Determinarea suprafetelor pe harti si planuri

Determinarea suprafetelor pe harti si planuri

O astfel de problema se rezolva functie de elemente geometrice ce se obtin prin masuratori pe harta sau  plan. n principiu, se pot folosi metode numerice, grafice sau mecanice, iar unele din metodele ce se vor descrie se pot folosi si pentru determinarea suprafetelor din teren.

Metodele  numerice

Aceste metode utilizeaza relatii analitice, geometrice sau trigonometrice.

relatiile analitice se aplica în situatia în care sunt cunoscute coordonatele rectangulare ale tuturor punctelor ce definesc conturul a carui suprafata se cere determinata. Conturul se descompune în triunghiuri pornind de la unul din v rfurile conturului. Suprafata unui triunghi se determina prin calcularea unui determinant contin nd pe primele doua coloane coordonatele x si y ale v rfurilor triunghiului iar pe coloana a treia termenul 1.Pentru un triunghi cu v rfurile notate cu i, j, k se obtine relatia :

[2.16]

ntreaga suprafata va rezulta ca suma suprafetelor triunghiurilor componente; prin nsumarea si gruparea termenilor din relatiile de tipul de mai sus se obtine o relatie de tip generalizat de forma:

[2.17]

Prima suma apare c nd gruparea termenilor se face dupa x_i, iar a doua c nd gruparea se face dupa y_i.

relatiile geometrice se aplica în situatia în care conturul suprafetei de determinat se poate mparti în triunghiuri la care se cunosc numai elementele liniare, fie ca este vorba de baze si naltimi, fie ca este vorba numai de laturi. In cazul în care se cunosc numai laturi,relatia de calcul a suprafetei unui triunghi este:

[2.18]

unde p este semiperimetrul, iar a, b si c sunt laturile unui triunghi. Suprafata totala va fi suma celor 'n' triunghiuri componente.

Daca se cunosc baze si naltimi în triunghiurile în care s-a descompus conturul, relatia de calcul a suprafetei unui triunghi va fi:

[2.19]

unde B si I sunt baza respectiv naltimea unui triunghi, iar suprafata conturului este data de suma suprafetelor celor 'n' triunghiuri componente.

relatiile trigonometrice se folosesc în situatia în care în urma descompunerii conturului în triunghiuri, pentru acestea se cunosc at t elemente liniare c t si elemente unghiulare. Suprafata unui triunghi se va calcula în acest caz cu relatii de tipul:

[2.20]

iar suprafata conturului va rezulta ca suma suprafetelor triunghiurilor componente.

Metode grafice.

n situatia n care nu dispunem de coordonatele punctelor, elementele necesare determinarii suprafetelor urm nd a se determina grafic, prin citire de pe plan. n acest context este evident ca suprafata va fi cu at t mai precisa cu c t lungimile de pe plan sau harta vor fi mai precise, deci scara hartii va fi mai mare.

descompunerea n figuri geometrice simple, triunghiuri sau trapeze (figura 2.12) necesita masurarea pe plan a bazelor si naltimilor n cazul triunghiurilor, respectiv a bazelor mici, bazelor mari si naltimilor n cazul trapezelor. Functie de scara hartii, aceste lungimi se transforma n lungimi din teren ce vor fi utilizate la calcule.

Indiferent de figurile geometrice alese, se recomanda ca verificarea determinarilor sa se faca aleg ndu-se o alta varianta de descompunere, cu repetarea operatiunilor privind determinarea lungimilor si apoi a suprafetelor, urm nd ca rezultatele celor doua determinari sa se compare ntre ele.

metoda paralelelor echidistante sau metoda trapezelor se aplica pentru suprafete alungite (figura 2.13).Pe o foaie de h rtie transparenta se traseaza o retea de linii paralele si echidistante. Se recomanda ca pentru o mai usoara folosire, sa se traseze si paralelele situate la jumatatea distantelor determinate de primele paralele.

Aceasta retea se suprapune peste conturul de pe plan. n urma acestei operatiuni, conturul de pe plan a fost descompus ntr-o succesiune de trapeze care vor avea toate naltimile egale ntre ele iar baza mare a unui trapez devine baza mica n trapezul alaturat. Suprafata totala se obtine nsum nd suprafetele trapezelor, adica

[2.21]

sau :

[2.22]

Daca este cazul, la aceasta valoare se adauga suprafata ramasa dintr-un trapez incomplet. Pentru controlul determinarii se procedeaza la o alta pozitionare a retelei de paralele si determinarea suprafetei functie de aceeasi naltime a trapezelor, dar cu alte valori pentru b_i.

metoda patratelor module este folosita la determinarea suprafetelor cu contur neregulat. Pe o foaie de h rtie transparenta se construieste o retea de patrate cu latura “a” (figura 2.14). Se suprapune reteaua de patrate peste suprafata cu contur neregulat si se numara patratele ntregi, n₁, apoi prin aproximare se determina n₂ , numarul patratelor incomplete. Suprafata totala va fi deci :

S = a² (n₁ + n₂) [2.23]

n care a² este suprafata unui patrat. Pentru verificare, reteaua se amplaseaza ntr-o alta pozitie si se face o noua determinare a suprafetei.

Metoda mecanica

Ca si metodele grafice, metoda mecanica se foloseste n situatia n care nu dispunem de coordonatele punctelor de pe contur. Se va folosi n acest caz un instrument denumit planimetru. Functie de constructie, acesta poate fi polar, cu disc, liniar sau digital. Principiul metodei este aratat n figura 2.15. Se poate vedea astfel ca polul planimetrului este, n cazul descris n afara suprafetei de masurat; se poate nsa ca acest pol sa fie situat si n interiorul suprafetei S.

Planimetrul polar se compune din bratul polar P si bratul trasor T sau bratul caruciorului, articulate ntre ele n punctul O. Bratul trasor T, de lungime reglabila, urmareste cu un capat prevazut cu un v rf conturul suprafetei S, iar la celalalt capat se nregistreaza miscarea stiletului pe conturul suprafetei prin intermediul unui contoar sau dispozitiv nregistrator. Polul bratului polar, cu lungime constanta, se fixeaza cu ajutorul polului. Dispozitivul de înregistrare miscarii planimetrului se compune dintr-un contoar si a ruleta integratoare. Citirile pe aceasta ruleta se fac cu ajutorul unui vernier (figura 2.16).

Pentru determinarea marimii suprafetei se porneste de la faptul ca suprafata unei figuri oarecare, planimetrate, este egala cu suprafata unui dreptunghi de lungime egala cu lungimea L a bratului trasor si latime egala cu o diviziune, r, a ruletei.

S = n (r.L) [2.24]

Din aceasta relatie se constata ca unitatea de masura folosita la planimetrul polar este egala cu 10^-3 din (r.L), valoare ce provine din cele 10 diviziuni ale contoarului, 10 diviziuni ale ruletei si 10 diviziuni ale vernierului. Ea poarta denumirea de constanta de scara K_s, fiind functie de scara planului si constanta pentru o lungime L a bratului trasor.

Valoarea numarului generator n din relatia [2.24] se determina prin diferenta ntre citirea finala C_f si citirea initiala C_i, citiri efectuate la sf rsitul, respectiv nceputul parcurgerii conturului suprafetei S cu ajutorul stiletului. Daca se nlocuieste n = C_f - C_i n relatia [2.24], se obtine:

S = K_s (C_f - C_i) [2.25]

n vederea determinarii constantei de scara K_s, n trusa planimetrului polar exista o rigleta ce permite ca prin fixarea stiletului pe unul din orificiile existente pe rigleta, sa se parcurga un cerc de raza data n acest caz suprafata cercului este cunoscuta, iar prin efectuarea diferentei ntre citirile de la sf rsitul si de la nceputul parcurgerii circumferintei cercului sa se determine numarul generator, n. Utiliz nd relatiile [2.24] si [2.25], se poate scrie ca

[2.26]

Pentru o c t mai corecta valoare a diferentei citirilorse procedeaza la parcurgerea de mai multe ori a conturului si calculul unei valori medii a diferentei citirilor . n situatia c nd valoarea obtinuta pentru constanta de scara nu este o valoare ntrega (2, 5, 10, 20) se calculeaza o noua lungime a bratului trasor L’ cu relatia:

[2.27]

unde K’_s este noua constanta de scara av nd o valoare ntrega. Dupa fixarea noii lungimi a bratului L’, se procedeaza la o verificare si eventual reajustare a planimetrului.

n cazul n care suprafata de planimetrat este mare, este posibil ca polul planimetrului sa fie amplasat n interiorul suprafetei. Relatia de calcul n acest caz va fi :

[2.28]

n care C reprezinta constanta planimetrului si este egala cu suprafata cercului de baza functie de lungimea bratelor, valoarea constantei fiind data n fisa tehnica a planimetrului. Semnele + sau - se folosesc functie de pozitia reciproca a suprafetei de planimetrat si a cercului de baza. Daca cercul de baza este n interiorul suprafetei se foloseste semnul +, iar daca cercul de baza este n exteriorul suprafetei se foloseste semnul -.

Pentru ca planimetrarea safie corecta, se impune respectarea urmatoarelor reguli:

planul sau harta se fixeaza pe o planseta orizontala si neteda

bratele planimetrului sa formeze unghiuri cuprinse ntre 30° si 150°;

ruleta se va deplasa pe o suprafata suficient de rugoasa pentru a asigura o aderenta optima

deplasarea stiletului n sens orar pe conturul suprafetei conduce la obtinerea de valori pozitive ale suprafetelor determinate, n timp ce deplasarea n sens antiorar conduce la determinari negative.

Marimea suprafetei determinata mecanic este afectata de o serie de erori care depind de scara planului, metoda de planimetrare si marimea suprafetei. Toate aceste erori vor trebui sa fie mai mici cel mult egale cu toleranta admisa T_s. Pentru determinari ale aceleasi suprafete, se impune o toleranta de :

[2.29]

iar daca se tine cont de scara planului, toleranta este data de relatia :

[2.30]