Determinarea lungimii de und a luminii monocromatice utilizand reteaua de difractie fraunhofer

UNIVERSITATEA 'POLITEHNICA' DIN BUCURESTI

CATEDRA DE FIZIC

LABORATORUL DE OPTIC

BN - 120 B

DETERMINAREA LUNGIMII DE UND A LUMINII MONOCROMATICE UTILIZAND RETEAUA DE DIFRACTIE FRAUNHOFER

DETERMINAREA LUNGIMII DE UNDA A UNEI RADIATII LUMINOASE CU RETEAUA DE DIFRACTIE

1. Scopul lucrarii

Scopul teoretic al acestei lucrari de laborator este acela de a studia fenomenul de difractie Fraunhofer , fenomen care se manifesta la trecerea unui fascicul paralel de lumina printr-o retea unidimensionala plana.

Scopul practic al acestei lucrari este acela de a stabili valoarea explicita a lungimilor de unda pentru principalele componente spectrale (linii spectrale) ale radiatiei luminoase utilizate in desfasurarea acestui experiment.

2. Teoria lucrarii .

2.1. Notiuni generale despre difractie.

Intelesul general al termenului de difractie a undelor circumscrie intreaga varietate a fenomenelor ce au loc atunci cand undele intalnesc - in propagarea lor - neomogenitati ale mediului. Prin urmare difractia desemneaza nu numai particularitati ale propagarii undelor in dreptul fantelor, orificiilor, ecranelor sau in prezenta altor obstacole (difractie in sens restrans) ci si totalitatea fenomenelor de reflexie , refractie sau difuzie ( sensul general al acestei notiuni).

Propagarea undelor in medii neomogene prezinta particularitati determinate de faptul ca neomogenitatile provoaca intreruperea partiala sau deformarea suprafetelor de unda, ceea ce poate avea drept consecinta abaterea de la propagarea rectilinie. Din acest motiv, putem defini difractia drept fenomen care consta in modificarea directiei de propagare a undei - atunci cand aceasta intalneste o neomogenitate (de exemplu : un obstacol) - insotita (eventual, nu obligatoriu ) de o redistribuire spatiala a intensitatii acesteia ,[1].

Explicarea fenomenului se poate face cu ajutorul principiului Huygens-Fresnel.

Principiul lui Huygens are - el insusi - un caracter mai mult calitativ.

El afirma ca sursa primara (vezi Figura 1) poate fi inlocuita printr-o distributie continua , pe suprafata S , de surse secundare punctuale convenabil alese, astfel incat in punctul M functia de unda produsa prin suprapunerea tuturor undelor secundare sa se identifice cu cea produsa de unda primara.

Formularea originala a acestui principiu impunea conditia ca suprafata infasuratoare a suprafetelor undelor secundare sferice sa fie o suprafata de unda a undei primare, aceasta cerinta fiind - asa cum se vede - de natura geometrica.

Principala deficienta a aplicarii stricte a acestui principiu rezida in absenta oricaror informatii referitoare la intensitatile si fazele undelor secundare, termenul de "surse punctiforme secundare convenabil alese" nefiind, in aceasta privinta, catusi de putin explicit.

Un procedeu mai perfectionat de stabilire a caracteristicilor surselor secundare a fost formulat de catre Fresnel , sub forma unui postulat care-i poarta numele. Astfel, postulatul lui Fresnel afirma : amplitudinea si faza fiecarei surse secundare sunt egale, in fiecare punct al suprafetei auxiliare S, cu amplitudinea si faza produse in acel punct de catre unda primara.

Principiul Huygens-Fresnel (care reprezinta o completare si o dezvoltare a principiului lui Huygens, prin asimilarea postulatului lui Fresnel) admite ca undele secundare sunt coerente si au amplitudini care pot fi calculate, functie de conditiile date (geometria problemei). Prin aceasta devine posibil calculul interferentei produse prin suprapunerea undelor secundare, iar suprafata de unda infasuratoare rezulta automat in urma acestei suprapuneri.

Atunci cand fasciculul difractat este intersectat cu un ecran se obtine, ca urmare a difractiei, o figura de difractie al carui aspect depinde in mod esential de caracteristicile neomogenitatii1 . Atat experimental cat si teoretic se constata ca fenomenul este observat fara dificultate atata timp cat dimensiunea neomogenitatii care intrerupe suprafata de unda are acelasi ordin de marime cu lungimea de unda a radiatiei difractate, [2].

Principiul Huygens-Fresnel nu da rezultate corecte pentru faza undei rezultante, dar permite calcularea amplitudinii si implicit stabilirea figurii de difractie, [1].

Atunci cand sursa luminoasa punctiforma este apropiata de obstacol, difractia corespunzatoare a luminii poarta numele de difractie Fresnel. Acest tip de difractie presupune un fascicul luminos divergent (modelul undei sferice) care - in urma interactiei cu obstacolul - conduce la aparitia de franje vizibile direct pe un ecran, fara a fi necesara utilizarea vreunui sistem optic special.

Fenomenul de difractie ce apare atunci cand sursa de lumina este foarte indepartata de obstacol, astfel incat razele luminoase sunt - practic - paralele, se numeste difractie Fraunhofer (in lumina paralela sau a undelor plane).

Acest din urma tip de difractie poate fi obtinut si cu ajutorul unei surse punctiforme apropiate de obstacol, dar care este plasata in focarul unui sistem optic convergent.

2.2. Difractia Fraunhofer printr-o fanta.

Se considera o fanta, adica o deschidere dreptunghiulara a carei lungime L este considerata practic infinita in raport cu largimea a (vezi Figura 2).

Asupra fantei cade o unda plana a carei directie de propagare este situata      intr-un plan normal pe fanta si paralel cu latura a, care face un unghi nul cu normala la fanta.

Unda va suferi difractia sub toate unghiurile formate in raport cu normala la fanta, cuprinse intre .

Expresia undei rezultante provenita de la intreaga fanta se obtine insumand (integrand) contributia tuturor surselor secundare , aflate in planul fantei. Aceasta este , [3] :

unde Y este expresia matematica a undei armonice plane rezultante, k este modulul vectorului de unda iar w este frecventa unghiulara.

Intrucat intensitatea undei difractate se calculeaza, prin definitie, prin inmultirea lui y* cu y , calculele conduc la urmatorul rezultat :

Curba I = I(b) este aratata in Figura 3.

Se constata ca intensitatea undei difractate prezinta minime (nule) ori de cate ori este indeplinita conditia sinb = 0 (cu b 0) , adica atunci cand este indeplinita conditia b = m p (m = 1, 2, 3) sau : a sina = m l (3) .

Pentru a stabili celelalte valorile maxime ale lui I(b) (in afara de maximul principal corespunzator conditiei b = 0 ) trebuie impusa conditia matematica :

ale carei solutii sunt radacinile ecuatiei transcendente tgb b, anume : b p p , etc.

Trecand la variabila independenta a rezulta, pentru conditia de maxim, expresia : a sina=n l , cu n = 0 ; 1,43 ; 2,46      

Figura 3.

Din ecuatia (3) rezulta ca primul minim apare atunci cand este indeplinita conditia :

. Prin urmare, atunci cand a>>l a este foarte mic (neglijabil) si - in consecinta - figura de difractie se reduce la imaginea fantei.

. Atunci cand a are acelasi ordin de marime cu l , figura de difractie se etaleaza din ce in ce mai mult, maximul principal devenind din ce in ce mai putin ascutit (deoarece aria cuprinsa sub curba trebuie sa-si pastreze valoarea constanta, egala cu intensitatea undei incidente pe retea.

. Cand a = l se observa ca a p/2 , adica maximul central se extinde in tot campul.

. Cazul in care a << l nu mai are sens (matematic vorbind sina > 1 nu exista) si prin urmare efectul corespunzator consta in faptul ca nu se mai obtine difractie.

Important. Asa cum s-a mai afirmat deja, efectele de difractie trebuie luate in calcul si avute in vedere numai atunci cand dimensiunea fantei este comparabila cu lungimea de unda , pana la aproximativ doua ordine de marime.

2.3. Difractia Fraunhofer produsa de o retea optica plana unidimensionala

x

O retea unidimensionala consta dintr-un ansamblul de N fante dreptunghiulare identice, distribuite regulat (echidistant) dupa o directie (vezi Figura 4) . Una dintre laturile fantei este foarte mare (astfel incat nu contribuie la fenomenul de difractie) iar cealalta latura are dimensiunea a. Notand cu b distanta dintre doua fante succesive, marimea d=a+b constituie o caracteristica a retelei (ea se si numeste, de fapt, constanta retelei). Ordinul de marime al acestei constante este, de regula (10^-3 10^-2 ) mm.

Daca pe o astfel de retea optica cade o unda plana, la incidenta normala, figura de difractie obtinuta in planul focal al unei lentile prezinta un aspect particular, fiind rezultatul a doua procese paralele, simultane :

- un fenomen de difractie, care se produce independent pe fiecare fanta (si care este guvernat de toate observatiile si relatiile semnalate deja in paragraful precedent) ;

- un proces de interferenta multipla, datorat suprapunerii a N unde coerente (adica a undelor difractate de cele N fante ale retelei).

Calculul intensitatii in functie de unghiul de observatie a - in cazul retelelor plane - este similar celui efectuat pentru o singura fanta, cu singura deosebire ca, de aceasta data, integrala (1) trebuie extinsa asupra intregului sistem de fante :

Daca se introduc notatiile : se poate calcula intensitatea undei rezultante :

Din relatia (6) rezulta faptul ca unda difractata de o retea plana poate fi privita ca o unda de intensitate , modulata de factorul .

. Aspectul functiei exprimate de factorul a fost deja studiat (el corespunde cazului precedent , in care am studiat difractia pe o singura fanta). Aceasta functie variaza cu unghiul a mult mai lent decat cea care exprima dependenta de tipul .

. Functia [unde g = kd (sina ) / 2 ] exprima distributia intensitatii luminii ca rezultat al interferentei multiple a undelor provenite prin difractie de la toate cele N fante ale retelei. Ea prezinta maxime atunci cand :

Maximele secundare au valori mult mai mici decat maximele principale. Pentru valori mari ale lui N maximele secundare sunt practic imperceptibile, in timp ce maximele principale au intensitatea data de expresia .

Deoarece experimentul de laborator se desfasoara utilizandu-se o retea cu numar foarte mare de fante (de regula N = 10³) , singurele maxime care vor conta (vor putea fi vizualizate) sunt maxime principale, pentru care - prin urmare - este indeplinita conditia :

(8)

Minimele apar atunci cand este indeplinita conditia : .

Observatie. Deoarece - asa cum se poate urmari si in Figura 5 - intensitatea relativa a doua maxime de difractie succesive ale functiei modulatoare scade foarte repede, in realitate se observa numai maximele principale de interferenta din interiorul maximului principal de difractie, corespunzator intervalului      bI p p Pozitia acestor maxime principale este data de relatia (8).

p 2p 3p