SERII DE REPARTITIE (DE DISTRIBUTIE)

Cuvinte-cheie

1. Definire, trasaturi, tipologie

Seria de repartitie, seria de distributie sau seria de frecvente este rezultatul gruparii elementelor unei colectivitati in functie de variantele sau intervalele de variatie ale unei caracteristici atributive cantitative sau calitative.

Astfel de serii de repartitie empirice rezulta, de exemplu, prin gruparea operatorilor economici dintr-o localitate in functie de cifra anuala de afaceri sau/si in functie de obiectul principal de activitate declarat la inscrierea in Registrul Comertului.

Un alt exemplu este gruparea clientilor unui lant de magazine in functie de volumul saptamanal al cheltuielilor efectuate in unitatile respectivei retele comerciale sau dupa frecventa cumparaturilor facute in cursul unei luni.

Prezentarea lunara/anuala a fluxurilor de export/import in functie de natura marfurilor ce fac obiectul tranzactiilor cu strainatatea constituie inca o astfel de serie, iar sirul de exemple poate continua.

Reprezentarea grafica a unor astfel de serii se face, in functie de natura datelor si de obiectivul urmarit prin: histograma (fig. 2), poligon de frecventa, diagrama cu benzi, diagrama de structura, curba de concentrare, curba frecventelor cumulate, ogiva.

Fig. 1. Trasaturile unei serii de repartitie

Pentru a prelucra si valorifica integral informatiile cuprinse intr-o serie de repartitie, este important sa se tina seama de trasaturile unei astfel de serii de date:

independenta termenilor seriei poate fi inteleasa in sensul ca fiecare valoare este specifica unui element al colectivitatii si nu depinde de valoarea inregistrata la celelalte elemente;

omogenitatea termenilor consta in aceea ca toate variantele au o esenta comuna, o aceeasi determinare comuna, cauzata de factori hotaratori, care genereaza insasi colectivitatea cercetata;

variabilitatea termenilor seriei cauzata de faptul ca, pe langa factorii hotaratori, esentiali, actioneaza si factori intamplatori, accidentali care fac ca manifestarea individuala sa fie diversa, distincta de alte manifestari;

concentrarea sau dispersarea (imprastierea) termenilor seriei in functie de raportul de forta dintre factorii esentiali, hotaratori si factorii intamplatori, accidentali. Daca raportul tinde spre un echilibru relativ, elementele colectivitatii se imprastie, iar frecventele de aparitie sunt apropiate, ceea ce poate fi calificat a fi o repartitie uniforma sau rectangulara (vezi fig. 2).

Fig. 2. Lungimea pieselor fabricate intr-o zi Fig. Vechimea conturilor deschise la o

banca (lei)

In schimb, daca intensitatea actiunii factorilor hotaratori se modifica de-a lungul seriei, atunci frecventele se pot concentra astfel:

catre una dintre extremitatile seriei, iar graficul ia alura unui "j" (vezi fig. 3);

catre mijlocul seriei, graficul tinzand sa semene (mai mult sau mai putin) cu un clopot Gauss Laplace (vezi fig. 4);

catre ambele extremitati ale seriei, obtinandu-se o curba in forma de "U", aproximativ opusa clopotului (vezi fig. 5).

O buna parte din fenomenele si procesele economice prezinta manifestari (variante) a caror multime tinde spre o repartitie normala in jurul mediei (fig. 4). Exista insa variabile economice (vezi fig. 2; 3; 5) care, in mod obiectiv, prezinta altfel de distributii. Economistul trebuie sa
tina seama, in judecatile sale, de natura reala a distributiei.

Fig. 4. Marimea politei de asigurare Fig. 5. Frecventa golurilor marcate

de persoane    intr-o competitie sportiva

Daca se foloseste o singura caracteristica de grupare, seria de repartitie se numeste unicriteriala sau unidimensionala.

Daca se foloseste o caracteristica de grupare numerica, seria de repartitie se numeste si serie de variatie.

O caracteristica de grupare calitativa (nenumerica) conduce la alcatuirea unei serii de repartitie numita serie de atribute sau serie nominativa. Un caz particular al seriilor nenumerice il reprezinta variabila alternativa. Ea reprezinta doar doua stari sau variante, care se elimina reciproc.

Daca se folosesc concomitent mai multe caracteristici de grupare atributive, rezulta o serie de repartitie multicriteriala sau multidimensionala.

Seriile de repartitie sunt de mai multe feluri (vezi fig. 6).

Intelegerea tipologiei lor este importanta pentru alegerea corecta a sistemului de indicatori ce descrie fiecare fel de repartitie de frecvente, precum si pentru valorificarea completa a continutului informational al fiecarei serii.

Analiza statistica a seriilor de repartitie se realizeza cu doua categorii de indicatori:

Indicatorii care descriu frecventele de aparitie ale unitatilor de acelasi fel. Indicatorii de frecventa pot fi folositi pentru toate categoriile de serii de repartitie, indiferent care ar fi natura sau numarul caracteristicilor dupa care se face gruparea elementelor colectivitatii.

Fig. 6. Tipologia seriilor de repartitie

Indicatorii care exprima (numeric) diferite aspecte ale valorilor caracteristicii se pot calcula numai pentru seriile heterograde (serii de variatie), constituite in functie de una sau mai multe variabile numerice.

In cazul seriilor homograde (serii de atribute sau serii nominative), repartitia de frecvente se stabileste in functie de starile (in latina: nomine, -is), culorile, calitatile, formele de manifestare, materia prima de baza etc. Cum acestea nu se exprima numeric, este firesc sa nu se poata stabili indicatori descriptori pentru aceste stari, culori, calitati etc. In schimb se pot analiza frecventele de aparitie ale diferitelor stari calitative.

In afara acestor doua categorii de indicatori, seriile de repartitie multicriteriale pot fi cercetate si cu ajutorul unor metode specifice teoriei regresiei si corelatiei statistice (vezi Capitolul 5: Analiza legaturii intre variabilele economice).

2. Indicatorii unei serii de repartitie constituite
in functie de o variabila numerica

O serie de repartitie unidimensionala alcatuita in functie de variantele sau intervalele de variatie (grupele) unei caracteristici numerice (serie heterograda), poate fi analizata cu ajutorul unui sistem complet de indicatori, care cuprinde cele doua categorii mentionate in paragraful anterior:

a)      indicatori ce caracterizeaza frecventele de aparitie ale unitatilor de acelasi fel in cadrul colectivitatii;

b)      indicatori ce caracterizeaza valorile sau variantele caracteristicii cercetate.

Pentru a explica acesti indicatori si a ilustra valoarea lor cognitiva, se recomanda sa se urmareasca problema rezolvata 1.   

2.1. Indicatorii de analiza a frecventelor

Din prima categorie de indicatori, de analiza a frecventelor de aparitie, fac parte:

Frecventele absolute (n_i) reprezinta numarul de elemente cuprinse intr-o grupa.

Frecventele relative (n_i^*) sunt cote parti, greutati specifice ale unei variante sau grup de variante, in totalul colectivitatii;

[1]

unde: ,

m = numarul de variante distincte sau numarul de grupe (intervale de grupare a variantelor).

Frecventele cumulate. In procesul analizei, se cumuleaza treptat, fie frecventele absolute, fie cele relative, in sensul crescator si/sau in sensul descrescator al valorilor caracteristicii cercetate.

Aceasta cumulare serveste la exprimarea nivelului de concentrare in cadrul colectivitatii si la determinarea indicatorilor tendintei centrale.

Densitatea de frecventa. In analiza seriilor de repartitie organizate pe intervale neegale de grupare, se calculeaza raportul n_i/k_i sau n_I^*/k_i, unde k_i este marimea intervalelor de grupare. La majoritatea variabilelor economice aceasta densitate de frecvente tinde sa se diminueze simetric catre capetele seriei. Altfel spus, exista o tendinta de apropiere de repartitia normala: frecvente mai mari catre mijlocul seriei si frecvente mai mici catre marginile seriei (vezi si fig. 4).

2.2. Indicatorii de analiza a valorilor caracteristicii de grupare

Din cea de a doua categorie de indicatori folositi pentru analiza unei repartitii de frecvente alcatuite in functie de o variabila numerica, fac parte:

indicatorii tendintei centrale;

indicatorii variatiei si ai asimetriei.

Indicatorii tendintei centrale exprima printr-un numar ceea ce este comun, tipic, esential pentru elementele colectivitatii cercetate. Pentru ca realitatea empirica este atat de diversa, nu ne oprim, de obicei, doar la medie, ci vom adauga si mediana si modul, ca modalitati complementare de a reda esenta comuna a elementelor unei colectivitati.

Daca seria de date statistice este organizata pe variante distincte atunci media, mediana si modul se afla potrivit definitiilor studiate in paragraful 2.4 din capitolul anterior.

Media aritmetica a unei repartitii de frecvente se estimeaza pe baza relatiei:

unde , iar m reprezinta numarul de intervale de grupare constituite.

Valoarea mediana (mijlocie) a seriei este acea varianta care o imparte in doua parti egale.

Locul medianei se stabileste prin relatia:

[3]

Intr-o serie organizata pe intervale de grupare, dupa aflarea locului medianei se procedeaza la identificarea intervalului ce contine mediana. Adunand treptat frecventele ajungem la un numar mai mare sau egal cu cel al locului medianei. Astfel rezulta intervalul care contine mediana.

Mediana (Me) se estimeaza cu urmatoarea relatie de interpolare:

, [4]

in care: x₀ = limita inferioara a intervalului ce contine mediana;

k^Me = marimea intervalului median;

0,5 (n 1) = locul medianei;

Snp_Me = suma frecventelor pana la intervalul ce contine mediana;

n_Me = frecventa intervalului ce contine mediana.

Modul sau dominanta este varianta cu frecventa cea mai mare.

Intr-o serie organizata pe intervale de grupare, valoarea modala se afla, tot prin interpolare, in intervalul cu frecventa cea mai mare. Nu este obligatoriu ca intervalul modal sa coincida cu cel care contine mediana.

Modul (Mo) se estimeaza dupa relatia de interpolare in intervalul modal:

[5]

in care: x₀ = limita inferioara a intervalului modal;

k^Mo = marimea acestui interval;

D = diferenta dintre frecventa modala si frecventa intervalului imediat anterior;

D = diferenta dintre frecventa modala si frecventa intervalului imediat urmator.

Intr-o serie perfect simetrica:

De cele mai multe ori, seriile empirice nu sunt perfect simetrice, astfel ca economistul va gasi una din urmatoarele situatii:

o serie in care < Me < Mo numita si serie cu asimetrie de dreapta;

serie in care Mo < Me < numita si serie cu asimetrie de stanga.

Chiar daca cele trei valori ale tendintei centrale sunt apropiate, in preocuparea economistului trebuie sa se afle nu numai valorile tipice (cu caracter de generalitate cum sunt mediile), ci si variabilitatea in jurul mediei. Se pune problema de a caracteriza marimea, intensitatea si forma variatiei in jurul mediei.

Indicatorii variatiei si asimetriei. In functie de numarul de variante luate in calcul si dupa rolul indeplinit in analiza variatiei, distingem:

indicatori simpli ai variatiei;

indicatori sintetici ai variatiei.

Indicatorii simpli ai variatiei:

Abaterea fiecarei variante sau a fiecarui centru de interval de grupare (x_i) de la medie , exprimat in marimi absolute

[6]

sau marimi relative:

[6']

Acesti indicatori nu caracterizeaza variatia in cadrul colectivitatii, ci pozitia fiecarui termen al seriei (x_i) fata de medie.

Amplitudinea variatiei exprima marimea campului de imprastiere in jurul mediei. Se exprima in marime absoluta:

[7]

si in marime relativa:

[7']

In general, se apreciaza ca o amplitudine a variatiei care se situeaza sub 100%, este specifica unor colectivitati omogene. Pe masura ce aceasta se indeparteaza de 100%, colectivitatea este din ce in ce mai eterogena, iar media ei mai putin semnificativa.

Observatie: Daca informatiile sunt inca prezentate sub forma seriei de repartitie organizate pe intervale de grupare, iar primul sau/si ultimul interval ramane deschis pentru a cuprinde toate elementele observate, atunci amplitudinea absoluta a variatiei se estimeaza cu ajutorul centrelor intervalelor de grupare marginale (chiar daca cercetatorul este constient de faptul ca, astfel, o parte din campul de imprastiere a variantelor ramane in afara analizei).

Indicatorii sintetici ai variatiei iau in calcul toate centrele de grupare x_i pentru a exprima intensitatea imprastierii in jurul mediei.

In functie de gradul de abstractizare si de relatia de calcul, distingem patru indicatori sintetici:

abaterea medie liniara ();

dispersia (s

abaterea standard numita si abatere medie patratica (s

coeficientul de variatie (v).

Abaterea medie liniara este media aritmetica a abaterilor variantelor sau a centrelor de interval de grupare (x_i) de la media colectivitatii (). Pentru ca abaterile de la media aritmetica se compenseaza, se iau in calcul valorile absolute ale diferentelor ().

[8]

Dispersia poate fi definita ca medie aritmetica a patratelor abaterilor de la media colectivitatii. Este o marime abstracta, adimensionala ce nu serveste direct analizei variatiei.

[9]

Daca se elimina paranteza de la numarator, rezulta:

[9']

Observatie: In teoria momentelor, dispersia este definita ca moment centrat de ordinul doi.

Abaterea standard sau abaterea medie patratica este, asa cum ii spune si numele, o medie patratica a abaterilor de la estimat.

Ca medie patratica, intotdeauna, > o medie aritmetica a abaterilor.

Coeficientul de variatie este indicatorul sintetic care exprima intr-o forma abstracta intensitatea variatiei. Se calculeaza astfel:

[11]

Coeficientul de variatie se defineste in domeniul numerelor pozitive. Din statistica experimentala s-a preluat aprecierea urmatoare: daca v este pana in 35%, se considera ca intensitatea variatiei este redusa, colectivitatea este omogena si in consecinta media este reprezentativa. Cu cat se depaseste pragul de 35%, cu atat intensitatea variatiei creste, iar colectivitatea este mai eterogena. In aceste conditii, media tinde sa fie o marime nereprezentativa.

Forma variatiei in jurul mediei se exprima statistic prin mai multi indicatori ai asimetriei, boltirii, excesului repartitiei de frecvente etc. Cea mai simpla modalitate de descriere acceptabila, chiar daca incompleta a formei variatiei este observarea diferentei intre medie si mod care se numeste asimetrie:

[12]

Daca atunci exista simetrie perfecta;

Daca atunci exista asimetrie pozitiva sau de stanga;

Daca atunci exista asimetrie negativa sau de dreapta.

Aprecierea "de stanga sau "de dreapta provine din observarea pozitiei in care se afla modul (Mo) fata de medie () pe axa absciselor in cazul unei serii de repartitie asimetrica [vezi si figura 7, variantele (a) si (b)].

Mo Mo

a) asimetrie pozitiva (de stanga) b) asimetrie negativa (de dreapta)

Fig. 7. Serii de repartitie moderat asimetrice

Pentru a aprecia calitativ aceasta situatie, se recurge, in mod frecvent, la coeficientul de asimetrie propus de Karl Pearson

[13]

Daca seria de repartitie este bi sau multimodala, dar tinde spre normalitate, se poate recurge si la estimarea:

. [13']

Coeficientul de asimetrie ia valori in intervalul ( 3; 3).

In masura in care coeficientul de asimetrie se incadreaza in intervalul (0; 0,3) spunem ca avem de-a face cu o asimetrie moderata si, in consecinta, indicatorii tendintei centrale caracterizeaza corect colectivitatea (sunt reprezentativi).

Daca se trece de 0,3, asimetria este mai puternica, iar indicatorii tendintei centrale tind sa fie nesemnificativi.

Pentru ilustrare, vezi Problema nr. 1.

Indicatorii variatiei intr-o colectivitate
impartita pe grupe

Nu de putine ori, economistul se confrunta cu cerinta de a identifica factori (cauze) ai (ale) variatiei unei caracteristici, de a verifica semnificatia statistica a acestora si de a masura cat de puternica (importanta) este influenta factorului/factorilor asupra caracteristicii cercetate.

Pentru a raspunde unei asemenea cerinte, alaturi de caracteristica de la care s-a pornit investigatia, se introduce in analiza si o a doua (o a treia etc.) variabila care poate explica, macar partial, variabilitatea elementelor colectivitatii.

Gruparea nu se mai face numai in functie de prima caracteristica cercetata, ci concomitent in raport cu doua (trei sau mai multe) variabile. Rezulta, astfel, o repartitie bidimensionala daca gruparea se face in functie de doua caracteristici (Vezi Problema rezolvata 2).

Pentru a verifica ipoteza unei legaturi intre variabilele combinate sau ipoteza unei influente consistente a noii caracteristici de grupare, studiul complet al variatiei in jurul mediei generale a colectivitatii () se cere a fi completat cu doua aspecte noi:

Analiza deosebirii ce se poate constata intre grupele constituite dupa caracteristica explicativa, introdusa suplimentar in cercetare. Se apreciaza ca grupele difera intre ele din punct de vedere al mediilor de grupa () cu atat mai mult cu cat noua caracteristica explicativa are o influenta mai consistenta asupra variatiei elementelor colectivitatii. Aceasta variatie intre grupe se mai numeste si variatie explicata, indusa, conditionata (de noua caracteristica de grupare).

Analiza variatiei in interiorul fiecarei grupe in jurul mediei de grupa, variatie cauzata de multimea celorlalti factori. Fata de aceasta noua caracteristica suplimentara de grupare, variatia din interiorul grupei apare ca fiind o variatie reziduala.

Daca in paragraful 2 ne-am multumit sa cercetam abaterea fiecarui x_i fata de media colectivitatii (), introducand o dimensiune suplimentara in analiza, care genereaza medii de grupa (), vom putea scrie:

Prin urmare, alaturi de media generala si indicatorii de imprastiere a elementelor colectivitatii in jurul ei, vom putea determina medii de grupa si indicatori ai variatiei in interiorul fiecarei grupe, precum si intre grupe.

In tabelul nr.1 se prezinta macheta unei serii de repartitie bidimensionale, ceea ce va facilita intelegerea in continuare a relatiilor de calcul.

Tabelul nr.1

Macheta unei colectivitati impartite pe grupe.

In acest tabel, totalul general poate fi stabilit in trei feluri, rezultatul fiind invariabil egal cu N - numarul de elemente din colectivitatea cercetata.

Folosind notatiile din tabelul nr. 1 se pot determina pentru fiecare grupa j ():

O medie de grupa:

[15]

O dispersie a elementelor din grupa j in jurul respectivei medii de grupa:

[16]

Reamintim ca pe intreaga colectivitate se calculeaza media generala, folosind relatia [2] si dispersia generala, folosind relatia [9]. Se adauga doar un subscript "0 , pentru a sublinia faptul ca acestia sunt indicatorii cu care am inceput analiza:

si .

De obicei, grupele prezinta o omogenitate mai mare decat intreaga colectivitate, ceea ce este deja un semn ca separarea clientilor dupa felul in care prefera sa serveasca meniul este utila (a se observa ca v₁ si v₂ sunt mai mici decat v₀).

Dupa caracterizarea numerica a grupelor, se poate trece la verificarea regulii de adunare a dispersiilor:

[17]

in care:

q Dispersia explicata (), numita si dispersia dintre grupe se calculeaza ca dispersie a mediilor de grupa (medii conditionate de factorul de grupare) fata de media generala:

[18]

q Dispersia reziduala () este o medie aritmetica a dispersiilor de grupa:

[19]

Relatia [20] este un coeficient de determinatie care exprima procentual cat de important este factorul suplimentar de grupare pentru intelegerea si explicarea variatiei in cadrul colectivitatii cercetate:

[20]

Valoarea complementara pana la 100%, numita in literatura de specialitate si coeficient de nedeterminatie sau indeterminatie, cuantifica in expresie procentuala acea parte a variatiei ce nu poate fi pusa (pe seama) in legatura cu factorul de grupare introdus in analiza.

Teoretic, D(0,100%). Ca urmare a suprapunerii influentelor si a efectelor lor dinamice, de multe ori contradictorii, se intampla rar ca in cercetarile empirice coeficientul de determinatie sa treaca de 50%.

Atunci cand apar rezerve in legatura cu consistenta statistica a influentei factorului de grupare, se procedeaza la aplicarea unor teste de semnificatie. Vezi, in acest sens Problema nr. 2.

Verificarea statistica se face cu ajutorul testului Fisher Snedecor (F). Acest test analizeaza consistenta influentei factorului suplimentar de grupare comparand cele doua parti ale dispersiei generale. Mai precis, se iau in considerare numaratorii acestor dispersii (numiti variante sau deviante), corectati cu numarul corespunzator al gradelor de libertate de variatie.

= varianta explicata = numaratorul dispersiei explicate.

= varianta reziduala = numaratorul dispersiei reziduale.

n = numarul elementelor colectivitatii.

r = numarul de grupe constituite.

Valoarea calculata a lui F se compara cu valoarea tabelata[1] pentru (r 1)(n r) grade de libertate, tabelarea facandu-se separat pentru diverse praguri α de semnificatie a erorii. De exemplu, daca acceptam o eroare α = = 0,05 atunci vom gasi in coloana (r 1) pe linia (n r) valoarea critica a lui F pentru care factorul de grupare are o semnificatie reala . F_tabelat este o valoare minima. Cu cat F_calculat este mai mare, cu atat ipoteza este mai adevarata.

Prin urmare, daca F_calculat ³ F_tabelat inseamna ca factorul de grupare are o influenta consistenta (este o cauza reala). Aceasta afirmatie este garantata cu probabilitatea (1 α), ceea ce inseamna ca acceptam cu o eroare (α) consistenta factorului de grupare.

4. Indicatorii unei serii de atribute

La o astfel de serie nu se pot aplica indicatorii ce analizeaza valorile caracteristicii. Aici exista stari (forme) ale caracteristicii care nu se exprima numeric. Cel mult, se poate identifica starea modala (cea mai frecventa). Toate calculele se rezuma la folosirea frecventelor absolute si relative de inregistrare a starilor (formelor).

Pentru a analiza o serie de atribute se folosesc:

marimi relative de coordonare;

marimi relative de structura;

coeficientul de concentrare ca indicator sintetic.

Marimile relative de coordonare rezulta din compararea frecventelor de inregistrare a starilor sau atributelor intre ele. Nu orice fel de comparatie este utila analizei. Intre starile comparate trebuie sa existe o legatura logica.

Marimile relative de stuctura exprima ponderea (cota parte) a diferitelor stari in totalul colectivitatii. Suma marimilor de structura trebuie sa fie egala cu 1 sau 100%.

Coeficientul de concentrare sintetizeaza aceste marimi relative de structura intr-o unica expresie numerica si constituie principalul instrument de analiza pentru caracterizarea globala a repartitiilor de felul acesta.

In anul 1922, Corrado Gini, fondatorul scolii moderne de statistica din Italia, propunea un prim coeficient de concentrare obtinut pe baza relatiei:

[22]

in care : sau, dupa caz, .

Coeficientul Gini se incadreaza in intervalul , in care n este numarul de stari specifice colectivitatii.

Interpretarea rezultatului este greoaie, intrucat limita inferioara a intervalului depinde de numarul starilor (n).

In consecinta, s-au cautat diverse formule de normalizare prin care coeficientul de concentrare sa se inscrie in intervalul (0,1) pentru oricate stari. O versiune a fost propusa de germanul Richard Struck.

Formula Gini Struck

[22

asigura o interpretare foarte simpla, deoarece rezultatul este cuprins intre 0 si 1. Cu cat C¢ tinde catre 1, cu atat elementele colectivitatii se concentreaza mai intens pe cateva stari ale colectivitatii (specifice ei).

Dimpotriva, cu cat C¢ tinde catre 0, elementele se repartizeaza mai echilibrat/mai uniform pe toate starile specifice.

Pentru ilustrare, vezi Problemele 3 si 4.

5. Media si dispersia unei variabile alternative

Variabila alternativa este cazul particular al unei caracteristici atributive sau nominative, care prezinta doar doua stari, care se elimina reciproc. In felul acesta, elementele colectivitatii se impart in doua categorii distinctive de tipul: Da/Nu, Feminin/Masculin, Urban/Rural, Promovat/ Respins etc. Vezi si Problema 5.

Cele doua stari nu sunt exprimate numeric. Totusi, pentru a putea calcula media si dispersia unei asemenea variabile, se accepta atribuirea valorii 1 pentru starea sau varianta care ne intereseaza in procesul de analiza (putem presupune ca ne intereseaza consumul in incinta) si valoarea zero pentru cealalta stare.

In tabelul nr. 2 se prezinta notatiile uzuale, care ne ajuta in calculul mediei si dispersiei.

Tabelul nr. 2

Media caracteristicii alternative:

[23]

Din totalul de N elemente ale unei colectivitati, se noteaza cu M numarul de elemente care poseda starea care ne intereseaza. In cazul nostru n₁ = M, iar n₂ = N M. Rezulta n₁ n₂ = N

Prin urmare, media unei caracteristici alternative este egala cu cota parte a elementelor care poseda varianta (starea) ce ne intereseaza in analiza.

Daca se foloseste frecventa relativa atunci:

'

Dispersia acestei caracteristici se calculeaza tot dupa formula clasica:

Dispersia unei caracteristici alternative este produsul cotelor parti ale celor doua stari sau variante in colectivitatea generala.

Media si dispersia caracteristicii alternative se folosesc in estimarea unor parametri ai colectivitatii generale, atunci cand cercetarea se bazeaza pe esantioane reprezentative (vezi Capitolul 4).

6. Intrebari de control

1. Ce este o serie de repartitie? Care sunt principalele tipuri de astfel de serii de date?

2. Care sunt trasaturile unei serii de repartitie si cum pot fi ele explicate?

3. Ce sunt si cand se recomanda folosirea densitatilor de frecventa in caracterizarea seriilor de repartitie?

4. Dar coeficientii de concentrare la ce folosesc?

5. Cum estimati media, mediana si modul intr-o serie de variatie organizata pe intervale de grupare?

6. Care este semnificatia amplitudinii absolute si relative a variatiei elementelor unei colectivitati?

7. Care este semnificatia abaterii standard (abaterii medii patratice) si, respectiv, a coeficientului de variatie?

8. Cum poate fi caracterizata forma unei serii de repartitie?

9. In ce consta regula de adunare a dispersiilor?

10. Ce este si cum se testeaza semnificatia unui coeficient de determinatie?

11. Se pot determina indicatorii tendintei centrale intr-o serie de atribute? De ce?

12. Cum se stabileste media si, respectiv, dispersia unei variabile alternative? La ce folosesc acesti indicatori?

8. Probleme rezolvate

Problema nr. 1

Pentru a verifica reglarea unei masini de debitat, din productia realizata de-a lungul unei zile (N = 600 piese) se preleva un esantion n = 65 piese, care masoara in mm:

Caseta nr. 1.1.

Se cere descrierea acestui esantion prin indicatori specifici seriilor de distributie de frecvente.

Rezolvarea 1

Gruparea pieselor pe variante distincte de lungime reduce (comprima) seria de lungimi observate ale celor 65 piese la 34 de variante distincte, cu urmatoarele frecvente:

Caseta nr. 1.2.

Aceasta este o serie de distributie de frecvente pe variante ale caracteristicii lungimea pieselor masurate, seria putand fi caracterizata prin indicatori ai tendintei centrale, indicatori ai variatiei si asimetriei.

Indicatorii tendintei centrale sunt:

Media:

Locul medianei:

Mediana este a 33-a varianta in seria ordonata crescator.

Deci, Me = 87,9 mm.

Pentru a afla modul se va observa ca frecventa maxima inregistrata este 4, intalnita la trei variante. Deci, seria de variante distincte ale caracteristicii observate este o serie trimodala (cu trei moduri):

Mo = 87,9 mm; Mo = 91,7 mm; Mo = 92,4 mm.

Indicatorii variatiei:

Amplitudinea absoluta a variatiei:

Amplitudinea relativa a variatiei:

Dispersia caracteristicii in jurul mediei:

Abaterea medie patratica (abaterea standard):

Cele 65 piese masurate sunt in medie cu 8,42 mm mai scurte sau mai lungi decat media calculata (87,1 mm).

Coeficientul de variatie:

Intensitatea variatiei in jurul mediei este de numai 9,6%

Observatii:

• In prima varianta de rezolvarea a problemei, rezultatele sunt determinari exacte, pe baza variantelor distincte ale caracteristicii observate.
• Cele 65 piese masurate alcatuiesc o colectivitate omogena, intrucat variatia in jurul mediei este de numai 9,67%.. Altfel spus, media este reprezentativa pentru toata colectivitatea.

Rezolvarea 2. Daca variantele se grupeaza pe intervale egale de cate 5 mm, atunci toti indicatorii ce descriu seria sunt estimari ale determinarilor obtinute la Rezolvarea 1.

Tabel 1.1

Indicatorii tendintei centrale:

Media estimata pe baza centrelor intervalelor de grupare este:

Locul medianei este tot 33, dar se va observa ca aceasta varianta este cuprinsa in intervalul (85,1 - 90,0). Prin interpolarea in acest interval, rezulta mediana:

unde F este suma frecventelor pana la intervalul care contine mediana.

Pentru estimarea modului, se va observa ca intervalul (85,1 - 90,0) este cel care are frecventa maxima (cuprinde cele mai multe elemente ale colectivitatii). Prin interpolare rezulta modul:

Se constata ca cei trei indicatori ai tendintei centrale au valori estimate apropiate, dar , ceea ce inseamna ca seria prezinta o usoara asimetrie de dreapta (modul este mai mare decat media aritmetica a colectivitatii cercetate).

Indicatorii variatiei:

Amplitudinea absoluta a variatiei estimata pe baza centrelor intervalelor de grupare:

A = 97,5 - 62,5 = 35 mm

Amplitudinea relativa a variatiei:

A_% = (35:87,2)*100 = 40,14%

Se observa o amplitudine restransa a variatiei in jurul mediei estimate.

Pentru estimarea indicatorilor sintetici ai variatiei se poate folosi tabelul nr. 1.2.

Dispersia colectivitatii in jurul mediei poate fi determinata in

doua moduri:

fie folosind totalul penultimei coloane a tabelului:

,

- fie totalul din ultima coloana a tabelului pentru a inlocui in relatia:

Observatie: Diferenta dintre cele doua rezultate este cauzata de rotunjirile repetate la prima versiune a calculului.

Tabel 1.2

Abaterea medie patratica este radicalul de ordinul doi din dispersie: , ceea ce arata ca intre lungimile reale ale celor 65 piese observate si media estimata exista o distanta medie de aproximativ 8,3 mm.

Coeficientul de variatie este:

Deci, intensitatea variatiei in jurul mediei este redusa (sub 35%), colectivitatea este omogena, bine caracterizata prin valoarea medie a lungimii pieselor.

Coeficientul de asimetrie exprima forma imprastierii:

Se observa o diferenta de numai 1,7 mm intre medie si mod, modul fiind mai mare, ceea ce inseamna ca seria prezinta o moderata asimetrie de dreapta (-0,2048).

Problema nr. 2

O ancheta derulata in randul salariatilor unui lant de magazine conduce la urmatoarea grupare a acestora in functie de salariul lunar (zeci de mii de lei) si sex:

Tabel 2.1

limita superioara nu este cuprinsa in interval

Se cere:

a)      Sa se determine indicatorii tendintei centrale si sa se comenteze rezultatele folosind indicatorii variatiei in jurul mediei si indicatorii asimetriei;

b)      Sa se determine mediile de grupa () si dispersiile de grupa () pentru salariatii de sex masculin si feminin si sa se verifice regula de adunare a dispersiilor;

c)      Sa se afle in ce masura influenteaza sexul salariatilor variatia in jurul mediei (D) si sa se testeze daca diferenta (disparitatea salariala) este statistic consistenta (testul F si/sau testul t);

Rezolvare

a) Indicatorii tendintei centrale - media, mediana si modul - sunt:

Deoarece , rezulta ca seria prezinta o asimetrie de stanga (a se vedea mai jos intensitatea asimetriei).

Intervalele marginale sunt deschise, ceea ce impune o estimare a amplitudinii variatiei cu cu ajutorul centrelor intervalelor de grupare:

Intrucat amplitudinea variatiei comparata cu media colectivitatii depaseste 100%, se poate afirma ca marimea imprastierii este destul de mare.

Dispersia se determina cu ajutorul formulei de calcul simplificat astfel:

iar abaterea medie patratica este:

Coeficientul de variatie:

Pentru ca intensitatea imprastierii este sub 35%, putem accepta ca, pe total, colectivitatea salariatilor este relativ omogena din punct de vedere al salariului lunar.

Indicatorii asimetriei propusi de Pearson sunt:

Asimetria absoluta:

Coeficientul de asimetrie:.

Valoarea coeficientului indica o asimetrie moderata de stanga (pozitiva).

b) Indicatorii specifici celor doua grupe de salariati se obtin astfel:

Pentru salariatii de sex masculin:

Pentru salariatii de sex feminin:

Dispersia explicata prin impartirea salariatilor dupa sex:

Dispersia reziduala

Regula de adunare a dispersiilor:

Nota: Ca urmare a repetatelor rotunjiri, pot apare unele mici diferente, cum este si in acest caz.

c) Coeficientul de determinatie:

Doar 10,6% din variatia totala a salariilor poate fi explicata prin diferentierea salariatilor dupa sex.

- Testul Fisher-Snedecor se aplica pentru a vedea daca o asemenea influenta redusa este statistic semnificativa:

Pentru probabilitatea p = 0,95 (eroare acceptata a = 0,05), din Anexa 3 se deduce ca: F_{1, 538} I

Cum F_calculat > F_tabelat     Þ factorul de grupare (sexul) are o influenta consistenta asupra variatiei salariilor lunare ale celor 540 angajati.

- Testul Student pentru verificarea semnificatiei diferentei intre doua medii:

Valoarea calculata este mult mai mare decat t = 1,96 (pentru o eroare acceptata a = 0,05) sau t = 2,58 (pentru o eroare acceptata a = 0,01), ceea ce inseamna ca mediile difera consistent din punct de vedere statistic (grade de libertate n-r = 540-2 = 538). Valorile teoretice se pot citi in Anexa 1.

Problema nr. 3

Un esantion de 50 intreprinzatori pe cont propriu a fost organizat pe grupe, in functie de numarul de vanzari reusite in cursul unei luni (numarul de plasari pe piata ale produselor realizate de ei insisi). In ultima coloana a tabelului 31 se inregistreaza numarul cumulat al vanzarilor reusite intr-o luna de intreprinzatorii din fiecare grupa, estimat cu ajutorul centrelor intervalelor de grupare.

Tabel 1

Se cere sa se caracterizeze gradul de concentrare/imprastiere pe grupe de vanzari reusite a intreprinzatorilor comparativ cu concentrarea/imprastierea reusitelor de vanzare dintr-o luna.

Rezolvare:

Varianta 1.

O prima posibilitate de analiza comparativa se bazeaza pe formula coeficientului de concentrare Gini:

, in care g_i este ponderea fiecarei grupe in totalul specific fiecarei caracteristici; i reprezinta numarul grupei (), in cazul nostru, r = 5.

Coeficientul Gini se incadreaza in intervalul , folosirea indicatorului fiind afectata de faptul ca, uneori se compara doua sau mai multe caracteristici observate intr-un numar variabil de grupe (ceea ce nu este cazul in prezenta problema). Pentru aplicarea formulei Gini se utilizeaza datele din urmatorul tabel de calcul:

Tabel 2

Rezulta o concentrare ceva mai redusa in cazul analizei intreprinzatorilor grupati in functie de numarul vanzarilor reusite:

,

decat in cazul distributiei pe aceleasi grupe a numarului total de vanzari dintr-o luna:

.

In acest exemplu, C_G ia valori in intervalul [0,4472; 1], ceea ce permite aprecierea ca cei doi indicatori sunt mai apropiati de limita inferioara decat de cea superioara, adica exista o relativa echi-distributie (mai pronuntata in cazul numarului de intreprinzatori).

Observatie: Valoarea 0,4472 = .

Varianta 2.

O interpretare mai lesnicioasa a indicatorului de concentrare/imprastiere are la baza folosirea formulei lui Gini, corectata de Struck, pentru a lua valori in intervalul [0;1], indifferent cate grupe s-ar constitui pentru fiecare variabila cercetata.

, unde grupe.

Aplicarea acestei formule duce la urmatoarele rezultate:

- pentru distributia intreprinzatorilor:

- pentru distributia vanzarilor reusite intr-o luna:.

Evident, concluzia de mai sus ramane valabila, dar noua expresie cantitativa este mai sugestiva: intreprinzatorii sunt mai bine (mai uniform) distribuiti pe cele cinci grupe constituite decat este reusita lor in afaceri.

Varianta

Analiza comparativa a gradului de concentrare/imprastiere a celor doua variabile poate fi realizata si grafic, prin observarea curbei Lorentz. Pentru a trasa aceasta curba este necesara cumularea frecventelor relative observate pentru fiecare variabila (in sensul crescator al caracteristicii de grupare folosite):

Tabel 3

Reprezentarea grafica are la baza un patrat cu latura de 100 unitati corespunzatoare celor 100 de procente cumulate (vezi fig. 1.).

Pe latura orizontala se masoara frecventele cumulate ale caracteristicii independente "numar de intreprinzatori" observati in diferitele intervale de grupare.

Pe latura verticala se masoara frecventele cumulate ale caracteristicii dependente "numar total de reusite" observate in cadrul acelorasi intervale de grupare.

Se unesc punctele obtinute pentru coordonatele date de frecventele cumulate pana in dreptul fiecarei grupe si, fata de prima diagonala a patratului, se obtine o curba Lorentz care ilustreaza diferenta de concentrare specifica celor doua caracteristici. Cu cat aria hasurata cuprinsa intre prima diagonala si curba este mai intinsa, cu atat concentrarea este mai pronuntata. Coeficientul de concentrare Gini este egal cu dublul ponderii ariei hasurate in suprafata triunghiului OAB

Fig 1. Curba de concentrare Lorentz a vanzarilor reusite de intreprinzator

Problema nr. 4

Sa se caracterizeze urmatoarea serie de atribute, care reflecta audienta cotidianelor nationale in perioada iulie-septembrie 2000 (numarul mediu zilnic de persoane care citesc un anumit titlu in perioada mentionata se estimeaza pe un esantion reprezentativ pentru populatia in varsta de peste sase ani):

Tabel 4.1

Sursa datelor: AUDIAMAS, iulie-septembrie 2000, preluat in publicatia "Capital", nr 45 din 09.11.2000   

Observatie: Rapoartele de audienta cuprind numai acele ziare nationale care au o cota de piata de peste 1%.

Rezolvare:

O astfel de serie permite comparatii intre frecventele absolute observate pentru fiecare stare calitativa. Astfel, ziarul "Pro Sport" este citit de 3,46 ori mai multi cititori decat ziarul "Gazeta Sporturilor" sau, daca se face raportul invers, atunci cititorii celui de-al doilea ziar nu reprezinta decat 28,9% fata de cei ce citesc primul ziar. ().

Observatie: Comparatiile se pot face intre cate doua unitati ale seriei sau, daca se alege o unitate etalon (ziarul "x_i"), atunci toate celelalte unitati se raporteaza la acest etalon prin prisma numarului de cititori.

Seria de frecvente distribuita pe diversele ziare observate, permite si stabilirea unor marimi medii. Astfel, numarul mediu al cititorilor primelor 9 cotidiane nationale, era in perioada specificata de 424,3 persoane (frecventa medie):

Pentru aflarea freventei mediane (cea care imparte cele noua ziare in doua parti egale) se ordoneaza crescator frecventele observate si se alege varianta data de locul medianei:

Loc Me = (n + 1)/2 = (9 + 1)/2 = 5

Frecventele ordonate sunt:

iar frecventa mediana (a cincea valoare a sirului ordonat) este de 342 mii persoane.

Frecventa modala este tot 342 mii persoane, deoarece este specifica pentru doua stari (atribute), in timp ce celelalte frecvente sunt specifice doar cate unei stari.

Calculand frecventele relative (ponderea fiecarui ziar in totalul cititorilor estimati de raportul de audienta), se poate afla coeficientul de concentrare. Tabelul ajutator de calcul este redat mai jos:

Tabel 4.2

Folosind totalul din ultima coloana a tabelului de mai sus, rezulta un coeficient de concentrare de:

unde r = numar de ziare;

, ceea ce inseamna ca, cititorii cotidianelor romanesti erau relativ uniform dispersati pe cele noua ziare cuprinse in raportul de audienta, chiar daca "discrepanta" intre cel mai citit si cel mai putin citit ziar (din cele noua considerate) este de 1167:102, adica 11,4 la 1.

Problema nr. 5

O ancheta in randul a 80 difuzori de presa din Bucuresti arata ca 36 sunt femei, iar restul de 44 sunt barbati.

Se cere sa se determine si comenteze media si indicatorii sintetici ai variatiei pentru aceasta caracteristica alternativa.

Rezolvare

In enunt nu se precizeaza daca analiza trebuie realizata din punct de vedere al femeilor sau al barbatilor, ceea ce inseamna ca, cel ce va face aceasta cercetare, va alege el insusi carei variante ii va atribui valoarea 1.

Daca analiza se face din perspectiva feminina, atunci cele 36 unitati ale colectivitatii vor fi prezente in calculele ulterioare ca frecvente ale variantei x_F = 1, in timp ce celelalte 44 elemente vor purta varianta x_M = 0. In consecinta:

Media variabilei alternative este:

Dispersia:

Coeficientul de variatie:

In concluzie, ancheta arata ca difuzorii de presa prezinta o rata de feminizare de 45%. Altfel spus, 45% dintre difuzorii de presa sunt femei. Fiind mai mare decat 100%, coeficientul de variatie este expresia dezechilibrului dintre unitatile purtatoare ale variantei x_F si cele caracterizate prin x_M. Totusi, abaterea fata de 100% este mica, ceea ce inseamna ca dezechilibrul intre femei si barbati in randul difuzorilor de presa din Bucuresti nu este un dezechilibru major.

2. Daca analiza se face din perspectiva masculina, atunci cele 44 variante cu x_M vor primi valoarea 1, iar celelalte 36 de variante inregistrate cu x_F vor avea valoarea 0, astfel ca media devine:

dintre difuzori sunt barbati.

Evident, indicatorii sintetici ai variatiei nu se modifica, iar observatia cu privire la un slab dezechilibru intre sexe in randul difuzorilor de presa ramane valabila.

9. Probleme propuse

Problema nr. 6

Managerul unei firme a inregistrat numarul lunar al accidentelor la locul de munca din ultimele 24 de luni. Rezultatele sunt prezentate in Tabelul 6.1.

Se cere:

a)      Sa se determine frecventele cumulate crescator si descrescator.

b) Acceptand ca in urmatoarea luna au loc 11 accidente, ce sugereaza aceasta situatie managerului?

Tabel 6.1

Problema nr. 7

O companie cu doua filiale doreste sa compare salariile saptamanale platite. Acestea prezinta urmatoarea distributie:

Tabel 7.1

Se cere:

a)      Sa se transforme aceste frecvente absolute in frecvente relative.

b)      Sa se transforme aceste frecvente absolute in frecvente cumulate crescator.

c)      Care dintre aceste modalitati poate permite o mai usoara comparare a salariilor?

Problema nr. 8

La verificarea calitatii productiei unei fabrici de becuri se constata urmatoarea repartitie a loturilor in functie de numarul de produse defecte identificate la fiecare lot controlat:

Tabel 8.1

Se cere:

a)      Sa se determine numarul mediu de produse defecte/lot.

b)      Sa se calculeze si comenteze dispersia, abaterea standard si coeficientul de variatie in jurul mediei.

c)      Sa se precizeze daca media colectivitatii este reprezentativa pentru cele 200 loturi controlate. Motivati optiunea facuta.

Problema nr. 9

Repartitia muncitorilor din cadrul unei sectii de productie, dupa timpul lucrat in luna martie se prezinta astfel:

Tabel 9.1

Se cere:

a)      Sa se reprezinte grafic repartitia muncitorilor dupa timpul lucrat si sa se observe forma repartitiei.

b)      Sa se calculeze indicatorii tendintei centrale si sa se observe relatia dintre acestia.

c)      Sa se caracterizeze gradul de omogenitate al repartitiei.

d)      Sa se masoare gradul de asimetrie.

Problema nr. 10

Timpul de asteptare la doua statii de benzina pentru 100 automobile este prezentat in tabelul de mai jos:

Tabel 10.1

Se cere:

a)      Sa se verifice regula de adunare a dispersiilor;

b)      Sa se arate daca punctul de observare (statia de benzina) reprezinta un factor de influenta reala asupra variatiei timpului de asteptare.