Fundamentarea primelor si a rezervei matematice la asigurarile de viata

Fundamentarea primelor si a rezervei matematice la asigurarile de viata

1. Asigurarile de viata si calculul probabilitatilor

Asigurarile moderne au trecut la practica primelor fixe. Aplicarea unui astfel de sistem presupune baze sanatoase pentru calcularea acestora.

Intrarea in aceasta faza a fost usurata:

de tinere de statistici privind producerea riscurilor;

de dezvoltare a acelei ramuri din stiintele matematice care se ocupa cu calculul probabilitatilor.

In asigurari nu se lucreaza cu probabilitati ideale. In constituirea tarifelor de prime se iau in vedere datele statistice care reprezinta probabilitati ideale corectate cu abaterile.

In asigurarile de persoane sunt numerosi factori care determina abateri:

varsta;

sexul;

starea matrimoniala;

antiselectia;

profesia;

regiunea geografica;

clima.

De-a lungul timpului, diferitele societati de asigurari si-au intocmit pentru necesitati proprii, tabele de probabilitate a ivirii unor riscuri. Un loc aparte intre acestea pentru asigurarile de viata il ocupa tabelele de mortalitate ale asiguratilor. Pe langa acestea, asiguratorii au intocmit si tabele de invaliditate si de morbiditate.

Societatile de asigurari construiesc astfel de tabele pe baza deceselor, a invaliditatii si a bolilor produse in randul asiguratilor.

Cu ocazia intocmirii recensamintelor populatiei, tarile intocmesc tabele de morbiditate generale a populatiei, pe care le folosesc in diferite lucrari cu caracter demografic. Asemenea tabele se folosesc si de institutiile de asigurare.

Ele cuprind o serie de indicatori:

- l_x = numarul supravietuitorilor de varsta x si arata cate persoane din generatia ipotetica de 100.000 nascuti vii mai sunt in viata la implinirea varstei de x ani.

- d_x = numarul decedatilor intre varstele x si x+1 ani si arata cate persoane dintre supravietuitorii varstei x mor inainte de a implini x+1 ani, adica in cursul anului considerat.

- q_x = probabilitatea de moarte intre x si x+1 ani si arata riscul la care e supusa o persoana care a implinit x ani sa inceteze din viata inainte de a implini x+1 ani.

- p_x = probabilitatea de supravietuire intre x si x+1 ani si arata sansele pe care le are o persoana care a implinit x ani sa fie in viata la implinirea a x+1 ani

- lm_x = numarul mediu al supravietuitorilor intre x si x+1 ani.

- E_x = speranta de viata la varsta x si indica numarul mediu de ani ramasi de trait pentru o persoana care supravietuieste varstei de x ani.

d_{x =} l_x - l_x+1    ;

   

= varsta la care moare ultimul supravietuitor ( la noi 100).

E_ox = speranta de viata la nastere, denumita durata medie de viata

indica numarul mediu de ani pe care poate sa-i traiasca un nou-nascut in conditiile intensitatii mortalitatii pe varste din perioada de referinta a tabelei de mortalitate.

d_x = l_x - l_x+1

; ;

probabilitatea ca o persoana de x ani sa fie in viata peste n ani (l_x = numarul supravietuitorilor la varsta x).

E de precizat ca indicatorii de supravietuire, respectiv de moarte sunt variabili pentru colectivitaea privita in ansamblul ei, dar ei pot varia de la o persoana la alta.

Societatile de asigurare urmaresc mortalitatea si pe sexe. Observarile au condus la concluzia ca mortalitatea, indeosebi dupa 50 de ani, e simtitor mai crescuta la barbati. Aceasta constatare justifica introducerea unor prime diferentiate pe sexe, mai ales la asigurarile viagere de pensii in sensul ca primele la asigurarile de pensii ale femeilor sunt mai mari intrucat bucurandu-se de o longevitate mai mare vor primi implicit pensii un numar de ani mai mare decat barbatii.

S-a studiat si dinamica mortalitatii in functie de starea matrimoniala, constatandu-se fenomene interesante. Pentru barbati, cel mai scazut grad de mortalitate se constata la cei casatoriti. Mortalitatea creste simtitor la celibatari, pentru ca la vaduvi si la divortati, indicele de mortalitate sa fie si mai mare. O dinamica de sens asemanator, desi gradele difera, se constata si la femei.

Profesiile au si un cuvant de spus in privinta mortalitatii. Societatiile care practica asigurari de viata nu fac grupaje deosebite in functie de acestea. In practica asigurarilor de accidente insa, profesia asiguratorului joaca un rol hotarator. Astfel, profesiile sunt impartite in 4-6 grupe, categoriile tarifare cu prime crescande de la categoria I spre categoria IV, respectiv VI, in ordinea cresterii periculozitatii.

Constatari interesante rezulta si din studiul influentei regiunii geografice si a climei asupra mortalitatii. In aceeasi tara, oamenii de la munte traiesc mai mult decat cei de la campie, si cei de la campie mai mult decat cei din zona de delta, datorita frecventei diferentiate a germenilor patologici. Mortalitatea in mediul rural e mai scazuta decat in cel urban, mentinandu-se pe sexe la varste mai inaintate, diferente de mortalitate in favoarea femeilor.

Influenta climei e de asemenea puternica. Populatia din zona temperata traieste mai mult decat cea din zona tropicala si poli. Persoanele care se deplaseaza de la un climat la altul, sensibil schimbat, au dificultati de adaptare, ceea ce trebuie sa stea in atentia asiguratorului.

Influenta antiselectiei nu poate trece neobservata. Statisticile arata ca in asigurarile de deces, mortalitatea la persoanele de toate varstele e mai ridicata decat mortalitatea generala si mortalitatea celor care incheie asigurari de viata in ciuda examinarii medicale ceruta in unele cazuri la asigurarile de deces, totusi persoanele care aleg asigurarile de deces si izbutesc sa o incheie, au o stare a sanatatii mai putin buna decat cele ce nu incheie asigurari sau incheie asigurari de viata.

Eficacitatea selectiei pe care asiguratorul o face prin reglementari sau examinare medicala e mai slaba decat cea a antiselectiei pe care o practica asiguratii.

2.Fructificarea fondurilor de asigurare

O particularitate a asigurarilor de viata o constituie perioada indelungata de 5-20 sau mai multi ani pentru care se incheie. In perioada respectiva, asiguratul plateste prime de asigurare, iar asiguratorul se angajeaza sa achite suma asigurata in caz de deces al asiguratului sau la expirarea asigurarii in caz de supravietuire a acestuia. Pentru a-si putea onora obligatiile asumate, asiguratorul isi creaza pe baza primelor incasate un anumit fond care, mentinut in circuitul economic, produce venit. Acest venit se ia in calcul atunci cand se stabileste marimea primei de asigurare. Venitul realizat de asigurator depinde de:

- marimea sumei varsate la fond;

- durata pastrarii acestora in circuitul economic;

- modul de fructificare.

C₀ - suma initiala C C C Cn

n - numarul de ani 0 1 2 3 n

r - rata de actualuzare ( const.)

C_n = ?

C_n = C₀ ( 1+ r)ⁿ = C₀ u_n 1+r = u - facctor de compunere simpla

- factor de disccontare simplu

L₀ - prima de asigurare

L_n - suma asigurata

n - durata asigurarii

r - rata de fructificare

3. Prima neta umica la asigurarile de viata

Avem asigurari:

I.  de supavietuire (de capitalizare) care dupa modalitatea de plata sunt: 1.cu plata forfetara (o singura data) a S_a;

2.cu plata S_a sub forma de rente (anuale) care dupa durata de achitare a rentelor sunt: a) asigurari de rente viagere

b) asigurari de rente amanate i) anticipate (la inc. anului)

c) asigurari de rente temporare ii) posticipate (la sf. anului)

d) asigurari amanate temporare

II.de deces (protectie): 1. asigurari viagere

2. asigurari amanate

3. asigurari temporare

4. asigurari amanate temporar

III.mixte de viata: - cu plata forfetara a S_a

combinatia lor.

- asigurari temporare de deces

Prima neta unica la asigurarile de supravietuire

1. Plata forfetara unica a S_a

_vⁿ

_{lx 1-lx+n}

_n

_{x x+n}

momentul subscrierii politei de asigurare ; x -varsta ; l_x - incheie asigurarea (sunt in viata) ; la momentul n sunt in viata l_x+n ; peste n ani achita 1 u.m. l_x+n ; S_a = 1 u.m.

se achita in prezent discontare:

angajamentul prezent: 1l_x+n^-vn

prima neta unica pentru un singur asigurat:

probabilitatea ca persoana care incheie azi asigurarea de x ani, sa fie in viata peste n ani.

l_x vⁿ = D_x - primul numar de comutatie la asigurarile de supravietuire

2.a.i. Prima neta unica la asigurarile de rente viagere anticipate

lx lx+1 lx+2 l

0 1 2 ω ω = 100 - la care moare ultimul supravietuire

prima unica unitara

al doilea numar de comutatie de la asigurarile de supravietuire

, daca S_a ≠ 1 S_a - suma asig. a rentei

- prima neta anuala

2.a.ii. Prima neta unica la asigurarile de rente viagere posticipate

, pentru S_a = 1

, pentru S_a ≠ 1

diferenta e ca la cele anticipate > cu o renta

2.b.i. Prima neta unica la asigurarile de rente amanate anticipate

l_x l_{x m} l

m ω

x x+m

m

m - durata amanarii platii rentelor (de la anul m asiguratorul incheie in fiecare an renta deces)

   

ex. m = 39 la asigurarile de pensii

2.c.i. la asigurarile de rente temporare anticipate

n - durata achitarii rentelor

- din primul an asiguratul plateste renta

- plata incepe din anul subscrierii

- ultima plata la inceputul anului n ( sfarsitul anului n-1)

2.c.ii. la asigurarile de rente temporare posticipate - ultima plata la sfarsitul anului n

; Ex.la barbatii ce au un copil in afara casatoriei, in loc de pensie alimentara.

2.d.i. la asigurarile de rente amanate-temporare anticipate

- trebuie sa treaca multi ani de la incheierea asigurarii ca timp de n ani sa fie achitata de asigurator

- ultima plata se face pentru l_x+m+n-1 supravietuitori

l_x    l_x+m    l_x+m+n

m m+n

n

Ex.asigurarea pentru un copil de 10 ani pentru ca la 18 ani si timp de 5 ani asiguratorul ii achita renta.

2.d.ii. la asigurarile de rente amanate-temporare posticipate - prima plata din m+1

3.2. Prima neta unica la asigurarile de deces

1) la asigurarile viagere de deces

- S_a merg la beneficiari

d_x - numarul de persoane ce decedeaza in (x, x+1) l_x

v₀ - nu trece primul an

ω - moare ultimul 0 1 2 ω

pentru S_a = 1

d_x * v^x = C_x    - primul numar de comutatie de la deces

- al doilea numar de comutatie de la deces

2) la asigurarea amanata de deces + trec cei m ani si numai dupa cei m ani decesul are loc, asiguratorul plateste.

,

3) la asigurarea temporara de deces

,

4) la asigurarile amanate-temporare de deces

3.3. la asigurarile mixte de viata

- pentru S_a

- pentru S_a

4. Prima neta anula la asigurarile de viata

k = durata de plata a ratelor anuale de prima

; k ≤ n ; _x - anuitatea anticipata limitata la k

4.1. la asigurarile de supravietuire

1. la asigurarile de supravietuire cu plata forfetara a S_a

2.a.i. la asigurarile de rente viagere anticipate

2.a.ii. la asigurarile de rente viagere posticipate

2.b.i. la asigurarile de rente amanate anticipate

2.b.ii. la asigirarile de rente amanate posticipate

2.c.i. la asigurarile temporare anticipate

2.c.ii. la asigurarile de rente temporare posticipate

; a_x - unitata

m - amanata

n - limitata

2.d.i. la asigurarile de rente amanate - temporare anticipate

2.d.ii. la asigurarile de rente amanate - temporare posticipate

4.2. la asigurarile de deces

1. la asigurarea viagera de deces

2. la asigurarea amanata de deces

3. la asigurarea temporara de deces

4. la asigurarea amanata - temporara de deces

4.3. la asigurarea mixta de viata

5. Determinarea primei comerciale (brute) unice la asigurarile de viata

Prima bruta unica

- pentru S_a = 1 u.m.

C_a = cheltuieli de achizitie (cheltuieli cu contractarea asigurarii)

comisionul agentului

cheltuieli cu examinarea medicala a asiguratului

cheltuieli cu publicitatea

cheltuieli cu formularele si cu introducerea in baza de date

C_a = L * S_a

"L" - coeficientul cheltuielilor de achizitie a asigurarii

C_i - coeficient de incasare a primelor

- coeficientul cheltuielilor de incasare a primelor

C_g -cheltuieli de gestiune ale asiguratorului

- = ch. de gestiune ale asiguratorului aferente duratei de incasare a primelor (k)

- = ch. de gestiune ale asiguratorului aferente duratei asigurate (n)

- = coef. ch. anuale de gestiune ale asiguratorului aferente duratei k

- = coef. ch. anuale de gestiune ale asiguratorului aferente duratei asigurate (n)

   

- pentru S_a = 1u.m. ,

Determinarea primei brute (comerciale) anuale la asigurarile de viata

;

- pentru S_a = 1u.m.

(1 u.m.) - prima anuala

varianta 1 - semestrial

(1+0,02) c_S = 2% comision

varianta 2 - trimestrial

(1+0,03) c_T = 3%

varianta 3 - lunar

(1+0,05) c_L = 5%

pentru plata cherabila a ratelor de prima: comision c_CH = 10%

v1).

v2).

v3).

6. Determinarea rezervei matematice la asigurarile de viata

Rezerva matematica = diferenta dintre valoarea actuariala a obligatiilor financiare ale asiguratorului si valoarea actuariala a obligatiilor financiare ale asiguratului.

Rezerva matematica teoretica (R_t)

Metoda prospectiva n-t

R_t

0 1 2 t n

x+t x+n

R_t = VA_tOA - VA_tOa

VA_tOA = valoarea actualizata actuariala la momentul t a obligatiilor financiare ale asiguratorului;

VA_tOa = valoarea actualizata si actuariala la momentul t a obligatiilor financiare ale asiguratului.

- pentru n = k VA_tOa =

VA_tOA = S_a *

exigibilitate

Metoda retrospectiva

t R_t

0 1 2 t n

x+t x+n

la momentul "0" VA_tOA = VA_tOa =0

la momentul "t" VA_tOa = R_t < S_a

VA_tOA =

VA_tOa = VA_tOa = VA_tOA

Rezerva matematica practica la asigurarile de viata prin metoda prospectiva

R_t = VA_tOA - VA_tOa    k-t

Situatia 1: t ( 0,k) S₁ R_t S₂ R_t

VA_tOa = 0 t k n

x+t

n-t

VA_tOA = S_a*

Situatia 2: t (k,n) ; C_i = 0 ;

VA_tOa = 0 R_t = VA_tOA

VA_tOA = S_a =

7. Stabilirea valorilor de rascumparare

pentru t creste spre 10 V_R =95% R_t - valoarea de rascumparare pentru reziliere <

pentru t ≥ 10 V_R = R_t - valoarea de rascumparare pentru reziliere ceruta dupa un nr. de ani ≥ 10

8. Determinarea sumei de asigurare reduse la asigurarile de viata (S.a.r.)

R_t = - rezerva se transforma in

R_t = (1 u.m.)

Pentru asigurarea mixta de viata: