de proprietati. Sa le formulam mai intai, dupa care le vom analiza pe scurt.

1. Domeniul universal. Oricare ar fi profilul p_G al grupului G si oricare ar fi alternativele x si y aflate pe agenda X a grupului, o regula de preferinta sociala trebuie sa genereze un singur rezultat (P(x,y) sau P(y,x) sau I(x,y)).

2. Criteriul Pareto tare. Pentru orice doua alternative x si y, daca x este preferata in mod nestrict lui y de catre orice membru al grupului G, si x e preferat strict lui y de cel putin un membru al grupului, atunci x este alternativa preferata social.

3. Independenta alternativelor irelevante. Sa presupunem ca avem doua profile p¹_G si p¹_G ale grupului G, deci doua seturi de preferinte posibile ale membrilor grupului. Daca in cele doua profile relatia de preferinta intre doua alternative x si y este aceeasi, pentru orice membru al grupului, atunci preferinta sociala intre x si y este aceeasi in ambele cazuri.

4. Nedictatura. Nu exista un membru al grupului astfel incat, pentru orice profil al grupului si pentru orice alternative diferite x si y de pe agenda grupului, daca acea persoana prefera strict pe x lui y, atunci si grupul va prefera strict pe x lui y

Proprietatea domeniului universal (sau, cum am mai numit-o in capitolul 7:    proprietatea determinarii) poate fi interpretata in sens logic - ca, oricare ar fi profilul grupului G, este posibil sa construim o functie de preferinta sociala; nu eliminam a priori nici un profil al grupului atunci cand incercam sa construim o functie de preferinta sociala. Pe de alta parte, ea are o interpretare politica evidenta: nu avem dreptul sa punem vreo limita asupra felului in care o persoana isi alege propria relatie de preferinta. Astfel, ea apare ca o cerinta liberala de admitere a oricarui plan de viata pe care o persoana individuala doreste sa il adopte. (Sa notam ca cerinta priveste nu numai prima alegere, ci oricare alegere intre doua alternative.) Criteriul lui Pareto, la randul lui, exprima mai curand o cerinta politica democratica decat o conditie cuprinsa in conceptul de rationalitate. Criteriul lui Pareto este in fond o conditie foarte slaba: cu greu ne putem imagina in ce situatie cineva ar putea sa obiecteze acestuia. (Si totusi, uneori exista prevederi constitutionale care impiedica adoptarea unor decizii, chiar daca acestea au sprijinul tuturor sau aproape tuturor membrilor societatii: de pilda, chiar daca toti oamenii dintr-o societate ar dori sa introduca sclavia, o constitutie poate interzice o astfel de decizie.) Independenta alternativelor irelevante, asa cum am vazut, spune in fond ca o alegere sociala trebuie corelata cu preferintele individuale; daca relativ la o pereche de alternative de pe agenda ele nu se schimba - chiar daca membrii grupului isi formeaza alte preferinte relativ la alte alternative si la raporturile acestora cu cele din perechea considerata - atunci preferinta intre cele doua trebuie sa ramana aceeasi. Aceasta proprietate ne permite asadar sa facem deductii cu privire la alegerea sociala intre doua alternative raportandu-ne doar la preferintele individuale intre acele alternative si sa lasam deoparte orice alte consideratii. Conditia de nedictatura poate fi direct interpretata politic: daca vrem ca grupul G sa fie o democratie, atunci nu putem accepta ca un anumit membru al lui sa isi impuna preferintele. (Sa notam insa si un aspect cu caracter logic foarte important: nu e posibil sa stabilim numai prin inspectarea preferintelor sale si a grupului daca o persoana este dictator intr-un grup. Caci daca ordinea preferintelor unei persoane coincide cu cea a grupului nu decurge deloc ca aceasta este dictator. Pentru a sustine ca ea este dictator trebuie sa facem apel la conditia domeniului universal, si sa aratam ca preferintele acelei persoane se impun oricare ar fi preferintele celorlalti.)

May si Arrow. Pesemne ca cititorul se va fi intrebat deja care este relatia dintre proprietatile lui May - pe care acest autor le-a formulat in vederea caracterizarii regulii majoritatii simple - si conditiile luate in considerare de Arrow. Evident, proprietatea domeniului universal apare in ambele cazuri. Cum stau lucrurile cu celelalte proprietati?

Sa incepem cu proprietatea anonimitatii a lui May. Ea spune ca nici un membru al grupului nu poate beneficia de un statut privilegiat. In particular, deci, nu poate intampla ca pentru un membru al grupului preferinta grupului intre doua alternative sa fie intotdeauna (adica: in orice profil) determinata de felul in care prefera acea persoana. Ceea ce e un alt mod de a spune ca proprietatea anonimitatii implica, drept un caz particular, proprietatea de nedictatura.

Sa luam acum proprietatea receptivitatii pozitive. Stim ca, potrivit proprietatii neutralitatii, daca avem un profil p_G = (0, . 0), atunci preferinta sociala a grupului G (care are n membri) intre cele doua alternative (fie x si y acestea) este una de indiferenta. (Mai formal scris, avem: f(p_G) = 0.) Acum sa construim un profil p¹_G apeland la proprietate receptivitatii pozitive, intrucat unul dintre membrii grupului si-a schimbat optiunea in favoarea lui x, vom avea f(p¹_G) = 1. Putem aplica aceasta schema de argumentare de inca n - 1 ori, pentru oricare din membrii grupului. Or, aceasta conditie este chiar conditia Pareto tare - care se dovedeste asadar ca poate fi obtinuta ca un caz particular al proprietatii lui May.

In sfarsit, e de asteptat sa incercam sa probam ca proprietatea neutralitatii are drept caz particular independenta alternativelor irelevante. Proprietatea neutralitatii, asa cum am vazut, ne cere sa tratam la fel toate alternativele. Altfel formulat, daca un anumit profil p_G trateaza o pereche de alternative (x,y) exact la fel cum un alt profil p'_G trateaza perechea de alternative (x',y'), atunci preferintele sociale rezultate trebuie sa trateze la fel cele doua perechi de alternative. Desigur, daca x' este exact x, iar y' este exact y, atunci obtinem conditia independentei alternativelor irelevante: oricum ar diferi intre ele doua profile, daca preferintele individuale in raport cu x si y sunt acelelasi, atunci la fel va fi si preferinta sociala intre cele doua alternative la cele doua profile.

Putem asadar conchide ca proprietatile considerate de Arrow sunt mai putin tari decat cele considerate de May. Dar daca lucrurile stau asa, cum putem compara cele doua teoreme, a lui May si a lui Arrow? Evident, implicatia este simpla: regula majoritatii nu poate indeplini simultan cele patru conditii ale lui May si, in acelasi timp, sa produca intotdeauna o relatie de preferinta sociala rationala, adica tranzitiva si completa. Or, exact acest lucru am vazut ca se intampla. Teorema lui Arrow e, asadar, mult mai generala decat cea a lui May: ea ne spune ca dificultati care sunt de genul celor discutate privind incalcarea tranzitivitatii se intalnesc la o clasa mult mai larga de reguli de agregare a preferintelor individuale.

Teorema de imposibilitate a lui Arrow. Nu exista nici un mod de agregare a preferintelor individuale (o RPS) care sa produca o relatie de preferinta sociala reflexiva, conexa si tranzitiva si care, de asemenea, sa satisfaca simultan: 1) conditia domeniului universal; 2) criteriul Pareto tare; 3) criteriul de independenta a alternativelor irelevante; 4) conditia de nedictatura.

Semnificatia teoremei este remarcabila. Caci, pe de o parte, cele patru conditii par acceptabile si exprima valori dezirabile; dar, pe de alt parte, teorema sustine ca ele nu pot fi implementate impreuna. Mai tare zis, potrivit acestei teoreme democratia insasi nu este implementabila, in masura in care noi consideram ca practica politica efectiva vizeaza acest obiectiv. E important sa notam ca abordarea are un caracter foarte general: ea este nu "cardinala" (asa cum de pilda solicita regula lui Borda), ci "ordinala"; ea nu ne cere sa traducem in termeni numerici preferintele noastre. De aceea, impactul teoremei lui Arrow este radical: ea sustine ca nici o regula numerica de decizie nu poate evita dificultatea formulata (contradictia), in particular nici o forma de regula majoritara sau reprezentativa. Aceasta pentru ca teorema se aplica oricarei reguli de alegere am adopta.

Inainte de a incepe demonstratie propriuzisa a teoremei, vom introduce cateva definitii si vom prezenta doua leme. Fie C o submultime a grupului G. Vom spune ca C este o coalitie. Ea este decisiva pentru alegerea lui x fata de y atunci cand, pentru orice profil al grupului, daca orice membru al lui C prefera nestrict pe x lui y si cel putin un membru al lui C prefera strict pe x lui y, atunci grupul va alege pe x. Vom spune, de asemenea, ca C este o coalitie decisiva daca ea este decisiva pentru alegerea intre orice pereche de alternative aflate pe agenda lui G.

Lema 1. (Lema de expansiune) Sa prespunem ca cele patru conditii ale lui Arrow sunt indeplinite de o RPS. Atunci, daca C este o coalitie decisiva pentru perechea (x,y), atunci ea este decisiva.

Demonstratie. Sa presupunem ca C este o coalitie decisiva pentru perechea (x,y). Sa aratam ca ea este decisiva si pentru perechea (u,w). Deoarece este indeplinita conditia domeniului universal, putem construi un profil al grupului in urmatorul mod: pentru orice j din C avem: P_j(u,x); P_j(x,y); P_j(y,w); dar pentru orice persoana i din G - C avem: P_i(u,x); P_i(y,w); P_i(y,x). Se observa usor ca pentru orice persoana j din C tranzitivitatea preferinte individuale conduce la P_j(u,w). Sa atatam ca preferinta grupului pentru perechea (u,w) est cea determinata de coalitia C.

Cum C este decisiva, preferinta sociala este P(x,y). Sa observam ca putem aplica criteriul lui Pareto perechilor (u,x) si (y,w). Obtinem: P(u,x) si P(y,w). Prin tranzitivitatea preferintei sociale, din P(u,x) si P(x,y) decurge P(u,y); mai departe, tot prin tranzitivitate din P(u,y) si P(y,w) decurge P(u,w). Prin conditia independentei alternativelor irelevante, singurul lucru care conteaza pentru preferinta grupului intre u si w este reprezentat de preferintele individuale intre cele doua alternative. Ca urmare C este decisiva pentru (u,w) - si, intrucat aceasta pereche este arbitrar aleasa, urmeaza ca C este decisiva.

Lema 2. (Lema de contractie) Sa prespunem ca cele patru conditii ale lui Arrow suntindeplinite de o RPS. Atunci, daca o coalitie C are mai mult de un membru, exista o submultime proprie a ei care este de asemenea o coalitie decisiva.

Demonstratie. Mai intai, partitionam pe C in doua grupuri nevide C₁ si C₂. Deoarece este indeplinita conditia domeniului universal, putem construi un profil al grupului in urmatorul mod: pentru orice j din C₁ avem: P_j(x,y) si P_j(y,z); pentru orice j din C₂ avem: P_j(y,z) si P_j(z,x). Pentru orice persoana i a grupului care nu este in coalitia C (deci, pentru membrii multimii G - C) avem P_i(z,x) si P_i(x,y). Cum C este decisiva, avem P(y,z). Acum, deoarece preferinta sociala R este completa, va trebui sa avem sau P(x,z) sau R(z,x). (Iar potrivit independentei alternativelor irelevante, felul cum prefera grupul intre x si z trebuie sa depinda doar de preferintele membrilor lui intre cele doua alternative.) Daca P(x,z), inseamna ca C₁ e decisiva pentru perechea (x,z) - iar potrivit lemei 1 de mai sus ea va fi decisiva pentru orice pereche de alternative. Daca insa R(z,x), atunci in conjunctie cu P(y,z) obtinem prin tranzitivitate P(y,x). Dar atunci (data fiind independenta alternativelor irelevante) coalitia C₂ va fi decisiva pentru perechea (x,z) - iar potrivit lemei 1 de mai sus ea va fi decisiva pentru orice pereche de alternative. Ca urmare, fie submultimea proprie nevida C₁, fie submultimea proprie nevida C₂ este o coalitie decisiva.

Demonstratia teoremei lui Arrow. Ideea demonstratiei este aceea de a arata ca, presupunand ca o regula de alegere sociala satisface cele patru conditii, atunci obtinem o contradictie. Intr-o alta forma, demonstratia consta in a presupune ca o regula de alegere sociala satisface primele trei conditii ale democratiei - domeniul universal; criteriul de unanimitate tare al lui Pareto; independenta alternativelor irelevante - si a dovedi ca atunci acea regula incalca conditia de nedictatura: exista un membru al grupului care determina alegerea sociala.

Sa observam mai intai ca, daca admitem criteriul tare al lui Pareto, exista coalitii decisive; anume, cel putin G este astfel. Desigur, pot exista si coalitii de marime mai mica decat G, deci s-ar putea ca C sa fie strict inclusa in G: C Ì G. La limita, daca C = , unde a I G, atunci membrul a al grupului ar fi dictator.

Fie acum o coalitie C care este decisiva pentru o pereche. Potrivit lemei de expansiune, ea va fi decisiva pentru orice pereche de alternative. Mai departe, potrivit lemei de contractie exista o submultime proprie a lui C care este o coalitie decisiva. Cum G este o multime finita, inseamna ca aplicand de un numar finit de ori lema de contractie vom obtime in cele din urma o multime cu un singur element care este coalitie decisiva. Dar aceasta situatie incalca proprietatea de nedictatura - q.e.d.

Teorema lui Arrow nu este singurul rezultat de imposibilitate obtinut in analiza agregarii preferintelor. (Secolul nostru este unul in care rezultatele de imposibilitate au reprezentat nu de putine ori evenimente semnificative in viata stiintifica: sa ne gandim, de pilda, la teoremele de nedemonstrabilitate ale lui K. Gdel!) Un alt rezultat interesant mentionat adesea este cel al lui Sen: nu exista nici o functie de decizie sociala care sa satisfaca simultan conditia domeniului universal, conditia Pareto slaba si conditia liberala.

Teorema lui Sen. Nu exista nici un mod de agregare a preferintelor individuale (o RPS) care sa indeplineaca simultan urmatoarele trei conditii:

conditia domeniului universal

conditia Pareto slaba

conditia liberala: pentru orice individ j exista cel putin o pereche de alternative (x,y) astfel incat daca acest individ prefera pe x lui y, atunci societatea va trebui sa prefere pe x lui y, iar daca individul prefera pe y lui x, atunci scietatea va trebui sa prefere pe y lui x.

Asa cum spune Sen, "valorile liberale par sa ceara sa existe alegeri care sunt personale si ca persoana relevanta sa fie libera sa faca ceea ce ii place. Social va fi mai bine, in aceste cazuri, sa i se permita sa faca ceea ce vrea, daca celelalte conditii raman neschimbate" (Sen: 1970, p. 87). Intr-adevar, conditai liberala spune ca exista alegeri in care fiecare dintre noi trebuie acceptat ca ultima autoritate pentru a fi facute: daca doresc sa imi zugravesc peretii din dormitor intr-o anumita culoare, atunci pare natural ca societatea sa nu doreasca sa imi impune o alta alegere; daca doresc sa dorm noaptea cu fata in jos, pare natural ca societatea sa imi permita mie sa fac alegerea cum sa dorm (Sen: 1970a). E important de notat aici ca "paradoxul" nu apare in raport cu posibilitatea de aconstrui o relatie de preferinta sociala tranzitiva (de asemenea, nu se face apel nici la independenta alternativelor irelevante). Tensiunea pe care o exprima el este aceea intre conditia lui Pareto si cea liberala: chiar daca criteriul Pare slab pare sa exprime ideea de liberate individuala, in realitate in cazurile in care avem sa alegem inre mai mult de doua alternative el conduce la consecinte care sunt profund neliberale.

Paradoxurile pe care le-am mentionat indica asadar ca intuitiile noastre privind conditiile prin care definim o democratie nu sunt foarte limpezi, iar uneori sunt chiar contradictorii; mai mult, aceste paradoxuri sunt surprinzatoare. Caci nu era deloc un fapt cunoscut ca ideea liberala, surprinsa de conditia lui Sen formulata mai devreme nu se impaca preabine cu criteriul lui Pareto; cum nici faptul ca admiterea conditiilor domeniului universla, Pareto si a independentei alternativelor irelevante sunt incompatibile cu dorinta ca nici o alegere sa nu se faca in chip dictatorial.

Exemple. Am discutat mi devreme o multime de reuli de agregare a preferintelor individuale. Fiecare dintre ele, daca nu e disctatoriala, trebuie sa incalce cel putin una dintre proprietatile presupuse in enuntul teoremei lui Arrow. Dar care? De pilda:

• Regula lui Borda incalca proprietatea independentei alternativelor irelevante[3].
• Votul prin aprobare incalca proprietatea independentei alternativelor irelevante.
• Regula majoritatii incalca proprietatea de tranzitivitate a relatiei de preferinta sociala.

Ne oprim aici in acest capitol. Anume, in momentul in care in fata noastra apare problematica atat de complexa a modalitatilor in care se poate raspunde provocarilor pe care teoremele privitoare la agregarea preferintelor individuale le-au ridicat. Cum se poate evita aparitia circularitatilor, a paradoxurilor agregarii preferintelor? Aceasta e problema pe care o vom aborda in capitolul urmator.