REGRESIA LINIARA

REGRESIA LINIARA

1.1 PREZENTAREA MODELULUI

Se considera urmatorul model furnizat de catre teoria economica:

Acest model explica fenomenul economic in functie de variabilele explicative , in functie de parametrii si in functie de perturbatiile aleatoare , t =1,,T.

Modelul este numit liniar deoarece fenomenul economic este functie liniara de parametrii

Cum se poate observa prin comparatie cu modelul liniar simplu, acest model integreaza mai multe variabile explicative (independente). Aceasta multidependenta liniara va explica mai bine fenomenul economic , cu toate ca nu vom cunoaste niciodata exhaustiv ansamblul cauzelor care stau la baza unui fenomen economic. Partea neexplicata din model este sintetizata, ca si la modelul liniar simplu, de factorul perturbator (rezidual)

1.2 SCRIEREA MATRICEALA A MODELULUI LINIAR MULTIPLU

Se considera un fenomen economic care depinde liniar de factorii economici . Aceasta dependenta se poate scrie astfel:

(2)

Acest model se poate scrie sub forma matriceala in felul urmator:

(3)

Pentru a simplifica scrierea se pot folosi urmatoarele notatii:

si

iar modelul (3) se scrie

Pentru toate variabile le considerate se vor culege date prin observarea statistica a unui esantion de volum egal cu (T). Schema datelor esantionate poate fi organizata in felul urmator:

Avand in vedere notatia pentru matricea X, aceasta se poate rescrie in felul urmator:

care este o matrice cu (T)-linii si (n)-coloane sau, mai simplu, o matrice de tipul (T,n).

Acum, scrierea matriceala a modelului liniar multiplu (1) se prezinta astfel:

sau simplificat

(4)

Observatie: Matricea este de tipul (T,1); este o matrice de tipul (T,n); este o matrice de tipul (n,1); este o matrice de tiplul (T,1).

Daca se tine cont in cadrul scrierii matriceale de momentul la care se face observatia, atunci din (4) se obtine

(5)

unde matricea este o matrice de tipul (1,n) si are forma

IPOTEZE CLASICE ASUPRA MODELULUI

Ipoteze probabiliste:

(h1) Matricea a variabileleor explicative este o matrice sigura, adica observata fara erori. Realizarea acestei ipoteze conduce la obtinerea estimatorilor nedeplasati.

(h2) Speranta matematica a erorilor care afecteaza modelul este zero, sau altfel spus, modelul liniar multiplu este in medie bine specificat.

(h3) Erorile (perturbatiile) sunt necorelate, adica covarianta intre oricare doua perturbatii diferite este nula.

(h4) Erorile (perturbatiile) sunt homoscedastice, adica varianta perturbatiilor este constanta pentru orice moment (t) la care se realizeaza observatia.

.

(h5) Erorile si variabilele explicative sunt necorelate intre ele, adica covarianta intre erori si variabilele explicative este zero.

(h6) Erorile modelului sunt normal si identic distribuite, adica

Ipoteze structurale:

(h7) Exista matricea sau

(h8) matrice finita, nesingulara.

(h9) , adica numarul de observatii este cel putin egal cu numarul de variabile aduse in model.

1.4.ESTIMAREA PARAMETRILOR DIN MODEL PRIN METODA PMO

Se considera modelul liniar multiplu scris sub forma matriciala:

Se propune determinarea unei estimari a vectorului . Se noteaza acest vector al estimatorilor cu , unde

Se va folosi metoda celor mai mici patrate minime ordinare (PMO), adica se doreste minimizarea urmatoarei sume:

In urma aplicarii metodei (PMO) se obtine pentru vectorul estimatorilor urmatorul rezultat:

(1.1)

Observatie: Matricea (vector) este de tipul (n,1); matricea este de tipul (n,T) si reprezinta matricea transpusa a matricii (T,n); matricea ( vector) este de tipul (T,1) .

Odata determinat vectorul estimaorilor () se pot calcula valorile ajustate ale vectorului dupa urmatoarea relatie:

(1.2)

iar vectorul erorilor estimate (numit inca si vectorul rezidurilor) se va putea calcula ca si diferenta dintre vectorul si , adica

(1.3)

sau

, t = 1,,T (1.4)

Ecuatia de analiza a variantei

Se poate observa, din scrierea (1) a modelului liniar multiplu, ca acesta cuprinde si o constanta, notata Aceasta constanta are un rol important in cadrul modelului, prezenta ei face ca media erorilor estimate sa fie egala cu zero.

Asadar, se poate scrie

(1.5).

Deasemenea, se stie ca , t = 1,,T. Atunci se poate scrie:

dar avand in vedere relatia (3.5) se obtine

(1.6)

Relatia (1.6) demonstreaza ca modelul estimat trece exact prin punctul mediu al esantionului, adica

(1.7)

Acest ultim rezultat permite scrierea ecuatiei de analiza a variantei

(1.8)

Pentru termenii ecuatiei de analiza a variantei (1.8) se vor folosi urmatoarele notatii:

- suma patratelor totale

- suma patratelor estimate

- suma patratelor reziduale

Ecuatia (1.8) se rescrie:

1.6 Coeficientul de determinatie R2

Folosind ecuatia (1.8) se va determina coeficientul de determinatie care reprezinta un indicator de eficienta al modelului liniar multiplu.

Se obtine:

(1.9)

de unde

(1.10)

Valorile lui sunt cuprinse in intervalul Cu cat valoarea lui este mai apropiata de 1 cu atat se poate afirma ca modelul ales este mai eficient, adica estimatiile obtinute prin model se apropie mai mult de valorile reale.

Previziunea variabilei explicate (y)

Se considera modelul liniar multiplu in forma (5)

Se propune rezolvarea urmatoarei probleme: pentru o valoare oarecare, (), a vectorului , ce valoare ar putea lua variabila explicata

Exista asadar valoarea

O valoare posibila a marimii (), numita si predictia lui (), este oferita de modelul estimat

(1.11)

Pentru a putea aprecia corectitudinea predictiei, (), trebuie analizata eroarea de previziune. Aceasta se definiste in felul urmator:

. (1.12)

Eroarea de previziune, (), este o variabila aleatoare. Are sens, deci, trebuie calculate valorile

Aceste valori se obtin prin relatiile:

Avand in vedere observatia de mai sus se impune estimarea marimii (), care se obtine cu relatia:

(1.13)

Atunci cand se face previziunea unei variabile este util sa se determine si intervalul de incredere pentru valoarea previzionata (). Intervalul de previziune are forma:

, (1.14)

unde , reprezinta valoarea tabelara a legii student, citita pentru pragul de semnificatie () si numarul gradelor de libertate () .