Aparitia haosului in cresterea econmica clasica

Aparitia haosului in

cresterea econmica clasica

I.Introducere

Aceasta lucrare studiaza manifestarile fluctuatiilor neregulate in procesele de crestere economica, fluctuatii de o natura foarte neregulata si instabila numita "haotica" in literatura matematica, care reiese endogen in cadrul interactiunile dintre tehnologie, comportament si preferinte fara nici o influenta exogena a socurilor stahastice. In scopul introducerii acestui subiect, vom reconsidera modelul clasic al productivitatii si cresterii populatiei. Aceasta teorie ofera un punct de plecare convenebil si natural pentru aceasta investigatie: convenabil deoarece ofera cel mai bun cadru de studiere al haosului; natural pentru ca, Mathus care a oferit forma finala a acestei teorii, subliniaza ca oscilatiile ar fi trebuit sa fie modul comun al dinamicii populatiei si salariilor la inceput.

Teoria formala a "haosului" in sistemele dinamice deterministe este de origine relativ recenta si desi cativa cercetatori in alte domenii au sugerat relevanta lor posibila pentru economie, propria noastra munca si cea a lui Stutzer sunt aparent primele incercari de studiere ale fenomenului in modelele economice. Din acest motiv trecem succint in revista proprietatile de baza ai conditiile suficiente pentru haos inainte de a trece la analiza modelului clasic. Dupa aceste consideratii generale, sunt date exemple ce implica functii de productie si a ratei natalitatii specifice. Lucrarea se incheie cu remarci asupra aplicatiilor corelate si interpretari.

Teoria clasica a cresterii pe care o folosim aici este un teren familiar economistilor. Totusi cititorul trebuie sa fie pregatit pentru cateva surprize: in primul rand natura haosului matematic, dar si abilitatea modelului neliniar de a evolua avand diferite tipuri de comportament trecand dintr-unul in altul fara nici o schimbare corespunzatoare in structura initiala. Doua simulari numerice ilustreaza acest fenomen ca si "miscarile neregulate..retrogradate si progresive ale populatiilor"(Mathus).

II.Haos

Tipul fenomenului de dinamica discutat aici are o istorie recenta, dar surprinzator de variata si a aparut in cateva contexte matematice si stiintifice diferite. In momentul de fata presupunerile economice clasice despre productivitate, crestere a populatiei si distributia venitului sunt folosite pentru a obtine o singura ecuatie:

x_t+1=θ(x_t).

O traiectorie generata de θ:x -> θ(x_t) este o secventa ₀^∞ a carei elemente satisfac relatia 2.1. traiectoriile haotice sunt definite precis de Li si Yorke. In cuvinte, proprietatile haosului sunt patru. In primul rand, exista cilcuri periodice de orice ordin. In al doilea rand, exista un set de traiectorii haotice ce nu contin continand nici un ciclu. Traiectoriile din acest set au urmatorul caracter. In primul rand, fiecare traiectorie se indeparteaza de orice alta traiectorie haotica.in al doilea rand, toate traiectoriile haotice trec intamplator aproape de celelalte. In al treilea rand, traiectoriile haotice se indeparteaza de orice traiectorie periodica: sunt neperiodice si nu converg spre nici un ciclu de orice ordin. Evident, traiectoriile haotice sunt foarte instabile si au trasaturi comune exerientei noastre cu datele numerice economice care fluctueaza, de obicei intr-o maniera neregulata si cu o lipsa de previziune exasperanta.

Este atat natural cat si relevant sa se obtine conditiile sub care comportamentul haotic poate sa se iveasca dintr-un model ce incorporeaza structuri economice specifice. Ceea ce se foloseste in acest scop, in cadrul lucrarii este urmatoarea:

Teorema Li - Yorke. Fie functia din (2.1) o descriere continua a intervalului JJR. Presupunem ca exista punctul xJ astfel incat:

Atunci

(i) pentru oricare k=1,2,3,.. exista o traiectorie de perioada k in J, si

(ii) este haotic pe un set nenumarabil SJ.

Referitor la aceasta teorema, acum grija noastra este limitata la ecuatii diferentiale continue a caror descriere poate lua forma unei "singure cocoase", pentru anumite valori ale parametrilor, (0)=0 si cu (x) crescator cu '(x)>1 pentru x sufficient de mic si pozitiv. Pentru asa o harta putem defini o populatie maxima de obtinut. x^m generata de maximizarea populatiei x* cu

In figura I(b), (c) si (d) exista asemenea populatii, dar nu si in figura I(a). Datorita naturii ci o singura cocoasa a lui , populatia x* poate avea doua imagini initiale, cea mai mica, care o dotam cu x^c . Desigur ( x^c) = x*. Daca ( x^m)0 , atunci orice conditie initiala x trebuie sa se incadreze in intervalul [0, x^m] astfel sa existe un J dat necesitat de teorema lui Li-Yorke. Conditiile suficiente pentru haos (2.2) pot fi rescrise acum dupa cum urmeaza:

Procedura ce trebuie urmata este acum clara. Prima data stabilim parametrii, daca acestia pot fi gasiti, astfel incat x^m exista definit ca in (2.3). Apoi gasim parametrii astfel incat cele patru inegalitati din (2.4) sa poata fi satisfacute. Aceste lucruri sunt acum realizate pentru diverse versiuni ale modelului clasic de crestere economica.

Figura I

Economia clasica agrara.

Crestere convergenta si cele trei tipuri de haos

III. Economia agrara clasica

In forma ei cea mai simpla, teoria clasica de crestere este bazata pe trei ingrediente: o ecuatie in care se vede legatura ratei nete de nastere cu venitul, o functie de productie ce descrie " produsul imediat al muncii" si o functie de distributie care defineste plata muncii. Malthus spunea ca atunci cand necestiatile de viata erau in abundenta populatia tindea sa creasca cu o rata biologica sau naturala maxima, cand acestea erau putine , a presupus ca ratele nete de nastere erau maximul posibil de obtinut pentru un nivel de subzistenta determinat cultural, . Astfel, rata de crestere a populatiei in termeni per capita este guvernata de functia ,

in care P/P este rata neta de nasteri si este rata salariilor . Daca P=P_t+1-P_t , vedem ca ecuatia de crestere a populatiei devine:

Conform lui Malthus, notam faptul ca unitatea de timp este o "generatie" de doua zeci si cinci de ani , astfel incat (3.2) descrie evolutia unei secvente de generatii.

Consideram o societate agrara, egalitarista in cadrul careia outputul agregat, determinat de functia de productie se distribuie conform produsului mediu ( vezi Georgescu-Roegen[1960]) astfel incat

(3.3)

Se presupune ca si ca f continuu si are un singur punct de flexiune (o singura "cocoasa"). In acest caz (3.3) devine:

(3.4)

care, desi este formata din doua segmente este continua si cu un singur punct de flexiune (o singura "cocoasa"). In figura I sunt prezentate cateva diagrame de faza pentru ecuatia (3.4).

Presupunand ca rata naturala de crestere nu este foarte mare, vedem cahistoria economiei este guvernata de doua regimuri, unul in care rata de crestere este conditionata de rata naturala de si unul in care mijloacele de subzistenta guverneaza populatia. Primul mai este cunoscut si sub numele de " faza biologica sau faza B" iar cel din urma mai este cunoscut si ca "faza de subzistenta sau faza S". In figura I(b) , pentru o perioada de timp are loc o crestere monotona ce duce la o populatie stationare unde f()=, adica punctul in care productia este suficient anumai pentru a sustine populatia la nivelul de subzistenta. In figura I(b)-(d) are loc o explozie a populatiei, facandu-si aparitia cicluri cu perioade de bunastare alternand cu perioadele de foamete.

Dat fiind faptul ca f este cu un singur punct de flexiune, atunci exista si

(3.5)

Definim ca fiind preimaginea lui astfel incat , observam ca teoria haosului va fi satisfacuta in cazul in care

(3.6) .

A doua inegalitate a lui (3.6) implica :

(3.7) ;

ceea ce insemana ca , la o populatie maxima , produsul mediu al muncii scade sub nivelul de subsistenta cu o fractiune / . Sau, productia scade sub nivelul necesar pentru a sustine populatia la un nivel de subzistenta.

(3.8)

Dat fiind caracterul din doua parti al lui (3.2), pot avea loc mai multe tipuri de oscilatii.Pentru a le identifica , notam ca fiind preimaginea populatiei maxime, in cazul in care nu se tine cont de conditia biologica.

(3.9)

(Desigur , ). Isi fac aparitia trei cazuri distincte, infunctie de rata cresterii naturale si de parametrii functiei de productieDupa cum urmeaza:

Cazul I: sunt in faza de subzistenta.

Cazul II: este in fazabiologica, iar sunt in faza de subzistenta.

Cazul III: sunt generate de un regim biologic, se afla in acelasi timp si in faza de subzistenta.

In cazul I, prezentat in figura I(b), rata naturala este atat de mare incat conditiile Li-Yorke devin:

(3.10)

unde .In cazul II, prezentat in figura I(c), si . In concluzie, conditiile de suficienta devin:

(3.11)

In Cazul III, prezentat in figura I(d), rata de crestere naturala este mai mica, ceteris paribus, decat in cazurile I si II, astfel incat populatiile , si sunt fortate sa ramana in faza biologica. Deci, si . Din acestea, si notand , am gasit ca in azul III, conditiile de suficienta pentru haos, se reduc la inegalitatile:

(3.12)

Ceea ce reprezinta, faptul ca produsul mediu al muncii la o populatie maxima trebuie sa fie pozitiv, dar mai mic decat o fractie .

IV Exemple

Caracteristica comportamentului modurilor calitative mostenite din modelele clasice si evolutia haosului cand conditiile suficiente pot fi aratate functia productiei este satisfacuta.O functie folosita in acest scop este

(4.1)

In care termenul este     este functia putere de productie si termenul reprezinta factorul de reducere al productivitatii cauzat de o concentrare excesiva a apoplatiei. Cu aceasta tehnologie ecuatia diferentiala este:

(4.2)

Exemplu1. Ecuatia (4.2) a fost simulata pentru valorile parametrilor care satisfac cazul III a conditiilor suficiente.

Exemplul 2 Sa presupunem ca β=λ=1.Atunci functia de productie presupune functia patratica,

f(P)=AP(1-P).   

Sa presupunem de asemenea ca: σ=1si ca λ=1, o crestere naturala de rata care permite populatiei sa dubleze fiecare generatie dupa cum a presupus gresit Malthus.(Rata de crestere e pe la jumatate din cea la care s-a gandit). Asta duce la Cazul I in care P*=P**= si P=A/4. De acum, conditia suficienta pentru a gasii haosul este

A(4-A)/16<P, unde AP(1-P)=.

Pentru acest Caz I subsistenta fazelor influenteaza toate conditiile initiale P≥ Pastfel incat in intervalul [P,A/4]

P=AP(1-P).

Aceasta ecuatie a fost studiata mult, si dupa cum se stie limita haosului este aproximativ 3.57, mai putin decat cea data prin conditiile suficiente Li-York. In consecinta, pentru orice A asfel incat:

3.57<A<4,

Exista traiectorii haotice.(vezi Hoppensteadt si Hayman - 1977)

V. Modelul Haavelmo's Malthusian

In exemplele prezentate pana acum, nelinearitatea responsabila pentru generarea haosului vine din scaderea activitatii(indoitura) in functia de productie. Putem elimina aceasta caracteristica din model considerand γ=0, si sa aratam cum modificarea ecuatiei ratei de nastere poate influenta cand nasterile nete scad usor.

(5.1) folosita de Haavelmo care si-a exprimat etuziasmul pentru cresterea economica a lui Malthus. Combinand asta cu rata naturala a cresterii a lui Malthus obtinem (5.2) .

Acum, ecuatia populatie

.

Considerand casul III, din noi pentru simplitate, calculam . Din (3.12) otinem inegalitatea

(5.4),

care se reduce la (5.5).

Dar pentru Cazul III . Inlocuind in ecuatia precedenta obtinem obtinem urmatoarele conditii suficiente pentru haos:

(5.6)

Fie , si , putem reduce aceasta expresie la .

Deci, haosul poate eventuala ajunge in prezenta unei rate naturale care va implica o dublare a populatie la fiecare doua generatii, un numar rezonabil tinand cont de recordul istoric.

Anexa.

Definitii folosite in aceasta carte.

Definitia1. Iteratorul     este definit recursiv cu

Definitia2 . Un punct x este k-periodic pentru daca si pentru 0<i<k.

Li si Yorke au dat urmatoare definitia a haosului.

Definitia3. Fie J un interval in R care este apropia lui exemplu .Sa presupunem ca exista un set S nenumarabil inclus in J care contine puncte neperiodice cum ar fi X si pentru toti x,y S cu .

Pentru toate punctele periodice x si toti y atunci harta (ecuatia diferentiala 2.1) este haotic pe S si S se numeste set ingramadit.