DIFRACTIA FRESNEL

DIFRACTIA FRESNEL

Atunci cand suprafata fronturilor de unda este reprezentata de plane, atunci intalnim cazul difractiei Fraunhoffer (intalnit practic atunci cand distantele sursa - fante si respectiv fante - zona de observatie sunt mari, fasciculele emise de sursa si receptionate in zona fantelor si respectiv de punctele fantei si receptionate in zona de observatie fiind practic paralele). Daca insa suprafata fronturilor de unda este curba (caz intalnit atunci cand distantele mentionate anterior sunt mici) atunci intalnim cazul difractiei Fresnel, cand curbura suprafetelor de unda nu mai poate fi neglijata. Acest tip de difractie va fi studiat in lucrarea de fata.

In acest sens consideram o sursa de unda a carei radiatie emisa intalneste un orificiu circular plasat pe un ecran opac. Datorita faptului ca sursa de radiatie poate fi considerata punctiforma (ceea ce se obtine practic prin plasarea unui ecran prevazut cu un orficiu extrem de mic in zona sursei), fasciculele optice emise pot fi analizate ca fiind emise radial, in toate directiile, si astfel suprafata de unda va fi o sfera. Undele emise ajung la orificiul circular, iar aici apare fenomenul de difractie deoarece fiecare punct al suprafetei de unda din zona orificiului va emite mai departe unde secundare in toate directiile (fig. 3).

Figura. 3

Pentru aflarea intensitatii intr-un punct P situat pe axa SP se poate utiliza metoda zonelor Fresnel. In acest sens, se traseaza frontul de unda receptionat in zona orificiului circular la un moment dat (front ce intersecteaza marginile orificiului), iar apoi acest front de forma sferica se imparte in zone construite in modul urmator:

Din punctul P se duce perpendiculara PA₀ pe suprafata de unda (punctul A₀ fiind situat pe directia PS, iar r₀ fiind distanta PA₀). Apoi din P se construieste segmentul PA₁ de lungime

PA₁ = r₁ = r₀ + l (24)

orientat de-a lungul aceleiasi directii PS. Apoi se traseaza suprafata sferica cu centrul in P si de raza r₁, ce intersecteaza suprafata de unda dupa un cerc. In interiorul sau se afla prima zona Fresnel, de forma unei calote sferice. Se poate considera, cu aproximatie, ca undele secundare emise de toate punctele ce apartin primei zone (excluzand frontiera de raza r₁) si receptionate in punctul de observatie P au aceeasi faza, faza undei emise din punctul A₀, de la distanta PA₀ de punctul de observatie P.

Se construieste apoi pe aceeasi directie PS un segment PA₂ de lungime

PA₂ = r₂ = r₁ + l/2 = r₀ + 2 l (25)

si se traseaza apoi suprafata sferica cu centrul in P si de raza PA₂. Aceasta intersecteaza suprafata de unda dupa un al doilea cerc, iar zona sferica ce este cuprinsa intre cercul de raza r₁ si cercul de raza r₂ reprezinta a doua zona Fresnel. Cu aproximatie, se poate considera si de data aceasta ca undele secundare emise de toate punctele din interiorul acestei zone (incluzand una din frontiere, cercul de raza r₁, dar excluzand cealalta frontiera, cercul de raza r₂) si receptionate in punctul P au aceeasi faza, faza undelor emise de punctele de pe cercul de raza r₁ (aflate la distanta PA₁ de punctul P) . Deoarece drumul de la P la A₀ (lungimea segmentului PA₀) este mai mare cu l/2 decat distanta de la acest cerc de raza r₁ la punctul P (egala cu lungimea segmentului PA₁), diferenta de faza dintre undele secundara emisa de prima zona si cele emise de a doua zona va fi de p radiani (aceasta corespunde diferentei de drum de l

In mod similar se traseaza apoi, succesiv, cercurile cu centru in P si de raze

PA₃ = r₃ = r₂ + l PA₄ = r₄ = r₃ + l etc (26)

putandu-se observa faptul ca distantele de la cercul ce delimiteaza fiecare zona la punctul de observatie P cresc succesiv cu l/2. Astfel, considerand ca faza undelor emisa din interiorul fiecarei zone spre punctul de observatie P variaza de la o zona la zona urmatoare cu p radiani (defazaj corespunzator diferentei de drum dintre cercurile de raza r_i, ce determina faza undelor zonei cu indicele i+1, si cercurile de raza r_i+1, ce determina faza undelor zonei urmatoare, cu indicele i+2).

Pentru punctul de observatie P, vectorul E (intensitatea campului electric) va fi reprezentat de o suma de vectori E_i dati de contributiile fiecarei zone Fresnel si care au toti aceeasi directie, intrucat toate undele secundare emise de suprafata de unda sferica marginita de conturul orificiului sunt in faza (corespund unui acelasi tren de unda emis de sursa si receptionat pe suprafata orificiului, la un moment dat, sub forma unei unde sferice, iar undele secundare au intotdeauna amplitudinea, frecventa si faza undei primare ce le-a generat in punctul respectiv). Acesti vectori E_i nu au insa si acelasi sens, intrucat un defazaj de p radiani de la faza undelor emisa de o zona Fresnel la cea urmatoare implica o schimbare a directiei vectorului E (intensitatea campului electric) cu 180⁰ . Din acest motiv, daca notam amplitudinile generate in punctul P de fiecare zona cu a₁, a₂, ., a_i, ., atunci amplitudinea rezultata in punctul P (notata cu A) va fi de forma

A = a₁ - a₂ + a₃ - a₄ +. + a_n (27)

(daca ultima zona Fresnel, cea dinspre marginea orificiului, are indice n impar) si respectiv sub forma

A = a₁ - a₂ + a₃ - a₄ +. - a_n (28)

(daca ultima zona Fresnel, cea dinspre marginea orificiului, are indice n par). Amplitudinile a_i generate de fiecare zona scad pe masura ce indicele zonei creste, intrucat se mareste distanta de la punctele unei anumite zone la punctul de observatie P. Pentru usurinta calculului se mai presupune ca, amplitudinea a_i generate de o anumita zona reprezinta media amplitudinilor zonelor alaturate (cu indicii a_i-1 si a_i+1. Aceasta inseamna ca putem scrie

a_i = (a_i-1 + a_i+1) / 2 (29)

ceea ce implica

(a_i-1/2 - a_i + a_i+1/2) = 0 (30)

Pe baza acestei relatii, putem rescrie expresia amplitudinii globale A sub forma

A = a₁/2 + (a₁/2 - a₂ + a₃/2) + (a₃/2 - a₄ + a₅/2) + .+ a_n/2 (42)

daca ultima zona Fresnel, cea dinspre marginea orificiului, are indice n impar (echivalent cu relatia A = a₁ - a₂ + a₃ - a₄ .+ a_n scrisa anterior) sau sub forma

A = a₁/2 + (a₁/2 - a₂ + a₃/2) + (a₃/2 - a₄ + a₅/2) + .- a_n/2 (31)

daca ultima zona Fresnel, cea dinspre marginea orificiului, are indice n par (echivalent cu relatia A = a₁ - a₂ + a₃ - a₄ .- a_n scrisa anterior) si putem observa apoi ca fiecare termen din paranteze este egal cu zero, fiind de forma diferentei dintre media aritmetica a amplitudinilor generate de doua zone si amplitudinea corespunzatoare zonei dintre ele (diferenta ce s-a demonstrat a fi nula in aproximatia considerata).

Aceasta inseamna ca putem scrie in final amplitudinea globala A sub forma:

A = a₁/2 a_n/2 (32)

cu semnul plus daca indicele n este impar si semnul minus daca n este par. Asadar amplitudinea rezultanta are o valoare maxima cand exista un numar impar de zone Fresnel si are un minim cand exista un numar par de zone Fresnel. Daca n devine foarte mare, termenul a_n devine practic nul (amplitudinile a_i scazand pe masura ce indicele i creste, asa cum s-a aratat), iar amplitudinea A va fi aproximativ egala cu A a₁/2 efectele de difractie practic disparand.

Intensitatea luminoasa in punctul P fiind proportionala cu patratul amplitudinii A a vectorului E, rezulta ca aceasta intensitate va avea deasemenea unmaxim in centrul figurii de difractie cand apare un numar impar de zone Fresnel si o intensitate minima in acest punct atunci cand apare un numar par de zone Fresnel. Urmeaza acum sa se stabileasca legatura dintre numarul de zone Fresnel si distanta r (pozitia observatorului). Notatiile sunt exemplificate in figura 4.

Fig. 4

Din constructia zonelor Fresnel se stie ca diferenta dintre PA_k si PA₀ (notata cu d_k) este egala cu kl/2. In triunghiul dreptunghic poate fi scrisa relatia:

(33)

Suprafata de unda avand o curbura mica, putem neglija termenii de ordinul doi si ( fiind mic),       rezultand:

. (34)

In triunghiul dreptunghic poate fi scrisa relatia:

Din ultimele relatii rezulta:

. (35)

Aceasta implica

, (36)

iar prin inlocuirea lui d_k cu kl/2 se obtine:

. (37)

Suprafata de unda avand o curbura mica, rezulta aria calotei sferice egala cu p(r'_k²). Ca urmare aria zonei Fresnel cu frontierele r'_k si r'_k+1 va fi:

(38)

Se observa ca ariile zonelor nu depind de indicele k, fiind constante pentru R si r₀ constante. Folosind acest rezultat, numarul total de zone Fresnel poate fi aflat impartind suprafata intregului front de unda sferic, egal aproximativ cu pr r fiind raza orificiului) la aria unei zone, rezultand:      (39)

ceea ce implica

(40)

Aceasta ultima relatie sta la baza metodei de determinare a lungimii de unda prin stydiul zonelor Fresnel din campul vizual.

DISPOZITIV DE OBSERVARE A DIFRACTIEI FRESNEL

Dispozitivul experimental folosit in mod obisnuit pentru studierea zonelor Fresnel, prezentat in figura 5, cuprinde un bec B, dispus la capatul unui banc optic pe care se afla o lentila ce focalizeaza lumina becului pe o deschidere mica S practicata intr-o foaie metalica subtire, realizandu-se astfel practic o sursa punctiforma, un filtru F care selecteaza o radiatie cu o anumita lungime de unda din fasciculul emis de sursa, un ecran E prevazut cu orificiul circular de raza pe care se produce difractia si un sistem de vizare reprezentat de o lentila

Fig. 5

Experimental s-a constatat ca numarul total de zone Fresnel ale suprafetei de unda formate in zona orificiului este egal cu suma dintre numarul total al zonelor intunecate (inclusiv zona intunecata marginala, fundalul ce apare intotdeauna) si numarul zonelor luminoase. In figura 6 sunt indicate valorile lui n pentru cateva figuri de difractie ce pot fi observate.

Fig. 6

Indepartand dispozitivul de vizare de orificiu numarul inelelor observate scade, intrucat astfel distanta de la un punct al suprafetei de unda la un punct din zona de vizare tinde sa devina aceeasi, coordonatele transversale ale respectivelor puncte (considerate pe un plan perpendicular pe axa optica) devenind neglijabile in raport cu distanta orificiu - zona de vizare, iar in acest mod nu mai apar diferente de faza pentru undele secundare receptionate in planul observatorului. Mentinand o anumita distanta R si variind distanta r dintre observator si orificiu se pot inregistra figurile de difractie observate in diferite pozitii, ceea ce permite stabilirea numarului n de zone Fresnel utilizand relatia

(41)

ceea ce conduce la o relatie de forma

(42)

pentru lungimea de unda l (raza r a orficiului si distantele geometrice R, r fiind cunoscute). Pentru a se elimina ambiguitatile introduse de faptul ca o anumita figura de difractie poate fi observata pe un anumit interval (r_min, r_max) se stabilesc mai intai, pentru fiecare figura de difractie, valorile r_min si r_max. in acest sens se deplaseaza dispozitivul de vizare si se inregistreaza valoarea lui r pentru care figura de difractie se modifica in figura cu numar de zone superior cu o unitate (aceasta corespunzand lui r_min, deoarece numarul de zone creste cand zona de vizare se apropie de orificiu), respectiv valoarea lui r pentru care figura de difractie se modifica in figura cu numar de zone inferior cu o unitate (aceasta corespunzand lui r_max, deoarece numarul de zone scade cand zona de vizare se indeparteaza de orificiu). Modoficarea figurii este usor de sesizat daca se urmareste centrul figurii de difractie, intrucat intotdeauna o figura de difractie ce are un punct luminos in mijloc este urmata de o figura ce are o zona intunecata in mijloc, si viceversa.

RETEAUA DE DIFRACTIE

STRUCTURA RETELEI DE DIFRACTIE

Extindem analiza de mai sus la o retea (un ansamblu) de N fante dreptunghiulare identice, paralele, distribuite echidistant dupa o directie perpendiculara pe lungimea lor. Notand cu a latimea unei fante si cu b distanta dintre doua fante succesive (conform figurii 1), se defineste constanta retelei:

d = a + b (1)

care reprezinta perioada spatiala a retelei (dupa ce distanta se regaseste aceeasi alternanta zona transparenta-zona opaca). De obicei, ordinul de marime al constantelor retelelor este de (10^-3 10^-2 ) mm.

Figura 1

Daca pe o astfel de retea soseste o unda plana, perpendicular pe planul fantelor, functia de unda Y reprezinta, pentru o anumita directie determinata de unghiul a format cu directia luminii incidente, suma contributiilor date de fiecare fanta. Din acest motiv calculul functiei Y corespunzatoare intensitatii campului electric E presupune doua etape:

a) efectuarea integralei pentru contributia fiecarei fante. In acest caz, intervalul de integrare pentru latimea fantei cu numarul de ordine n, considerat cu originea la inceputul zonei transparente a primei fante (cu numarul de ordine n = 0), este (nd, nd+a), ultima fanta avand numarul de ordine n = N - 1, unde N reprezinta numarul total de fante

b) efectuarea unei sume a termenilor obtinuti la punctul a), de la n = 0 (prima fanta) la n = N - 1 (ultima fanta)

Rezulta pentru expresia functiei de unda Y o expresie de forma:

(2)

Introducand notatiile:

ka sina b kd sina g

se poate calcula intensitatea undei rezultante:

(4)

unde I₀ este o constanta.

Aceasta poate fi considerata drept o unda de intensitate , modulata de factorul .

Factorul (studiat in cazul difractiei realizate de o singura fanta) variaza mult mai rapid cu unghiul a decat factorul , datorita prezentei lui N care este foarte mare in cazurile practice si care apare multiplicativ in expresia unghiului de la numarator. Acest factor reprezinta distributia intensitatii luminii ca rezultat al insumarii undelor secundare.

Maximele apar atunci cand:

(5)

Intensitatile maximelor principale sunt mult mai mari decat intensitatile maximelor secundare, datorita prezentei factorului N² obtinut ca limita a expresiei sin²(Ng)/sin²g Pentru N intensitatile maximelor principale devin la limita egale cu:

iar maximele secundare nu mai sunt observate practic. Rezulta astfel ca directiile de maxim ale intensitatii fasciculului difractat vor fi cele pentru care unghiul a satisface ecuatia:

g = np (7)

unde

g = kd sina (8)

Aceasta implica relatiile:

Directiile de minim apar atunci cand este indeplinita conditia:

p 2p 3p