Metoda ajustarii exponentiale a lui R.K. Brown

Metoda ajustarii exponentiale a lui R.K. Brown

Ajustarea exponentiala reprezinta o suma ponderata a tuturor datelor din trecut ale unei serii dinamice, cu ponderea cea mai mare plasata asupra celei mai recente informatii. Datele sunt nivelate cu o constanta de nivelare Ideea de baza a acestei metode consta in corectarea previziunii proportional cu abaterea constatata intre previziunile anterioare si realizarea lor, fiecare abatere fiind ponderata geometric descrescand, pe masura ce se indeparteaza de prezent, realizand, astfel, diminuarea progresiva a informatiilor vechi.

Metoda ajustarii exponentiale se poate aplica in doua situatii, si anume:

a) daca seria de date nu are un profil sezonier definit si un trend pe termen lung;

b) daca se iau in considerare sezonalitatea si trendul seriei dinamice.

1. Ajustarea exponentiala cand seria de date nu are profil sezonier definit si un trend pe termen lung

In cadrul unei previziuni care nu are un profil sezonier definit si un trend pe termen lung, Brown si-a definit modelul pornind de la teorema fundamentala Brown-Mayer care justifica constructia unor predictori polinomiali ca functie de orizontul prognozei. Conform acesteia, un sistem de previziune S poate fi generalizat printr-un polinom de gradul n, adica:

prognozand in momentul t pentru momentul t+q.

Teorema permite cuantificarea coeficientilor ai polinomului cu ajutorul sistemului de ecuatii:

Se stabilesc analitic toti P_i [], iar valorile numite valori medii nivelate de ordinul j sunt determinate de urmatorul calcul iterativ:

Rezulta, deci, ca pentru a putea efectua previziunea pentru o anumita perioada avem nevoie de 3 date, si anume:

nivelurile realizate in ultima perioada a seriei de date;

previziunile care s-au facut pentru ultima perioada a seriei de date;

valoarea lui , factorul de nivelare;

Expresia previziunii facute la sfarsitul perioadei t pentru perioada urmatoare t+1 poate fi scrisa sub forma:

Aceasta formula ne arata ca putem previziona, plecand de la ultima previziune si corectand cu o fractiune de eroare, factorul R_t cuprinzand si sintetizand toate previziunile din trecut, lucru deosebit de important in efectuarea calculelor numerice.

Plecand de la valorile pe care le poate lua pot aparea urmatoarele situatii:

daca previziunea va fi egala cu nivelurile efective din perioada curenta;

daca influenta realizarilor din ultimele perioade asupra previziunii pentru perioada urmatoare va fi mare;

daca (valoare mica), influenta realizarilor precedente asupra previziunilor va fi mica (previziunile de la o perioada la alta tinzand sa fie constante).

In general se considera ca  [0; 0,30]. Totusi anumiti analisti sugereaza pentru  valoarea:

unde N este ordinul mediei mobile folosite.

Aceasta relatie se recomanda a fi folosita in cazul unei tendinte liniare si se obtine plecand de la relatiile:

Egaland cele doua expresii si tinand cont de modul de calcul al lui x_t vom avea:

Pentru exemplificarea metodei de previziune a lui Brown, consideram datele din tabelul nr. 8.7., care reprezinta vanzarile efective de produse din cadrul unei societati comerciale pe durata a 4 trimestre ale unui an calendaristic. Se cere sa se previzioneze nivelul vanzarilor pentru primul trimestru al anului urmator.

Tabelul nr. 8.7.

Evolutia vanzarilor efective

Se cunoaste ca pentru primul trimestru al anului in curs, nivelul previzionat al vanzarilor efective este de 330 milioane (R_t-4), iar parametrul de nivelare este

Deci:

Deci, previziunea pentru perioada t este o medie ponderata a vanzarilor efective din acea perioada si a previziunilor facute pentru aceste vanzari. Valoarea previzionata a vanzarilor pentru trim. II este:

- Pentru trim. III:

- Pentru trim. IV:

- Pentru trim. I al anului urmator:

Modelul lui Brown calculeaza in perioada t previziunea pentru perioada t+1; in trim. IV al anului curent, vanzarile efective sunt de 575 mil. lei, iar pentru primul trimestru al anului urmator se prevad vanzari de 385,44 mil. lei.

Problema esentiala a modelului lui Brown consta in determinarea factorului (factorul de nivelare), care poate lua orice valoare intre 0 si 1 si, prin urmare, poate influenta hotarator asupra nivelului previziunii.

Daca, spre exemplu, =0,9, refacand calculele vom gasi:

De aici observam urmatoarele:

Atunci candeste foarte mic (apropiat de 0), valorile previzionate oscileaza putin in jurul mediei vanzarilor efective (429 mil. lei), iar candeste mare (apropiat de 1) previziunile urmaresc oscilatiile vanzarilor efective (sunt apropiate de vanzarile efective).

Aceasta se deduce usor din formula generala de calcul:

Dacaeste apropiat de 0, factorul S_t (deci ponderea vanzarilor efective in marimea previziunilor R_t este redusa, influenta cea mai mare exercitand-o factorul (1- )R_t-1, adica ponderea previziunii din etapa anterioara celei in care se face calculul. Cum aceasta este calculata ca o medie aritmetica simpla ponderata, este normal ca valorile previzionate sa oscileze in jurul mediei vanzarilor efective.

Pentru  apropiat de 1, situatia se prezinta invers, ponderea cea mai mare avand-o vanzarile efective ale perioadei de calcul, fapt care face ca valoarea previziunii sa oscileze putin fata de vanzarile efective.

Modelul prezentat considera ca nu exista un profil sezonier si un trend de lunga durata pentru seria dinamica pe baza careia se facea ajustarea. De aceea, procesul statistic este considerat stationar si, ca atare, previziunea nu este altceva decat o estimare a mediei vanzarilor dintr-o perioada oarecare.

2. Ajustarea exponentiala cand seria de date are un profil sezonier definit si un trend pe termen lung

Daca se au in vedere si celelalte componente ale unei serii dinamice, sezonalitatea si trendul, trebuie facute nivelari si pentru acestea. Ajustarea componentei sezoniere este cu atat mai necesara daca ea se repeta uniform. Nivelarea componentei sezoniere se face pe baza unui model asemanator cu cel al lui Brown, diferenta constand intr-un volum mai mare de date.

Pentru exprimarea influentelor sezoniere, previziunile estimate prin procedeul Brown sunt multiplicate cu un factor sezonier calculat ca un raport intre realizarile efective si cele ajustate (nivelate, desezonate) ale unei perioade trecute si, apoi, nivelat si acesta pentru perioada curenta, adica:

previziunea desezonalizata facuta in perioada t pentru t+1

previziunea facuta fara considerarea sezonalitatii

factorul sezonier (s = durata sezonului) obtinut cu relatia:

, unde este un factor de nivelare

S_t = niveluri efective in perioada t.

Deci, pentru a se obtine o previziune fara influenta sezonalitatii, nivelurile efective ale perioadei t trebuie desezonalizate.

Relatia lui Brown adaptata acestui scop va fi:

Pentru cazul cand se are in vedere obtinerea trendului, procedeul ramane, in linii mari, acelasi.

Previziunea pentru un numar de perioadecu trendul nivelat exponential si sezonalitatea ajustata va fi:

unde:

previziunea pentru perioade de timp viitoare

T_t = trendul estimat ajustat al perioadei curente conform relatiei:

M_t = valoarea previzionata desezonalizata obtinuta cu relatia:

Ajustarea exponentiala a factorului sezonier se face cu relatia prezentata mai sus.

Daca nu exista variatii sezoniere, putem determina trendul vanzarilor cu relatia:

Relatia arata ca ajustarea trendului implica adaugarea unei proiectii a factorului trend pentru o perioada viitoare (daca trendul este crescator) la previziunile din perioada curenta privind realizarile nivelate si cu trendul ajustat, sau scaderea acestei proiectii (daca trendul este descrescator).

Numarul perioadelor determina valoarea ajustarii totale a trendului.

Pentru ilustrarea metodei vom considera urmatorul exemplu:

Pentru previzionarea volumului vanzarilor desezonalizate in luna aprilie a anului curent, se cunosc urmatoarele date privind volumul vanzarilor unei intreprinderi (tabelul nr. 8.8.):

Tabelul nr. 8.8.

Evolutia volumului vanzarilor unei intreprinderi

mild.

In luna decembrie a anului anterior s-a previzionat ca vanzarile lunii ianuarie, anul curent, vor fi de 6 mild. lei, iar valorile factorilor de nivelare sunt = 0,3 si β = 0,5.

1) Prognoza vanzarilor cu sezonalitate pentru luna aprilie se determina cu relatia:

Deci:

R₁ = 0,3 5,7 + (1 - 0,3) 6 = 5,91 mild. lei

R₂ = 0,3 4,3 + (1 - 0,3) 5,91 = 5,427 mild. lei

R₃ = 0,3 4,9 + (1 - 0,3) 5,427 = 5,7589 mild. lei.

2) Calculul factorului sezonier se efectueaza prin raportarea vanzarilor previzionate cu sezonalitate la cele fara sezonalitate din perioada t-s (s=12 luni).

Deci:

3) Prognoza vanzarilor desezonalizate se determina cu relatia:

M_t = R_t F_t-s+1, cand exista o estimare curenta a factorului sezonier, sau cu relatia:

- cand avem o estimare a factorului sezonier.

Deci:

4) Estimarea curenta a factorului sezonier cu relatia:

Cu ajutorul valorilor curente ale factorului sezonier refacem calculele (prognoza vanzarilor desezonalizate):

M₁ = 5,91 0,937 = 5,538 mild.

M₂ = 5,427 0,881 = 4,781 mild.

M₃ = 5,7589 0,945 = 5,442 mild.

Sintetizand obtinem rezultatele prezentate in tabelul nr. 8.9.

Tabelul nr. 8.9.

Previziunea vanzarilor fara sezonalitate

mild. lei

Modelarea evolutiei ponderii pe piata a unor produse concurentiale utilizand lanturile Markov

Orice lant Markov este definit complet prin matricea sa stochastica P si prin distributia initiala a_j.

Daca consideram un ansamblu de rezultate posibile independente E₁, E₂ E_n in numar finit sau infinit si fiecarui rezultat ii asociem o probabilitate p_k, atunci probabilitatea unei succesiuni de rezultate se defineste prin probabilitatea multiplicativa de forma

P_r = p_j0 p_j1 p_jn.

In teoria lanturilor Markov se considera ca rezultatul oricarei incercari depinde de rezultatul incercarii care o precede direct si numai de aceasta. Daca fiecarei perechi E_j, E_k i se asociaza probabilitatea conditionata p_jk (adica, daca se realizeaza E_j, probabilitatea de realizare a lui E_k este p_jk) si probabilitatea rezultatului E_j al incercarii initiale este a_j (distributia initiala), atunci probabilitatea conditionata este, de fapt, probabilitatea de trecere de la E_j la E_k. Probabilitatile de trecere sunt reprezentate sub forma unor matrici patratice cu toate elementele nenegative si cu proprietatea ca suma elementelor unei aceleasi linii este egala cu 1.

Aplicarea modelelor bazate pe lanturile Markov in previziunile de marketing poate conduce, daca probabilitatile de trecere sunt corect evaluate, la obtinerea unor previziuni fezabile ale cotelor de piata si identificarea unor oportunitati pentru sporirea acestora.

Pentru ilustrarea aplicarii modelelor bazate pe lanturile Markov vom considera urmatorul exemplu:

Pe o piata sunt prezente trei firme care ofera consumatorilor acelasi produs A_i (A₁ = produsul oferit de firma 1 etc.). Cota de participare a fiecarei firme in totalul pietei la momentul 0 este A₁ = 45%; A₂ = 40%; A₃ = 15%.

Coeficientul de fidelitate de la o luna la alta este constant, si anume: 60% din cumparatori raman fideli produsului A₁, 70% din numarul consumatorilor raman fideli produsului A₂ si 80% produsului A₃. Ceilalti se reorienteaza spre celelalte produse conform datelor din tabelul nr. 8.19.

Tabelul nr. 8.19.

Reorientari ale consumatorilor

Considerand constante probabilitatile de tranzitie, se cere sa calculeze si sa se analizeze evolutia ponderii celor trei firme pe piata pentru o perioada de 6 luni.

Rezolvare

1) Se construieste matricea probabilitatilor de trecere in functie de coeficientul de fidelitate si de reorientarile cumparatorilor in doua luni succesive.

2) Se scrie distributia initiala sub forma unui vector linie cu elementele formate de ponderile pe piata ale produselor considerate la momentul 0:

a_j = (0,45; 0,40; 0,15)

3) Se determina cota pe piata a celor 3 firme dupa prima luna:

Deci A₁ = 33%; A₂ = 36,55%; A₃ = 30,45%.

4) Se determina ponderile pe piata a celor 3 produse dupa 2,3, , 6 luni in mod analog ca la 3)

Se obtin rezultatele consemnate in tabelul nr. 8.20.

Tabelul nr. 8.20.

Evolutia cotelor de piata la diferite momente

Din analiza evolutiei cotei de piata a celor 3 firme se constata urmatoarele: Firma 1 se afla in faza de declin, ponderea sa in totalul pietei fiind in continua scadere (de la 45% la 19,84%). Firma 2 se afla, de asemenea, in declin, cota sa de piata scazand continuu de la 40% pana la 30,59%. Firma 3 se afla in faza de crestere, ponderea sa in totalul pietei crescand de la 15% la 49,57%.

De aici deducem ca firmele 1 si 2 trebuie sa-si intensifice actiunile de promovare si sa imbunatateasca calitatea produsului oferit.

Model de livrare a unor produse conform unui spectru constant aplicat unor comenzi succesive (metoda vectorilor spectrali)

Aceasta metoda se poate utiliza in determinarea unor previziuni pentru o perioada imediat urmatoare (cateva luni).

Ea se bazeaza pe descompunerea spectrului succesiunii in timp a unei comenzi conform graficului de livrare pe baza unor date din trecut privind evolutia sau structura acesteia. Un vector spectral este un vector coloana de forma:

unde v_j; j=1,2,,n sunt componentele vectorului in perioade succesive ce indeplineste conditia .

Cunoscand ca livrarile de marfuri se fac esalonat in timp, comanda corespunzatoare unei perioade T este livrata fractionat in subperioadele t, t+1, , t+n.

Pe baza comenzilor emise in diferitele luni (perioade) succesive se intocmeste matricea comenzilor

Componentele acestei matrici reprezinta comenzile valorice emise in trecut (= comanda cea mai veche) si cele prevazute in viitor (= comanda ultima avuta in vedere).

Vanzarile de marfuri in perioada (t, ) se pot determina cu ajutorul relatiei:

unde V_j este vectorul spectral determinat anterior.

Pentru ilustrarea aplicarii modelului vom considera urmatorul exemplu:

O societate comerciala trebuie sa livreze un produs pentru a acoperi o comanda de 500 mil. lei. Graficul de livrare prevede o esalonare a satisfacerii comenzii pe 8 luni calendaristice, astfel: l₁ = 8%; l₂ = 3%; l₃ = 19%; l₄ = 12%; l₅ = 18%; l₆ = 20%; l₇ = 7% si l₈ = 13%.

In lunile precedente s-au emis comenzi de 400, 100 si 200 mil. lei, iar in urmatoarele 2 luni se estimeaza ca se vor primi comenzi de 300 si respectiv 600 mil. lei. Toate comenzile sunt satisfacute dupa acelasi grafic.

Sa se determine valoarea vanzarilor (cifra de afaceri a intreprinderii) pana la epuizarea comenzilor.

Rezolvare

Se construieste vectorul spectral de forma:

si matricea comenzilor:

Inmultind matricea comenzilor cu vectorul spectral, gasim vectorul format din valoarea produselor livrate, care, insumate, ne vor da valoarea totala a vanzarilor pana la epuizarea comenzilor = 1997 mil. lei.