Notiuni de teoria erorilor de masurare

Notiuni de teoria erorilor de masurare

Av nd n vedere ca orice masuratoare, oric t de precis ar fi executata, este nsotita de mici diferente fata de valoarea reala a marimii respective, vom defini erorile ca fiind micile diferente care apar la masurarea repetata a unei marimi. Este de mentionat ca valoarea reala a marimii masurate nu este niciodata cunoscuta

Cauzele care conduc la aparitia erorilor se refera la:

imperfectiunilor constructive ale aparaturii sau dispozitivelor cu care se executa masuratorile, erorile numindu-se erori instrumentale;

datorita operatorului care executa masuratorile, caz n care erorile se numesc erori personale;

datorita conditiilor de mediu n care se efectueaza masuratorile, situatie n care erorile se numesc erori datorate conditiilor exterioare;

Este de remarcat ca niciodata, categoriile enumerate mai sus nu actioneaza singure, ci apar toate la un loc. Eroarea se defineste matematic ca diferenta ntre valoarea eronata si valoarea justa, iar corectia este totdeauna diferenta ntre valoarea justa si valoarea eronata. Daca notam cu v_j valoarea justa si cu v_e valoarea eronata, putem scrie:

e = v_e - v_j [1.11]

dupa cum :

c = v_j - v_e [1.12]

Din expresiile [1.11] si [1.12] se poate scrie ca

e = -c sau c = -e [1.13]

Daca asupra unei marimi se vor face un numar mare de determinari, se vor calcula abaterile fiecarei determinari fata de media aritmetica si se va ntocmi un grafic pe care se vor raporta pe abscisa marimea erorilor si pe ordonata frecventa aparitiei unei valori a erorii, se va obtine un grafic al unei curbe, cunoscuta sub numele de 'curba clopot GAUSS', reprezent nd de fapt curba de distributie normala a erorilor nt mplatoare.

Clasificarea erorilor se poate face dupa

marimea lor:

erori propriu-zise, care sunt acceptate n procesele de masurare;

erori grosolane, numite si greseli, care nu se accepta n sirul de masuratori, motiv pentru care, la prelucrare, sunt eliminate.

2. modul de propagare:

sistematice, caracterizate prin aceea ca sunt constante ca semn si marime. Acest tip de erori nu se pot elimina, dar influenta lor poate fi anulata prin calcul.

nt mplatoare sau accidentale, apar aleator ca semn si valoare, iar influenta lor nu se cunoaste si nu se poate diminua.

3.         valoarea de referinta:

reale, care reprezinta diferentele ntre diversele valori din sirul de determinari si valoarea reala a marimii masurate. Se poate lesne constata ca deoarece valoarea reala a marimii nu este cunoscuta, nici erorile reale nu se pot determina.

erori aparente, care reprezinta diferenta ntre fiecare valoare din sirul de masuratori si valoarea cea mai probabila, definita ca media aritmetica a celor 'n' determinari. n cazul unui numar de determinari facute asupra aceleasi marimi, de un singur operator, cu un singur instrument de masura si n conditii meteo aproximativ identice, suma erorilor aparente tinde la 0. Vom nota cu v erorilor aparente, cu M_i masuratorile propriu-zise si cu M media celor 'n determinari, putem scrie:

v₁ = M₁ - M

v₂ = M₂ - M

. . . . . . . . . . . [1.14]

v_n = M_n - M

v₁ + v₂ +. . .+ v_n = M₁+M₂+. . . + M_n - n . M [1.15]

Daca notam suma erorilor v_i cu [v] si suma masuratorilor cu [M], relatia [1.15] se poate scrie sub forma:

[ v ] = [ M ] - n.M = 0

si deci:

[ v ]= 0 [1.16]

care constitue criteriul de apreciere a corectitudinii prelucrarii masuratorilor.

Pornind de la considerentul ca un sir de masuratori este reprezentat ca o functie de cele 'n' determinari, asimilate ca 'n' variabile, erorile sunt derivatele de ordinul I n raport de aceste determinari.                      

Diferenta ntre oricare doua masuratori din sirul de masuratori efectuate, se numeste ecart; daca aceasta diferenta se face ntre valoarile extreme, se numeste ecart maxim.

Pentru a putea fi prelucrat, sirul determinarilor trebuie sa se ncadreze n toleranta T, care se defineste ca fiind ecartul admisibil ntre masuratori. Valoarea tolerantei se precizeaza prin instructiuni tehnice si valoarea ei este obligatoriu de respectat n orice gen de lucrari de masuratori terestre. Tehnica care se ocupa cu modul de prelucrare a masuratorilor si ajungerea la valoarea cea mai probabila se numeste teoria erorilor de masurare, iar procedeul se numeste al celor mai mici patrate.

Dupa modul n care se obtin, marimile masurate pot fi:

directe, caracterizate prin aceea ca observatiile sunt facute direct cu instrumentul asupra marimii care se masoara, de exemplu, masurarea cu ajutorul ruletei a unei distante;

indirecte n care, prin calcul, din marimi determinate direct se obtin marimile care intereseaza. Un exemplu este determinarea a doua laturi ntr-un triunghi n care se cunosc toate unghiurile si o latura

conditionate n care marimile masurate direct trebuie sa raspunda unor conditii, ca de exemplu, suma unghiurile masurate ntr-un triunghi sa fie egala cu 200^g.

Din punct de vedere al modului de efectuare a observatiilor sau al aparaturii folosite, se disting:

masuratori de aceeasi precizie, n care determinarile se fac cu aceeasi metoda, de un singur operator care foloseste un singur aparat se numesc masuratori de ponderi egale.

masuratori ponderate care se efectueaza cu aparate diferite, de catre operatori diferiti, n conditii si cu instrumente diferite.

Eroarea medie patratica individuala

Pornind de la forma generala a ecuatiilor de erori,si anume:

v₁ = M₁ - M

v₂ = M₂ - M

. . . . . . . . . . . [1.17]

v_n = M_n - M

pentru a se nlatura incertitudinile datorate semnelor + si - ale erorilor v_i, se ridica la patrat suma erorilor si prin nsumare se ajunge la eroarea medie patratica individuala:

[1.18]

Aceasta eroare constituie un criteriu de apreciere calitativa a sirului de masuratori luate individual. Asupra valorii erorii medii patratice individuale actioneaza preponderent erorile nt mplatoare cu valoare absoluta mare, tocmai cele care determina gradul de siguranta al masuratorilor. Datoritafaptului ca aceasta eroare este relativ stabila, este practic suficient un numar relativ mic de determinari pentru a obtine aceasta eroare cu o precizie satisfacatoare.

Eroarea medie a mediei aritmetice.

Pornind de la 'i' masuratori efectuate n aceleasi conditii asupra unei singure marimi M, valoarea cea mai probabila se accepta a fi media aritmetica. Se poate deci scrie ca

[1.19]

sau: [1.20]

daca acceptam ca fiecare masuratoare este afectata de aceeasi eroare, e_q, n timp ce eroarea medie patratica a valorii M va fi e_M, prin ridicare la patrat si neglij nd termenii de ordinul II (adica produsele ntre termenii 'i' si 'j'), atunci putem scrie ca

[1.21]

acesta marime este este un criteriu de apreciere a preciziei masuratorilor.