MODELE ANALITICE PENTRU DIMENSIONAREA SISTEMULUI DE EMITERE A LEGITIMATIILOR DE CALATORIE

MODELE ANALITICE PENTRU DIMENSIONAREA SISTEMULUI DE EMITERE A LEGITIMATIILOR DE CALATORIE

1 Determinarea capacitatii de servire a sistemului de emitere a legitimatiilor de calatorie - sistemul M/M/n:( /FIFO)

In figura 1 este prezentata schema unui sistem de servire in masa (sistem cu asteptare) cu sir unic de asteptare si n statii de servire dispuse in paralel, model adoptat pentru organizarea servirii calatorilor in agentia de voiaj.

Fig. 1 Sistem de servire in masa cu sir unic de asteptare si statii dispuse in paralel

(G - generator de cereri, Q - sir de asteptare, S_i - statie de servire,

l - intensitatea sosirilor, m_i - intensitatea servirilor

Conform formalizarii Kendall-Lee, un sistem de servire in masa se reprezinta sub forma:

F F /n:(m/D),

unde:

Asupra fluxului sosirilor se fac urmatoarele ipoteze:

fluxul de sosire este stationar in timp (probabilitatea sosirii cererilor de servire intr-un interval de timp t depinde de marimea intervalului si nu de pozitia sa pe axa timpului);

probabilitatea sosirii simultane a doua sau mai multe cereri este neglijabila;

aparitia cererilor de servire intr-un interval de timp nu depinde de aparitiile anterioare.

In cazul agentiei de voiaj, fluxul sosirilor este de tip Poisson cu intensitatea medie l. Duratele de servire au o repartitie exponential-negativa cu valoarea medie , prin urmare numarul calatorilor serviti in unitatea de timp are o repatitie de tip Poisson cu intensitatea medie .

Din considerente etice, disciplina de servire este FIFO (First In First Out).

Numarul locurilor in sirul de asteptare se considera nelimitat ().

Prin urmare, conform clasificarii Kendal-Lee, modelul sistemului de servire in masa corespunzator agentiei de voiaj este de forma:

M/M/n:( /FIFO)[1].

Coeficientul de solicitare a sistemului este .

Probabilitatea ca durata de asteptare a unui calator (w) sa depaseasca o valoare t este:

, (1)

unde P(k n) reprezinta probabilitatea ca in agentie sa se gaseasca mai mult de n calatori. Aceasta probabilitate se determina cu relatia:

, (2)

unde P(0) este probabilitatea ca in agentie sa nu existe nici un calator. P(0) se calculeaza cu relatia:

. (3)

Standardul de servire impus prin tema proiectului prevede ca durata de asteptare a unui calator sa depaseasca t [min] cu o probabilitate de maxim 0,05, adica

. (4)

Pentru a determina capacitatea de servire a sistemului de emitere a legitimatiilor de calatorie (numarul de statii de servire), se utilizeaza urmatorul algoritm:

Pas 1. Se calculeaza valoarea initiala a numarului de echipamente .

Pas 2. Cu valoarea lui n se verifica inegalitatea 4. Daca inegalitatea este satisfacuta, standardul de servire este indeplinit si algoritmul se opreste (salt la pasul 4). Daca inegalitatea nu este satisfacuta, standardul de servire nu este indeplinit si se incrementeaza numarul de statii de servire (salt la pasul 3).

Pas 3. n=n+1.

Pas 4.Salt la pasul 2.

Pas 5. Stop

Valoarea n obtinuta in urma algoritmului de mai sus reprezinta numarul minim de statii de servire necesare in agentia de voiaj pentru care standardul de servire este indeplinit.

Pasul 1.Din capitolul anterior au fost determinate valorile lui si ca fiind:

=8,962963

=1,2

Pasul 2.Verificarea inegalitatii 4.

Pentru a verifica aceasta inegalitate se calculeaza probabilitatea ca in agentie sa nu fie nici un calator cu ajutorul relatiei 3

Cu ajutorul aceste valori se calculeaza probabilitatea cca in agentie sa existe mai mult de un calator cu relatia 2

Se calculeaza probabilitatea ca durata de asteptare a unui calator sa depaseasca o valoare t se calculeaza cu relatia 1

unde t este 8 minute luat din tema proiectului

Se compara valoarea obtinuta.

Relatia este satisfacuta deci numarul minim de statii de servire necesare in agentia de voiaj este 8.

Algoritmul este intrerupt nemai fiind necesara incremenatarea lui n.

2 Determinarea capacitatii de servire a sistemului de emitere a legitimatiilor de calatorie - sistemul M/C/n:( /FIFO)

In urma introducerii unui sistem electronic de emitere a legitimatiilor de calatorie, duratele de servire devin cvasiconstante si se reduc cu e [%] fata de durata medie de servire corespunzatoare servirilor cu repartitie exponential-negativa. Conform clasificarii Kendall-Lee, noul model al sistemului cu asteptare asociat servirii calatorilor in agentie este de forma

M/C/n:( /FIFO)

Intensitatea medie a servirilor devine .

Coeficientul de solicitare a sistemului este .

Durata medie de asteptare a unui calator se determina cu relatia:

, (5)

unde P(>0) este probabilitatea ca in agentie sa existe calatori si se determina cu relatia:

. (6)

In conditiile unor durate de servire constante, capacitatea de servire a sistemului trebuie aleasa astfel incat durata medie de asteptare a unui calator sa nu depaseasca durata medie de asteptare corespunzatoare sistemului cu durate de servire repartizate exponential-negativ, adica:

. (7)

Pentru a determina capacitatea de servire a sistemului de emitere a legitimatiilor de calatorie (numarul de statii de servire) in cazul sistemului cu serviri cvasi-constante, se utilizeaza urmatorul algoritm:

Pas 1. Se calculeaza valoarea initiala a numarului de echipamente .

Pas 2. Cu valoarea lui n se calculeaza durata medie de asteptare si se verifica inegalitatea 7. Daca inegalitatea este satisfacuta, capacitatea sistemului este corect aleasa si algoritmul se opreste (salt la pasul 5). Daca inegalitatea nu este satisfacuta, se incrementeaza numarul de statii de servire (salt la pasul 3).

Pas 3. n=n+1.

Pas 4.Salt la pasul 2.

Pas 5. Stop

Pasul 1.Se calculeaza intensitatea medie a servirilor

Cu aceasta valoare se calculeaza coeficientul de solicitare al sistemului

Avand aceste valori se calculeaza valoarea initiala a numarului de echipamente

Pasul 2.Pentru a putea calcula durata medie de asteptare mai intai se calculeaza probabilitatea ca in agentie sa existe calatori cu ajutorul relatiei 6

Cu aceasta valoare se calculeaza durata medie de asteptare a unui calator cu relatia 5

Acesta valoare se compara cu valoare lui unde  sunt cele de la punctul anterior.

Inegalitatea este satisfacuta,capacitatea sistemului este corect aleasa.

3 Evaluarea parametrilor de servire a calatorilor

Parametrii de servire a calatorilor care trebuie determinati sunt durata medie de asteptare , durata medie petrecuta in sistem (agentie - ), numarul mediu de calatori aflati in asteptare si numarul total de calatori aflati in agentie .

Legaturile dintre parametrii de servire sunt date de relatiile lui Little:

. (8)

De asemenea,

. (9)

Pentru sistemul de servire de forma M/M/n:( /FIFO), durata medie de asteptare se calculeaza cu relatia:

. (10)

Pentru sistemul de servire de forma M/C/n:( /FIFO), durata medie de asteptare este data de relatia 5.

In determinarea parametrilor de servire a calatorilor se va tine cont de caracteristicile repartitiilor duratelor de servire corespunzatoare fiecarui sistem in parte (intensitatea medie a servirilor).

Pentru sistemul de servire de forma M/M/n:( /FIFO), durata medie de asteptare   

=

Numarul mediu de calatori aflati in asteptare si numarul mediu de calatori aflati in sistem este:

Pentru sistemul de servire de forma M/C/n:( /FIFO), durata medie de asteptare este data de relatia 5.

=0.257041

Numarul mediu de calatori aflati in asteptare si numarul mediu de calatori aflati in sistem este: