Modele econometrice cu ecuatii multiple

Scurt istoric privind aparitia si evolutia in timp a modelelor cu ecuatii multiple

De cele mai multe ori, descrierea formala a unui proces economic nu se poate realiza numai prin intermediul unui model econometric continand o singura ecuatie. Acest lucru a impus elaborarea unor modele econometrice continand mai multe ecuatii, denumite modele cu ecuatii multiple sau simultane.

Modelarea macro-economica cantitativa a aparut pe la sfarsitul anilor '30 in Europa, dupa care se propaga puternic in SUA, care recupereaza si devanseaza preocuparile in acest domeniu din Europa.

Istoric, primul model macro-econometric complet a fost construit in 1936 de Tinbergen pentru economia Tarilor de Jos.

Miscarea initiata astfel de Tinbergen, care, cativa ani mai tarziu (1939), va construi si primul model pentru Statele Unite, se va dezvolta in SUA sub conducerea lui Lawrence Klein.

In evolutia modelarii macro-econometrice se pot delimita trei perioade.

Prima perioada incepe din anii '40 si dureaza pana la mijlocul anilor '50 si reprezinta o perioada de 'tatonare' a modelarii.

Aceasta perioada se incheie cu elaborarea unui model foarte important in istoria modelarii macro-econometrice, modelul Klein-Goldberger (1955), care poate fi considerat ca un veritabil stramos al majoritatii modelelor ulterior elaborate in Statele Unite.

O a doua perioada poate fi considerata ca incepand cu acest model si dureaza pana la sfarsitul anilor '60.

Proiectul modelului Brookings, lansat la inceputul anilor '60 acopera simbolic aceasta a doua perioada prin marimea sa (de 10 ori mai multe ecuatii decat modelul Klein-Goldberger, 272 in loc de 25).

Modelul Brookings a determinat evolutia modelarii intr-o maniera foarte importanta prin activitatea de specificare si estimare pe care o implica. Cu toate acestea, a fost un esec pentru ca modelul a facut demonstratia contrara a faptului ca un model nu se limiteaza la juxtapunerea componentelor individuale, oricat de bine ar fi ele separate, ci trebuie sa fie o structura integrata.

Cea de-a treia perioada a modelarii, care incepe la sfarsitul anilor '60 si dureaza pana in zilele noastre, e caracterizata de o accelerare a fenomenului. In perioada 1970-1975 au fost construite 12 modele ale economiei americane, in timp ce in perioada 1955-1965 au aparut doar 7 modele.

Marimea modelelor a crescut sensibil - modelul Brookings nefiind o exceptie - in plan cantitativ, acordandu-se o importanta deosebita fenomenelor nominale (determinarea pretului, sectorul monetar-financiar) si mecanismelor dinamice (mecanismele de acumulare, mecanismele anticiparilor).

In Statele Unite exista circa 12 modele macro-econometrice mari cu care se lucreaza in prezent, dintre care doua sunt publice: cel al Departamentului de Comert (BEA) si cel al Bancii Federale din St. Louis, care e un model de inspiratie monetarista. Patru modele apartin

unor societati private de consulting care-si vand previziunile impreuna cu alte servicii de informare economica (Data Resources, Chase Econometrics etc.). Marile universitati sunt aproape toate dotate cu modele autonome, de exemplu modelul Wharton al prof. Klein, modelul MPS elaborat de Universitatea din Pennisylvania, modelul MIT al Rezervelor Federale Americane etc.

In Europa nu s-a atins inca acest nivel, dar miscarea s-a dezvoltat cu un decalaj de 5-10 ani fata de Statele Unite, modelarea fiind mult mai dificila pentru economiile europene, care sunt dependente de exterior.

In Franta, demarajul modelarii macro-econometrice a fost mult mai tardiv: primele modele franceze au aparut spre sfarsitul anilor '60, adica la circa 20 de ani dupa debutul celor americane, si la 35 de ani dupa modelul original al lui Tinbergen. Bugetul economic a fost elaborat mult timp (1950-1965) fara a face apel la modelele explicite ("metoda previziunii fara model'), iar in activitatea de planificare nu s-a dispus de un model macro-econometric (modelul FIFI) decat incepand cu cel de-al VI-lea Plan.

Incepand cu anul 1965 (mai mult de 12 ani), modelarea macro-econometrica se va dezvolta in Franta in principal in cadrul a doua servicii administrative: Directia de Previziune si INSEE (Institutul National de Statistica si Studii Economice), aflate intr-o legatura mai mult sau mai putin stransa cu procedurile de elaborare a bugetelor economice si a planului.

Primul model francez (ZOGOL) a fost construit in 1966, fiind apoi inlocuit de modelul DECA, care sunt doua modele de buget economic de inspiratie keynesista care au raspuns situatiei economice din acea perioada (nivelul cererii globale si conditiile de repartizare a venitului) si obiectivelor de politica economica (politica de reglare a cererii globale).

Modelul STAR (Schema Teoretica a Acumularii si Reportului), care i-a urmat in 1974 modelului DECA (1971) pentru a asigura previziunea pe termen scurt, reprezinta o adaptare a structurii modelului la teoria economica de natura neo-keynesista din acea perioada.

Modelul STAR va fi inlocuit de modelele METRIC si COPAIN.

In afara acestor modele de buget economic, administratiile franceze au elaborat in aceasta perioada un model pe termen scurt destinat elaborarii previziunilor planului - modelul FIFI.

Modelul FIFI nu se mai bazeaza strict pe teoria keynesista, ci este adaptat si tipului de economie concurentiala, punandu-se un accent deosebit pe politicile economice care conduc la ridicarea competitivitatii sectoarelor economice.

In decursul anilor '80 s-a trecut de la "monopolul administrativ' la "pluralismul previziunilor'. In cadrul acestui pluralism al previziunilor au aparut o serie de institutii private de previziune cum ar fi GAMA (Grupul de Analiza Macro-Economica Aplicata) al Universitatii din Nanterre, precum si alte trei centre de studiu "extra-administrative', un centru universitar - OFCE (Observatorul Francez al Conjuncturilor Economice), un centru "patronal' IPECODE (Institutul de Previziune Economica si Financiara pentru Dezvoltarea Intreprinderilor), un centru "sindical' - IRES (Institutul de Cercetari Economice si Sociale) etc.

Desi in practica economica se utilizeaza modele econometrice de volum mare (un numar mare de ecuatii), totusi, in special, si nu numai, pentru intelegerea si manipularea acestora, se pleaca de la modele cu un numar mai mic de ecuatii. In acest sens, in continuare, vor fi prezentate cateva modele econometrice cu ecuatii multiple de volum mic-folosite deja in teoria economica, dar fara o interpretare econometrica-care vor permite familiarizarea cu acest tip de modele si o trecere in revista a etapelor, particularitatilor si a semnificatiiilor econometrice pe care le ofera acestea.

Exemple de modele cu ecuatii multiple:

I. Modelul static al lui Keynes

(I)

II. Modelul dinamic al lui Keynes

(II)

unde:

Y_t (V_t) = PIB sau venitul national sau venitul pe o familie;

C_t = consumul final sau consumul final al populatiei sau consumul pe o familie;

I_t = investitii sau economii (investitii) facute de o familie;

G_t = cheltuieli publice (consumul final al administratiei publice);

u_t = variabila aleatoare;

= perioada de timp observata.

III. Modelul descrierii econometrice a formarii pretului de echilibru:

(III)

IV.Modelul descrierii legii cererii si a ofertei

(IV)

unde:

O_t = oferta produsului;

C_t = cererea produsului;

P_t = pretul produsului;

V_t = venitul consumatorilor.

V.Model privind optimizarea ratei acumularii sau rata investitiilor:

(V)

unde:

rata acumularii sau a investitiilor;

eficienta investitiilor;

ritmul de crestere a venitului national.

VI. Model privind descrierea econometrica a marimii si dinamicii consumului populatiei:

(VI)

unde:

Imp_t = importul;

P_t = pretul relativ al produselor interne raportat la pretul produselor de pe piata externa;

Exp_t = exportul.

VII. Modelul descrierii spiralei preturilor (a inflatiei) si a salariilor

(VII)

sau:

(VIII)

unde:

= indicele costului vietii;

S_t = salariul mediu;

W_t = productivitatea muncii.

Modelele de mai sus au mai mult un rol didactic. Ele pot fi folosite insa atat in scopuri explicative (euristice) sau chiar decizionale. In practica economica, la nivelul economiilor nationale, se folosesc in general modele de dimensiuni mari - sute sau chiar mii de ecuatii.

Un model cu ecuatii multiple descrie, fie totalitatea tipurilor de relatii econometrice - relatii de comportament economic, de identitate, institutionale sau tehnologice - fie doar anumite tipuri, ca, de exemplu: modelul (II) este format dintr-o ecuatie de comportament sociologic (1), dintr-o ecuatie de comportament financiar (2) si dintr-o ecuatie de identitate (3). De retinut ca intr-un astfel de model variabilele endogene pot juca si rol si de variabile explicative.

Variabilele endogene sunt cele variabile care apar numai in partea stanga a ecuatiilor, iar cele exogene apar numai in partea dreapta a acestora.

Astfel, modelul (II) este format din trei variabile endogene, C_t, V_t si I_t si din doua variabile exogene, V_t-1 si G_t. Aceste tipuri de modele se construiesc, mai intai, sub forma structurala. Un model cu ecuatii multiple este sub forma structurala atunci cand reprezinta descrierea formala a unei teorii economice cu privire la procesul sau sistemul economic analizat. De cele mai multe ori, forma structurala a unui model econometric se deduce din schema logica a dependentelor si interdependentelor dintre fenomenele ce definesc procesul economic descris de model.

De exemplu, modelul (I) poate fi reprezentat sub urmatoarea forma:

Figura 1.1

Modelul (VIII) poate fi fundamentat pe o schema de forma:

Figura 1.2

Modelele cu ecuatii multiple se pot construi sau pot fi intalnite sub doua forme:

- modele cu ecuatii simultane;

- modele recursive.

Forma structurala si forma redusa a unui model cu ecuatii simultane

Un model econometric cu ecuatii multiple se elaboreaza sub forma structurala, adica el reprezinta transpunerea formala a teoriei economice referitoare la procesul economic investigat prin intermediul unui sistem de ecuatii.

Forma structurala este forma initiala a modelului, asa cum a rezultat in urma etapei de specificare, reprezinta structura (elemente si conexiuni) procesului descris.

Etapa de specificare consta in alegerea variabilelor endogene si stabilirea numarului de ecuatii din forma structurala, alegerea numarului de variabile factoriale considerate determinante pentru evolutia fiecareia dintre variabilele endogene, stabilirea formei fiecarei ecuatii de regresie, definirea relatiilor de identitate, daca exista.

In general, un model econometric cu ecuatii multiple descrie fie totalitatea tipurilor de relatii econometrice - relatii de comportament economic, de identitate, institutionale sau tehnologice - , fie doar anumite tipuri.

Intr-un astfel de model, variabilele endogene pot juca rol si de variabile explicative. Variabilele endogene sunt cele care apar numai in partea stanga a ecuatiilor modelului, iar cele exogene apar numai in partea dreapta a acestora.

Forma generala a unui model este forma in care toate variabilele endogene sunt in acelasi timp si variabile exogene. In general, modelele cu ecuatii simultane sunt reprezentate de acele modele cu ecuatii multiple in care toate variabilele endogene apar in toate ecuatiile modelului. In unele cazuri particulare, variabilele endogene apar numai in anumite ecuatii, nerespectand o anumita regula, o anumita ordine in succesiunea ecuatiilor modelului.

Sub forma generala, un model cu ecuatii simultane, in forma structurala, se prezinta astfel:

    (2.1)

unde:

, T = numarul perioadelor observate;

, n = numarul variabilelor endogene, y_i;

, m = numarul variabilelor exogene, x_j;

b_ij = parametrii variabilelor endogene, ,; dar pentru i = j T b_ij = 1, adica numarul parametrilor variabilelor endogene este egal cu n (n - 1);

c_ij = parametrii variabilelor exogene x_j, , aferenti variabilelor endogene y_i, , al caror numar este egal cu n m

Notand cu:

matricea parametrilor b_ij, atasati variabilelor endogene, de dimensiune (n, n) si avand n (n-1) parametrii necunoscuti ce vor trebui estimati;

vectorul valorilor variabilelor endogene, de dimensiune (n, 1);

matricea parametrilor c_ij de dimensiune (n, m) si avand n m necunoscute;

vectorul valorilor variabilelor exogene x_j, de dimensiune (m, 1);

matricea valorilor variabilei aleatoare u_i, de dimensiune (n, 1).

Modelul in forma generala cu ecuatii simultane prezentat sub forma structurala, scris sub forma matriceala devine:

BY+CX=U   

A rezolva un model definit de relatia (2.2) inseamna a estima cei n(n-1) parametri b_ij si cei n m parametri c_ij. Un procedeu clasic de a estima cei [n(n-1)+n m] parametrii consta in aplicarea directa a M.C.M.M.P. Se poate demonstra insa ca aplicarea M.C.M.M.P. fiecarei ecuatii in parte conduce la obtinerea de estimatori deplasati, nesemnificativi. Din acest motiv, estimarea parametrilor unui model cu ecuatii simultane nu se face pe baza exprimarii lui sub forma structurala ci pe baza formei reduse a acestuia.

Forma redusa a unui model structural cu ecuatii simultane presupune ca toate variabilele endogene ale modelului in forma generala sa fie exprimate numai in functie de variabilele exogene ale acestuia.

Pornind de la relatia (2.2), forma redusa a modelului structural cu ecuatii simultane se obtine prin inmultirea la stanga cu inversa matricei B (B ^-1):

Y + B ^-1CX = B ^-1U    (2.3)

Rezolvarea modelului in forma redusa (2.3) consta in aplicarea M.C.M.M.P. fiecarei ecuatii a acestuia. In acest sens se fac urmatoarele substituiri:

A = - B ^-1 C - matricea A avand dimensiunea n m si continand a_ij elemente, ( ; );

Z = B ^-1 U - vectorul coloana a variabilei aleatoare.

Astfel, forma redusa a modelului devine:

Y = A X + Z (2.4.)

In urma aplicarii M.C.M.M.P. modelului in forma redusa, (2.4.), se vor obtine valorile celor n m estimatori a_ij , respectiv elementele matricei A, de dimensiune n m

3 Identificarea modelului

Etapa identificarii este operatia prin care se revine la forma structurala, plecand de la forma redusa a modelului, deoarece numai sub forma structurala modelul are semnificatie economica. Estimarea parametrilor formei structurale pe baza estimatorilor formei reduse se numeste identificarea modelului cu ecuatii simultane in forma redusa.

Matriceal, aceasta operatie presupune estimarea parametrilor matricei B si ai matricei C, b_ij si c_ij, in numar de [n(n-1)+n m], pornind de la n m parametrii estimati ai matricei A, a_ij, cunocuti: B^-1 C = A, adica estimarea a [n(n-1)+n m] parametrii (necunoscute), dispunand de n m ecuatii, ceea ce, matematic, nu e posbil. De aici apar trei situatii:

1) Daca numarul zerourilor din matricele B si C este egal cu n(n-1), respectiv daca in matricele B si C exista n(n-1) zerouri, atunci modelul este just identificat, adica numarul ecuatiilor, n m, este egal cu numarul necunoscutelor, [n(n-1)+n m] - sistem de ecuatii unic determinat. Prin aplicarea M.C.M.M.P. asupra formei reduse a modelului rezulta estimatorii parametrilor acesteia, pe baza carora se determina parametrii formei structurale.

2) Daca in matricele B si C exista un numar de zerouri mai mare decat n(n-1), modelul este supraidentificat, deoarece exista mai multe ecuatii decat necunoscute. In acest caz, estimatorii modelului se calculeaza cu ajutorul M.C.M.M.P aplicate in mai multe stadii.

3) Daca in matricele B si C exista un numar de zerouri mai mic decat n(n-1), modelul este nonidentificabil, deci exista mai putine ecuatii decat necunoscute - nu vor putea fi calculati toti cei [n(n-1)+n m] parametrii b_ij si c_ij, dispunand de numai n m valori a_ij, respectiv de n m ecuatii. In acest caz, modelul initial va trebui reconstruit.

Un model cu ecuatii simultane, sub forma structurala, poate fi alcatuit din ecuatii corect identificate, din ecuatii supraidentificate si din ecuatii nonidentificate.

- daca un model cu ecuatii simultane are o singura ecuatie nonidentificata, modelul, in ansamblul sau, este nonidentificabil. El va trebui reconstruit sau se va renunta la utilizarea sa.

- daca un model cu ecuatii simultane are o singura ecuatie supraidentificata, modelul, in ansamblul sau, este supraidentificat.

- un model cu ecuatii simultane este just identificat daca toate ecuatiile sale sunt corect identificate.

Pornind de la aceste considerente, se pot formula cateva reguli privind identificarea unui model cu ecuatii structurale:

- daca numarul variabilelor absente dintr-o ecuatie este egal cu numarul variabilelor endogene minus 1(n-1), atunci ecuatia este corect identificata;

- daca numarul variabilelor absente dintr-o ecuatie este mai mare decat numarul variabilelor endogene minus 1, atunci ecuatia este supraidentificata;

- daca numarul variabilelor absente dintr-o ecuatie este mai mic decat numarul variabilelor endogene minus 1, atunci ecuatia este nonidentificabila.

Desi, teoretic, identificarea unui model cu ecuatii simultane se poate face fie pe baza ecuatiei matriceale A = -B^-1 C, fie pe baza discutiei fiecarei ecuatii in parte, in practica economica se utilizeaza ultima varianta. Metoda discutiei fiecarei ecuatii este mai simpla, mai rapida, si, in plus, permite depistarea ecuatiei (sau ecuatiilor) nonidentificabile care degenereaza modelul chiar in etapa de construire a acestuia.

4 Metode de estimare a parametrilor unui model cu ecuatii simultane

Estimarea parametrilor unui model cu ecuatii simultane se poate realiza cu diverse metode in urmatoarele cazuri:

- daca modelul structural este recursiv (forma structurala coincide cu forma redusa) fie se aplica M.C.M.M.P. direct fiecarei ecuatii a modelului structural, fie metoda verosimilitatii maxime;

- daca modelul structural nu este recursiv (trebuie adus la forma redusa), apar urmatoarele situatii:

model nonideintificabil estimarea imposibila a parametrilor matricelor B si C se construieste un nou model;

model corect identificat se poate aplica metoda regresiei indirecte si M.C.M.M.P. in doua faze;

model supraidentificat se poate aplica M.C.M.M.P. in doua faze sau in trei faze, metoda verosimilitatii maxime cu informatie limitata - metoda comisiei Cowles, metoda variabilelor instrumentale, metoda verosimilitatii maxime cu informatie limitata.

In mod curent, pentru ultimele doua cazuri se utilizeaza urmatoarele metode :

metoda regresiei indirecte;

M.C.M.M.P. aplicata in doua faze ;

M.C.M.M.P. aplicata in trei faze. 

Metoda regresiei indirecte se aplica numai in cazul modelelor corect identificate. Cu ajutorul acesteia se estimeaza parametrii formei reduse a modelului prin aplicarea M.C.M.M.P. fiecarei ecuatii in parte, dupa care, pe baza acestora, se estimeaza parametrii formei structurale.

M.C.M.M.P. in doua faze, prezentata de H. Theil in 1958, se poate utiliza la estimarea parametrilor unui model cu ecuatii simultane, atat in cazul modelelor supraidentificate, cat si in cazul modelelor corect identificate. Aplicata in acest ultim caz, aceasta metoda conduce la rezultate identice cu cele obtinute cu ajutorul metodei regresiei indirecte.

Estimarea parametrilor unui model cu ecuatii simultane cu M.C.M.M.P. in doua faze presupune efectuarea urmatoarelor operatii:

Faza I: se regreseaza fiecare variabila endogena a modelului numai in functie de variabilele exogene ale acestuia; se estimeaza parametrii acestor ecuatii cu ajutorul M.C.M.M.P. si se calculeaza valorile teoretice (ajustate sau estimate) ale variabilelor endogene pe baza ecuatiilor respective.

Faza II : in ecuatiile formei structurale a modelului, in care variabilele endogene apar ca variabile exogene, se vor introduce valorile acestora estimate in Faza I; se va aplica din nou M.C.M.M.P. ecuatiilor structurale si se vor obtine estimatorii parametrilor modelului cu ecuatii simultane.

M.C.M.M.P. in trei faze a fost propusa de A. Zellner si H. Theil. Aceasta presupune, intr-o prima etapa, aplicarea M.C.M.M.P. in doua faze in vederea unei estimari preliminare a parametrilor formei structurale, dupa care se efectueaza o reestimare pe ansamblu a modelului prin intermediul M.C.M.M.P. generalizate. Autorii au demonstrat ca aceasta metoda este mai eficienta decat M.C.M.M.P. in doua faze, dar e mai sensibila la erorile de specificare a modelului.

Faza I

Fie modelul:

BY + CX = U (forma structurala)

Y = AX + Z (forma redusa)

- se considera prima ecuatie a modelului in forma structurala (2.1), care se mai poate scrie astfel:   

Variabila endogena y_1t se mai poate scrie astfel:

sau matriceal:

(4.2)

- se estimeaza y_2t, ., y_nt, rezultand valorile ajustate ale variabilei endogene:

Y = Ŷ + z (4.3)

Faza II

In ecuatia (4.2) se inlocuieste Y cu valoarea sa estimata rezultand:

T

(4.4)

- se calculeaza valorile estimate ale variabilei reziduale z:

- se estimeaza matricea variantelor si covarintelor reziduurilor:

Faza III

Stiind ca Y, X si U sunt vectori formati din T elemente, sub forma matriceala, Y₁ va fi de forma:

(4.5)

unde:

W₁ = matricea definita plecand de la variabilele (Y₂, .:X_{1, .} );

D₁ matricea definita plecand de la parametrii b_ij si c_ij ce urmeaza a fi estimati.

Aceasta relatie este valabila si in cazul celorlalte variabile endogene, rezultand astfel urmatorul sistem de ecuatii:

Acesta se mai poate scrie si matriceal astfel:

sau :

Y= W D + U

Se estimeaza apoi global matricea parametrilor D cu ajutorul M.C.M.M.P. generalizata:

(4.7)

este estimatorul obtinut prin M.C.M.M.P. in trei faze.

De retinut ca toate metodele de estimare a parametrilor unui model cu ecuatii simultane se fundamenteaza pe ipotezele de aplicare a M.C.M.M.P. In acest sens, in toate etapele sau fazele de aplicare a M.C.M.M.P. se va realiza discutia econometrica a fiecarei ecuatii privind acceptarea sau non-acceptarea ipotezelor, verificarea semnificatiei estimatorilor si a modelului respectiv.

5 Exemple de modele cu ecuatii simultane

Cazul 1 Model corect identificat - modelul static al lui Keynes

Fie modelul I :

(I)

Semnificatia economica a modelului[1]

- venitul unei familii este utilizat pentru consum si pentru investitii (economii) sau P.I.B. este destinat consumului final si investitiilor- vezi ecuatia (2);

- consumul unei familii consta din consumul autonom (sau stocurile de bunuri existente la inceputul perioadei t), exprimat de a si din cheltuirea unei parti din venitul obtinut in perioada t - vezi ecuatia (1). De regula, a > 0, iar , = rata marginala a consumului in functie de venit sau P.I.B., respectiv cu cati lei creste consumul unui produs, grupe de produse sau consumul total al familiei daca venitul creste cu 1 leu, consumul si venitul fiind exprimati in lei.

Discutia econometrica a modelului

Acest model este constituit pe baza a trei variabile, doua variabile endogene, C_t si V_t, (n = 2) si o variabila exogena, I_t. Ecuatia (1) descrie o relatie de comportament economic, iar ecuatia (2) o relatie de identitate economica, o relatie contabila.

Modelul (I) este un model cu ecuatii simultane sub forma structurala, variabilele endogene figurand si ca variabile exogene in ecuatiile acestuia.

Discutia econometrica a acestuia se poate face pe doua cai :

pe baza discutiei modelului general-structural ;

pe baza discutiei fiecarei ecuatii a modelului.

Modelul(I), scris structural, sub forma generala - toate variabilele endogene si exogene figureaza in toate ecuatiile modelului - devine:

(I)

De retinut ca, atunci cand in ecuatiile aleatoare ale modelului apare un termen liber (parametrul "a din ecuatia (1)), aceasta inseamna ca apare o variabila exogena fictiva, X₀, care este un vector coloana unitar:

Ecuatia matriceala corespunzatoare modelului (I), sub forma structural-generala este:

BY + CX = U

unde matricile corespunyatoare sunt:

Sub forma redusa - adica variabilele endogene sunt regresate numai in functie de variabilele exogene - modelul matriceal de mai sus se transforma in:

Y + (B^-1∙C)∙X B^-1∙U

unde:

Notand cu:

modelul sub forma redusa devine:

Y + A∙X = Z

Prin aplicarea M.C.M.M.P. celor doua ecuatii ale modelului redus:

se estimeaza parametrii matricei A:

Identificarea modelului (I) presupune estimarea parametrilor matricelor B si C. Aceasta operatie se deduce din:

respectiv:

Deoarece toti parametrii modelului sub forma structurala au putut fi estimati, rezulta ca modelul (I) este just identificat.

Aceeeasi concluzie s-ar fi obtinut si prin analiza elementelor matricelor B si C. Daca aceste matrice ar fi avut toate elementele nenule ar fi rezultat opt parametri ce ar fi trebuit estimati pe baza pe baza celor patru termeni ai matricei A. Deoarece matricele B si C au doi termeni nuli, respectiv 2 =n∙m (n = 2; m = 1) se deduce ca modelul este just identificat.

Discutia econometrica a modelului pe baza fiecarei ecuatii se axeaza numai pe ecuatiile aleatoare ale modelului structural. Ecuatia (2) fiind de tip contabil, starea modelului este data numai de structura ecuatiei (1). Aceasta ecuatie contine doua variabile, C_t si V_t, lipsind una, I_t. Deoarece in cadrul ecuatiei (1) numarul variabilelor absente (unu) este egal cu numarul variabilelor endogene minus unu (n -1 = 2 - 1 ), ecuatia (1) este corect identificata, modelul structural (I) fiind un model corect identificat.

Parametrii unui model cu ecuatii simultane just identificat pot fi estimati fie cu ajutorul metodei regresiei indirecte, fie cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicata in doua faze.

Estimarea parametrilor modelului (I) prin metoda regresiei indirecte

Aplicarea acestei metode consta in estimarea parametrilor ecuatiilor formei reduse cu M.C.M.M.P., dupa care urmeaza operatia de identificare - estimarea parametrilor formei structurale pe baza estimatorilor formei reduse.

Forma redusa a unui model structural consta in regresarea variabilelor endogene numai in functie de variabilele exogene ale acestuia. Obtinerea formei reduse a modelului I rezulta in urma efectuarii urmatoarelor operatii:

a) se introduce ecuatia (2) in ecuatia (1) obtinandu-se ecuatia:

Se noteaza cu:

;

;

variabila aleatoare homoscedastica, independenta, ce urmeaza o distributie normala, de medie zero si abatere medie patratica s_z = ct.

Se obtine astfel ecuatia:

(3)

b) se introduce ecuatia (1) in ecuatia (2) rezultand ecuatia:

T

Se noteaza cu: si se obtine ecuatia:

(4)

c) modelul (I), scris sub forma redusa,[2] se prezinta astfel:

Prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuatiilor (3) si (4) se vor obtine estimatorii, si ai parametrilor a b si b

d) identificarea modelului cu ecuatii simultane (I) presupune estimarea parametrilor a si b pe baza valorilor estimatorilor , si .

Estimarea acestora se deduce din notatiile efectuate anterior:

e) in final se vor efectua calculele necesare verificarii semnificatiei estimatorilor si , a semnificatiei modelului si a independentei erorilor.

Estimarea parametrilor modelului (I) cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicata in doua faze

Faza 1: Modelul contine doua variabile endogene, C_t si V_t, si o singura variabila exogena, I_t, dar numai variabila V_t este si variabila exogena in ecuatia (1). Aceasta se va regresa numai in functie de variabila exogena I_t :

Cu ajutorul M.C.M.M.P. se vor estima parametrii c si d. Pe baza valorilor estimate ale acestora si a valorilor variabilei I_t, se vor estima valorile lui V_t:

Faza 2: In ecuatia (1) a modelului (I) se vor introduce valorile estimate,:

Parametrii a si b vor estimati cu ajutorul M.C.M.M.P., dupa care se vor continua calculele in vederea acceptarii modelului obtinut: .

Cazul 2 - Model supraidentificat- modelul dinamic al lui Keynes

(II)

unde:

Y_t = PIB sau venitul national;

C_t = consumul final al populatiei;

I_t = investitii;

G_t = cheltuieli publice (consumul final al administratiei publice);

u_t = variabila aleatoare;

a₁, b₁, b₂ = parametrii modelului econometric ce urmeaza a fi estimati.

Trecerea de la forma structurala la forma redusa presupune obtinerea unui nou model, in care variabilele endogene se regreseaza (depind) numai in functie de variabilele exogene. Prin simple operatii algebrice efectuate asupra ecuatiilor (1), (2), (3) ale modelului (II) se ajunge la modelul (II.F.R.) sub forma redusa:

- se inlocuiesc in ecuatia (3), expresiile lui C_t, I_t din ecuatiile (2) si (3)

- expresia obtinuta pentru Y_t se inlocuieste in primele doua ecuatii ale modelului

Deci, modelul sub forma redusa se prezinta astfel:

(II.F.R.)

Notand cu:

unde: z_1t, z_2t, z_3t = variabile aleatoare.

In urma efectuarii inlocuirilor, modelul (II.F.R.) in forma redusa devine:

(II.F.R.)

Semnificatia economica a modelului (II)

Acesta se fundamenteaza pe aceleasi premise economice ca si modelul (I), dar, prin separarea consumului in doua componente, C_t = consumul populatiei si G_t = cheltuieli guvernamentale (sau consumul statului), are aplicabilitate numai la nivel macroeconomic.

In plus, fata de modelul (I), prin introducerea variabilei decalate, Y_t-1 - P.I.B.-ul din perioada trecuta, capata un aspect dinamic, ceea ce il face apt nu numai pentru scopuri explicative ci si pentru simulari si prognoza.

Ecuatia (2) a modelului are suport economic, deoarece, de cele mai multe ori, investitiile din perioada curenta sunt finantate din veniturile perioadei trecute.

Discutia econometrica a modelului

Modelul (II) contine trei (n = 3) variabile endogene, C_t, I_t si Y_t, si doua variabile exogene Y_t-1 si G_t. Ecuatia (1) descrie o relatie de comportament social, ecuatia (2) o relatie de comportament financiar, iar ecuatia (3) o relatie contabila.

Modelul (II) este un model cu ecuatii simultane sub forma structurala deoarece toate variabilele endogene sunt si variabile exogene in ecuatiile modelului.

Ecuatia (1) este supraidentificata deoarece numarul variabilelor absente este egal cu trei, numar superior numarului de variabile endogene minus unu (3 > n - 1 = 3 - 1 = 2).

Ecuatia (2) este corect identificata deoarece numarul variabilelor absente este egal cu doi si este egal cu numarul de variabile endogene minus unu (2 = n - 1 = 3 - 1 = 2).

Deoarece modelul contine o ecuatie de identitate, una corect identificata si alta supraidentificata, este supraidentificat, iar estimarea parametrilor formei structurale se va face cu ajutorul M.C.M.M.P. in doua faze.

Estimarea parametrilor modelului supraidentificat pe baza M.C.M.M.P. in doua faze

Faza I

Variabila Y_t este singura variabila endogena care, in ecuatiile (1) si (2), este si variabila exogena. Ca atare, ea va fi regresata in functie de cele doua variabile exogene, Y_t-1 si G_t:

Estimatorii si vor fi determinati cu ajutorul M.C.M.M.P., iar, pe baza valorilor acestora, vor fi estimate valorile teoretice ale variabilei Y_t:

(3'')

Faza II

In ecuatiile (1) si (2) ale modelului structural (II) se vor introduce valorile ajustate,, obtinandu-se ecuatiile:

(1'')

(2'')

Prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuatiilor (1'') si (2'') vor fi estimati parametrii modelului structural si apoi va urma testarea semnificatiei acestora .

Cazul 3 - Model nonidentificabil - descrierea legii cererii si a legii ofertei unui anumit produs pe o anumita piata in perioada t, :

(III)

unde:

O = oferta produsului;

C = cererea produsului;

P = pretul produsului;

V = venitul consumatorilor.

Semnificatia economica a modelului

Modelul prezentat mai sus descrie in mod fidel teoria economica privind comportamentul agentilor economici si al consumatorilor.

Ecuatia (1) arata ca producatorii isi maresc oferta pe masura ce creste pretul produsului, a₁ > 0.

Ecuatia (2) exprima corelatia inversa dintre cerere si pret, b₁ < 0, si importanta ofertei in satisfacerea nevoilor consumatorilor prin valoarea lui b₂ ,.

Ecuatia (3) releva echilibrul ce trebuie sa se manifeste pe piata produsului pentru a anihila tendintele contrare ale cresterii pretului, sporirea ofertei si diminuarea cererii, tendinte care ar duce la distrugerea pietei, respectiv la falimentul producatorilor prin disparitia cererii.

Discutia econometrica a modelului

Modelul (III) este un model cu ecuatii simultane sub forma structurala, care contine doua variabile endogene C_t = O_t = Q_t = volumul productiei ce trebuie sa existe pe piata si

P_t    = pretul de vanzare al produsului[4], si o variabila exogena, V_t = venitul consumatorilor.

Parametrii a₁, b₁ si b₂ reprezinta ratele marginale ale ofertei in functie de pret, ale cererii in functie de pretul produsului si in functie de venit.

Ecuatia (1) este corect identificata, deoarece numarul variabilelor absente, (unu), este egal cu numarul variabilelor endogene minus unu (1 = n - 1 = 2 - 1 = 1).

Ecuatia (2) este nonidentificata, deoarece numarul variabilelor absente, (zero), este mai mic decat numarul variabilelor endogene minus unu (0 < n - 1 = 2 - 1 = 1).

Modelul (III), continand o ecuatie corect identificata si una nonidentificabila, este un model nonidentificabil, adica in etapa de identificare nu vor putea fi estimati toti parametrii formei structurale.

Estimarea parametrilor unui model nonidentificat se face atat cat este posibil cu ajutorul metodei regresiei indirecte. In acest scop, modelul sub forma structurala trebuie adus la forma redusa.

Forma redusa a modelului (III)

Pornind de la ecuatia (3), rezulta ca:

T

T (4)

Se introduce ecuatia (4) in ecuatia (2), (C_t = O_t = Q_t):

T

(5)

Notand cu:

- variabila aleatoare

- variabila aleatoare

Modelul sub forma redusa va fi de forma:

(III. F.R.)

Parametrii a a b b se estimeaza cu ajutorul metodei celor mai mici patrate, aplicata fiecarei ecuatii in parte. Fie , , si estimatorii acestor parametri obtinuti cu M.C.M.M.P.

Identificarea modelului (III) - estimarea parametrilor modelului structural - presupune calcularea valorilor celor cinci parametrii, necunoscuti (a₀, a₁, b₀, b₁, b₂), pe baza a patru estimatori, cunoscuti (, , si ), utilizand relatiile:

In lipsa unei alte relatii intre parametrii modelului structural, din cele patru relatii de mai sus, nu va putea fi estimat decat parametrul a₁:

In practica economica, uneori, in cazul modelelor nonidentificabile, estimatorii modelului structural se determina cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicata direct ecuatiilor acestora. Dar, de cele mai multe ori, estimatorii obtinuti nu sunt semnificativ diferiti de zero.

6. Modele recursive

Spre deosebire de modelele cu ecuatii simultane, care permit descrierea relatiilor de interdependenta dintre variabilele endogene ale unui proces sau sistem economic, modelele recursive constau in construirea unor ecuatii care se inlantuiesc logic, variabilele endogene din ecuatiile precedente devin variabile exogene in ecuatiile urmatoare, adica variabilele endogene respecta o anumita regula, o anumita ordine, in transformarea lor in variabile exogene.

Sub forma generalizata, un model recursiv este descris ajutorul urmatorului sistem de ecuatii:

(6.1)

care, sub forma matriceala, devine:

(6.2)

sau BY + CX = U, unde matricea B este o matrice triunghiulara, adica toti parametrii matricei B situati deasupra diagonalei principale a acesteia sunt nuli, b_ij = 0 pentru j > 1.

In acest caz, se poate demonstra ca estimatorii rezultati in urma aplicarii directe a M.C.M.M.P. fiecarei ecuatii a modelului recursiv sunt nedeplasati, convergenti si eficace, daca pot fi acceptate ipotezele pe care se fundamenteaza M.C.M.M.P., respectiv ca metoda verosimilitatii maxime, in aceasta situatie, consta in estimarea parametrilor ecuatiilor structurale cu ajutorul M.C.M.M.P.

Pornind de la forma generala a unui model recursiv, se pot elabora multiple forme teoretice particulare, cum ar fi, de exemplu:

Modelul A:

Modelul A contine trei variabile endogene, y₁, y₂, y₃, (n = 3) si trei variabile exogene, x₁, x₂, x₃. Ecuatia (2), fiind o ecuatie de identitate, fara parametrii de estimat, nu necesita o discutie econometrica. Ecuatia (1) este o ecuatie supraidentificata deoarece numarul variabilelor absente - trei -este mai mare decat numarul variabilelor endogene minus unu: 3 > n - 1 = 3 - 1 = 2, iar ecuatia (3) este corect identificata deoarece numarul variabilelor absente - doi- este egal cu numarul variabilelor endogene minus unu: 2 = n - 1 = 3 - 1 = 2.

Acest model, fiind un model supraidentificat, estimatorii sai vor trebui determinati cu ajutorul M.C.M.M.P. in doua faze, dar, o analiza econometrica a modelului structural A, va releva ca acesta este un model recursiv si, ca atare, estimatorii acestuia pot fi calculati cu o metoda mai simpla - M.C.M.M.P. aplicata direct celor doua ecuatii structurale, (1) si (3).

Astfel, daca ecuatia (2) se introduce in ecuatia (3), aceasta devine:

T (4)

Modelul A, descris pe baza ecuatiilor (1) si (4), se transforma in:

care, sub forma matriceala, se prezinta astfel:

Matricea B din ecuatia matriceala BY + CX = U, fiind o matrice triunghiulara, este de forma:

rezulta ca modelul A, descris de cele trei ecuatii structurale ale modelului, este un model recursiv.

Modelul B:

Modelul B este un model cu ecuatii multiple sub forma structurala, construit pe baza a trei variabile, doua endogene, y₁, y₂, (n = 2) si una exogena, x₁.

Daca acesta este tratat ca un model cu ecuatii simultane rezulta ca:

- ecuatia (1) este corect identificata deoarece numarul varibilelor absente - 1 este egal cu numarul variabilelor endogene minus unu (1 = 2 - 1);

- ecuatia (2) este nonidentificata deoarece numarul variabilelor absente (zero) este mai mic decat n - 1 = 1.

Datorita ecuatiei (2), modelul B este un model nonidentificabil, adica nu va putea fi estimat decat parametrul a₁. Dar, daca se va pleca de la forma generala a modelului structural, se va constata ca B, matricea parametrilor variabilelor endogene, este o matrice triunghiulara:

BY + CX = U

Modelul B, fiind un model recursiv, estimatorii acestuia pot fi calculati cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicata direct celor doua ecuatii structurale.

Exemple de modele econometrice recursive

Exista numeroase cazuri in care, urmand teoria economica a unui proces sau sistem economic, dependentele si interdependentele dintre fenomenele economice pot fi descrise cu ajutorul modelelor de acest tip, ca, de exemplu:

Modelul (I )- Estimarea legii cererii unui anumit produs

Modelul se mai poate scrie astfel:

iar, sub forma matriceala:

BY + CX = U

Semnificatia economica a modelului

- costul unitar de productie, y₁, depinde in mod evident de volumul productiei acestuia, x₁. Din punct de vedere economic, costul ar trebui sa scada pe masura cresterii productiei, ca urmare a cheltuielilor constante(a₀ < 0 si a₁ < 0);

- pretul de vanzare, y₂, este determinat in mod hotarator de costul unitar de productie, y₁, (b₁ >

- cererea produsului, y₃, este influentata negativ de pretul de vanzare, y₂ (c₁ < 0), si pozitiv de veniturile consumatorilor, x₂ (c₂ > 0).

Discutia econometrica a modelului

Modelul (I) este un model cu ecuatii multiple sub forma structurala, avand cinci variabile, trei endogene, y₁, y₂, y₃, si doua exogene, x₁ si x₂. Inlantuirea cauzala dintre variabilele endogene fiind succesiva, modelul este de tip recursiv. Aceasta concluzie rezulta si din analiza matricei B, matricea parametrilor variabilelor endogene, care este triunghiulara:.

Acest model, fiind un model recursiv, parametrii sai pot fi estimati cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicata fiecarei ecuatii a modelului structural.

Modelul (II)- Estimarea legii ofertei unui produs agricol

Semnificatia economica a modelului (II)

Modelul (II) descrie legea ofertei pe baza relatiilor de interdependenta dintre pret (y₁) si oferta (y₂). Ecuatia (1) reprezinta relatia clasica a legii ofertei( a₁ > 0), iar ecuatia (2) se fundamenteaza pe ipoteza de anticipare a pretului de catre producatorii agricoli. In acest domeniu, reactia producatorilor agricoli la evolutia preturilor este, in general, de un an. De exemplu, suprafata care va fi insamantata cu grau in anul t depinde de pretul din acel an, dar si de informatiile pe care le poseda producatorii (informatiile din domeniul respectiv) privind abaterile dintre preturile efective (p_t+1) si preturile anticipate (p_t).

Discutia econometrica a modelului II

Acest model este un model cu ecuatii multiple, avand patru variabile, doua endogene, y_1t si y_2t+1, si doua exogene, x₁ = y_2t si x₂ = y_1t+1 - y_1t.

Deoarece variabila endogena y_1t explica in ecuatia (2) variatia in timp a variabilei endogene y_2t+1, dar aceasta nu figureaza in ecuatia (1), modelul (II) este de tip recursiv; matricea parametrilor variabilei endogene fiind de forma: .

Modelul (II), fiind de tip recursiv, estimatorii parametrilor modelului se pot calcula cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicata direct celor doua ecuatii ale modelului, acestia fiind, in acest caz, estimatori nedeplasati, convergenti si eficienti.

Alaturi de cele doua modele econometrice prezentate mai sus, mai pot fi amintite, ca modele de tip recursiv, modelul descrierii econometrice a formarii pretului de echilibru si modelul optimizarii profitului[5].

De retinut, in final, ca modelele econometrice cu ecuatii multiple reprezinta, in prezent, principalul instrument de lucru in domeniul managementului -la nivel micro sau macro-economic - pentru o fundamentare mai riguroasa si nu intuitiva sau descriptiva a deciziilor. In acest sens, modelele de acest tip pot fi folosite cu precadere in activitati de explicare, simulare si, in special, la estimarea probabila a evolutiilor fenomenelor economice.

O problema care ramane deschisa se refera la gradul de similitudine (de pertinenta sau compatibilitate) a structurii modelelor cu ecuatii simultane si a modelelor recursive cu structura proceselor sau sistemelor economice pe care o descriu. Opiniile cu privire la acest subiect sunt impartite.

Preferinta noastra se indreapta insa spre modelele recursive, utilizate in special ca modele operationale.

Aceasta preferinta poate fi justificata astfel:

- modelele cu ecuatii simultane presupun o dependenta mutuala, fara nici o prioritate sau inlantuire cauzala, logica intre variabilele economice, in timp ce modelele recursive descriu dependente cauzale unilaterale, ce pot fi ordonate in functie de succesiunea dependentelor si interdependentelor dintre fenomenele economice;

- in economie, reactia fenomenelor la modificarea factorilor nu este, in general, simultana[6] (in aceeasi perioada de timp) mai ales daca ne referim la perioade mici de timp - luni sau trimestre. Acest fapt permite, in unele cazuri, ca modelele cu ecuatii simultane nonidentificate sa fie transformate fie in modele recursive, fie in modele corect sau supraidentificate, prin transformarea unor variabile endogene in variabile exogene in anumite ecuatii, sau prin introducerea acestor variabile cu valori decalate;

- estimarea parametrilor unui model recursiv este mai simpla si mai rapida. In cazul modelelor cu ecuatii simultane, estimarea parametrilor necesita calcule laborioase, iar fenomenul de cumulare a erorilor de aproximare poate sa provoace distorsiuni semnificative asupra rezultatelor obtinute.

7 Simularea si progonza modelelor cu ecuatii multiple

Modelele cu ecuatii multiple se folosesc in aceleasi scopuri ca si modelele unifactoriale sau multifactoriale. In vederea utilizarii acestor modele la explicarea, simularea si prognoza fenomenelor economice, fiecare ecuatie a modelului-evident, cu exceptia ecuatiilor de identitate- va trebui testata econometric, ca in cazul unui model cu o singura ecuatie[7].

Acest tip de modele se utilizeaza cu precadere la fundamentarea planului de afaceri a unei firme sau la fundamentarea politicilor macroeconomice. In acest caz, pentru variabilele de comanda - adica acele fenomene care pot fi stabilite, controlate sau reglate prin decizii manageriale- salariile, impozitele, taxele vamale, dobanzile pe tipuri de credite etc. - se determina acele valori posibile, rezultate in urma unei analize economice, sau probabile din punct de vedere statistic, care, introduse in modelul cu ecuatii multiple, vor genera intervalele de incredere ale variabilelor exogene, respectiv scenariile ce vor rezulta in urma unei sau unor decizii economice.

De asemenea, nu de putine ori, variabilele endogene se estimeaza nu in urma rezolvarii modelului econometric, ci prin anchete statistice ale managerilor privind valorile pe care le anticipeaza pentru fenomenele economice pe care le pot influenta, intr-o masura mai mare sau mai mica. Un exemplu de endogenizare a variabilelor efect il poate constitui ancheta managerilor societatilor de distributie a produselor petroliere privind evolutia pretului acestora pe urmatoarele trei luni, sase luni .Pe baza informatiilor obtinute se stabilesc, pe cale statistica, valorile probabile si riscurile ca aceste preturi sa depaseasca sau sa coboare sub anumite valori limita. Se considera ca, in anumite domenii - care nu pot fi precizate decat in urma unor experimentari riguroase -, estimarea valorilor probabile ale unor variabile endogene pe baza endogenizarii lor prin anchete statistice conduce la erori mai mici decat cele estimate cu ajutorul unui model econometric.