Miscarea plan-paralela

MISCAREA PLAN-PARALELA

Un solid rigid efectueaza o miscare plan paralela daca trei puncte necoliniare ale corpului se misca in acelasi plan tot timpul miscarii .

Se considera un sistem de referinta fix x₁O₁y₁z₁ si un sistem de referinta mobil xOy, solida legat de corpul in miscare si avand planul xOy continut in planul fix x₁O₁y₁ (fig. 1).

Fig. 1

Miscarea plan-paralela este compusa dintr-o translatie dupa o directie continuta in planul x₁O₁y₁ , definita de urmatoarele marimi :

(T )

si o rotatie in jurul unei axe perpendiculara pe acest plan , definita de vectorii :

(R)

Deci in cazul miscarii plan -paralele , vectorii si sunt ortogonali ( ) . In timpul miscarii , puntele corpului descriu curbe plane , continute in plane paralele cu planul fix x₁O₁y_1. Toate punctele unei drepte paralela cu axa Oz descriu traiectorii identice de aceea este suficient sa se studieze miscarea in planul xOz .

DISTRIBUTIA VITEZELOR

Cu precizarile anterioare , distributia vitezelor intr-un solid ce efectueaza miscare plan paralela este :

Din relatia (3) rezulta proprietatile distributiei vitezelor :

Vitezele tuturor punctelor sunt continute in plane paralele cu planul fix x₁O₁y₁ , deoarece proiectia vitezei pe axa Oz este nula .

Intr-un anumit moment al miscarii exista puncte ale caror viteze sunt nule .

Coordonatele acestor puncte ξ , η , z fata de sistemul de referinta mobil , se obtin din conditia de anulare a proiectiilor vitezelor .

si (4)

Rezulta

; (5)

pentru o coordonata z arbitrara .

Punctele rigidului care au o viteza nula la un moment dat se regasesc pe o greapta paralela cu aza Oz , numita axa instantanee de rotatie . Punctul de viteza nula la un moment dat , in care axa instantanee de rotatie intersecteaza planul xOy, se numeste centru instantaneu de rotatie (I) .

3. Intr-o miscare plana , distributia de viteze este formal identica cu cea dintr-o miscare de rotatie ca si cand solidul s-ar roti in jurul axei instantanee de rotatie cu viteza unghiulara .

Coordonatele ξ si η din relatia (5) determina pozitia fata de sistemul de referinta mobil a centrului instantaneu de rotatie .

In raport cu sistemul de referinta fix , coordonatele centrului instantaneu de rotatie sunt (fig.2)

(6)

Fig. 2

Locul geometric al centrului instantaneu de rotatie in raport cu sistemul de referinta fix este o curba , numita baza , ale carei ecuatii parametrice sunt relatiile (6) .

Locul geometric al centrului instantaneu de rotatie in raport cu sistemul de referinta mobil se numeste rostogolire , ale carei ecuatii parametrice sunt relatiile (5) .

Baza si rostogolirea sunt tangente la centrul instantaneu de rotatie . In timpul miscarii , baza ramane fixa , iar rostogolirea se rostogoleste fara alunecare pe baza .

Pozitia centrului instantaneu de rotatie poate fi determinata analitic folosind relatiile (5) , (6) sau utilizand proprietatea distributiei vitezelor in miscarea plan - paralela si anume aceea de a fi identica cu cea din miscarea de rotatie . Astfel in miscarea de rotatie , vectorul viteza al unui punct oarecare este normal pe raza cercului pe care il descrie punctul , in plan normal pe aza de rotatie , iar marimea vitezei este proportionala cu raza.

Rezulta pentru miscarea plan -paralela ca daca se cunosc directiile vitezelor a doua puncte din solid , centrului instantaneu de rotatie se va gasi la intersectia pependicularelor duse pe directiile vitezelor celor doua puncte ( fig . 3,1 ,a) . Daca cele doua viteze au aceeasi , iar marimile lor sunt cunoscute (fig. 3,1 b si c) se va utiliza proprietatea vitezelor in miscarea de rotatie , de a varia liniar pe o dreapta perpendiculara pe axa de rotatie .

Fig. 3

Daca se cunoaste marimea vitezei unuia dintre puncte , de exemplu , se pot determina viteza unghiulara ω si vitezele celorlalte puncte , astfel :

si (7)

Deoarece detrerminarea distantelor respective este deseori laborioasa , exista si metode grafice pentru determinarea distributiei vitezelor intr-un solid rigid in miscarea plan paralela .

DISTRIBUTIA ACCELERATIILOR IN MISCAREA PLAN -PARALELA

Distributia acceleratiilor este data de relatia

Relatia (8) permite enuntarea urmatoarelor proprietati ale distributiei de acceleratii intr-un solid in miscare plan-paralela :

acceleratiile punctelor sunt continute in plane paralele cu planul fix x₁O₁y₁( a_z=0) ;

in miscarea plan -paralela exista puncte care , la un moment dat , au acceleratii nule.

Acest puncte se gasesc pe o dreapta paralela cu axa Oz , iar coordonatele lor corespund marimilor x si y care anuleaza proiectiile a_x si a_y ale acceleratiei , exprimata in relatia (8) . In planul xOy exista, la un moment dat, un singur punct P avand acceleratia zero , punct numit polul acceleratiilor , P(x_p , y_p) . coordonatele acestui punct rezulta din conditia = 0 si sunt :

;

Intr-o miscare plan-paralela , distributia acceleratiilor este identica cu cea din miscarea de rotatie , ca si cum corpul s-ar roti in jurul dreptei ale carei puncte au acceleratiile nule , la un moment dat .

Se completeaza cu demonstratia acestei proprietati (pag 185-186) ;

Se scrie si MISCAREA SR CU PUNCT FIX (pag 186-187) - cap. 12,9 ;

Se scrie si MISCAREA GENERALA A SR (pag 187-189) - cap. 12,10 ;

Pentru a demonstra aceasta proprietate , se presupune determinata pozitia polului acceleratiilor P( fig. 12.12). Aceasta pozitie este definita fata de sistemul mobil , prin vectorul de pozitie . Un punct M al corpului are pozitia definita prin vectorii , fata de sistemul mobil , si , fata de polul acceleratiilor P . Intre acesti vectori exista relatia :

=+ (12.48)

Inlocuind aceasta marime in relatia (12.46) se obtine

(12.49)

deoarece este acceleratia nula a polului acceleratiilor P. Din relatia (12.49) rezulta ca distributia acceleratiilor este identica cu cea din miscarea de rotatie . Aceasta proprietate permite determinarea pozitiei pulului acceleratiilor , pe alta cale decit pe cea analitica , oferita de relatiile (12.47) . Se presupun cunoscute acceleratia a unui punct A al corpului (fig. 12.13.), viteza unghiulara ω si acceleratia unghiulara ε . Din

z₁

z

B

y₁ y φ P

M

I

O P(x_{P ,}y_P , O)

x₁

φ

x A

Fig. 12.12 Fig. 12.13

punctul A se duce o semidreapta in sensul indicat de acceleratia unghiulara ε care sa formeze un unghi φ cu directia acceleratiei , astfel incat . Pe aceasta semidreapta se gaseste polul accelertiilor P , la distanta .

Cunoscind pozitia polului acceleratiilor P se poate determina acceleratia oricarui punct. De exemplu , pentru punctul B , acceleratia are o directie care formeaza un unghi φ cu directia cu directia si marimea egala cu

Observatie

Identitatea dintre distributiile vitezelor si acceleratiilor in miscare plan-paralele si de rotatie cu ax fix este formala . Solidul efectueaza o miscare plan-paralela , nu o miscare de rotatie .

Centrul instantaneu de rotatie I si polul acceleratiilor P sunt puncte diferite . In general, centrul instantaneu de rotatie avand viteza are acceleratia , iar polul acceleratiilor P care are acceleratia nula , are viteza .

12.9 MISCAREA SOLIDULUI RIGID CU UN PUNCT FIX

In studiul miscarii solidului cu un punct fix se considera ca cele doua sisteme de referinta au aceeasi origine , deci . In acest caz spre deosebire de miscarea de rotatie cu ax fix , vectorii si au drepte-suport diferite , variabile in timp (fig. 12.14) .

In miscarea studiata , punctele solidului se deplaseaza pe sfere avand ca raza distanta de la puncte la punctul fix O₁ . Din acest motiv , in unele lucrari , miscarea solidului cu punct fix este denumita miscarea sferica a solidului .

Prin particularizarea formulelor lui Euler referitoare la distributia vitezelor si acceleratiilor in miscarea generala a rigidului , pentru un solid cu un punct fix se obtin urmatoarele distributii :

Punctele de viteza nula la un moment dat sunt punctele situate pe dreapta suport a vectorului , variabila ca pozitie ( conditia x = 0 admite ca solutie generala =λ) . Aceasta conduce la concluzia ca , in orice moment exista o dreapta Δ ale carei puncte au viteza nula , iar distributia de viteze in solid se face ca si cum acesta s-ar roti in jurul axei Δ, numita axa instantanee de rotatie . Locul geometric al axei instantanee de rotatie in raport cu sistemul de referinta mobil este un con cuvarful in O₁ , numit con polodic , iar locul geometric al axei instantanee de rotatie in raport cu sistemul de referinta fix ( este un con cu varful in O_1, numit con herpolodic . Aceste doua conuri sunt cunoscute si sub numele de conurile lui Poinsot . In timpul miscarii rigidului , conul polodic se rostogoleste fara sa alunece pe conul herpolodic , generatoarea comuna fiind axa instantanee de rotatie din momentul respectiv .

In ceea ce priveste distributia acceleratiilor , se poate demonstra ca , in miscarea solidului cu un punct fix exista un singur punct de acceleratie nula , punctul fix O₁ .

Z_{1 Δ}

y

z

O₁=O y₁

X₁

X

Figura 12.14

Observatie :

In formarea inginerului constructor , problema miscariii solidului cu punct fix prezinta un grad de interesmai scazut . De aceea , aspectele prezentate au caracterul unor observatii generale , calitative . Acelora care , pentru cultura lor tehnica generala , doresc sa cunoasca problema cinematicii si dinamicii solidului cu un punct fix , se recomanda sa se faca apel la bibliografie (problema dinamicii solidului cu punct fix nu este studiata in cadrul acestui curs).

12.10.MISCAREA GENERALA A SOLIDULUI RIGID

Dupa studierea miscarii simple sau particulare , se revine la problema miscarii generale a solidului rigid .

Formulele lui Euler pentrzu distributi vitezelor si a acceleratiilor intr+un solid in miscare generala sunt

; (12.50)

(12.51)

pozitiile relative ale vectorilor , , si fiind oarecare si variabile in timp .

Aceste relatii pun in evidenta o serie de proprietati ale distributiei vitezelor si acceleratiilor in cazul miscarii generale a solidului rigid , proprietati care se analizeaza in continuare .

Proiectiile vitezelor a doua puncte din solid , pe dreapta care uneste cele doua puncte , sunt egale ( fig. 12.15).

Pentru a demonstra aceasta proprietate , se considera punctele A si B ale corpului , vitezele lor fiind si . Intre vectorii - viteza , conform formulei lui Euler (12.50) , exista relatia

(12.52)

Relatia (12.52) se inmulteste scalar cu , versorul directiei si rezulta

Deoarece produsul mixt ( este coliniar cu ) , se obtine

(12.53)

Cum produsul scalar dintre un vector si un versor al unei axe reprezinta proiectia vectorului pe acea axa , relatia (12.53) exprima proprietatea enuntata .

B

Fig. 12.15

Proiectiile vitezelor punctelor unui solid pe directia vectorului sunt constante (fig. 12.16). ca si in cazul precedent , relatia (12.52) se inmulteste scalar cu versorul al directiei vectorului-viteza unghiulara

(12.54)

deoarece , doi vectori ai produsului mixt fiind coliniari . Relatia obtinuta exprima egalitatea proiectiilor vitezelor pe directia vectorului , adica proprietatea care trebuia demonstrata .

B

A

Fig. 12.16

Aceasta proprietate pune in evidenta faptul ca in miscarea generala nu exista puncte de viteza nula , deoarece proiectia vitezelor diferitelor puncte pe directia vectorului este aceeasi . Daca vectorii si sunt perendiculari intr+un punct , proprietatea se mentine pentru toate punctele , iar miscvarea solidului devine o miscare perpendiculara (miscarea plan-paralela) .

De asemenea se observa ca distributi vitezelor in miscarea generala a solidului rigid comporta doi invarianti , si anume

vectorul , invariant vectorial

proiectia vitezei pe directia vectorului

(12.55)

In miscarea generala a solidului , distributia vitezelor este identica cu acee a unei miscari elicoidale . Pentru a demonstra aceasta proprietate este suficient sa se arate ca exista puncte ale caror viteze , sun coliniare cu vectorul ( proprietate care caracterizeaza punctele unui solid in miscarea elicoidala , puncte situate pe axa miscariielicoidale ) . In aceste puncte este satisfacuta conditia , unde si

Conditia de coliniaritate a vectorilor si se poate exprima prin proportionalitatea proiectiilor celor doi vectori

(12.56)

Relatia 12.56 reprezinta , prin cele doua ecuatii liniare in x , y , z , ecuatia unei drepte care satisface conditia ca punctele ei sa aiba viteze minime , coliniare cu vectorul . Spre deosebire de miscarea elicoidala , dreapta (12.56) este variabila in timp , atat fata de triedrul mobil , cat si fata de triedrul fix ( v_0x, v_0y , v_0z , ω_x , ω_y , ω_z sunt functii de timpul t ) . Aceasta axa poarta numele de axa instantanee a miscarii elicoidale .

Se precizeaza ca miscarea generala nu este o miscare elicoidala , dar ca distributia vitezelor se face ca si cum solidul ar avea o miscare elicoidala in jurul acestei axe .

Locul geometric al axelor instantnee ale miscarii elicoidale in raport cu sistemul de referinta mobil este o suprafata riglata denumita axoida mobila , iar locul geometric al acestor drepte in raport cu sistemul de referinta fix este o suprafata riglata denumita axoida fixa . Cele doua axoide fixe sunt tangente , axoida mobila rostogolindu-se fata de axoida fixa in lungul generatoarei comune si alunecand in acelasi timp pe aceasta .

Distributia acceleratiilor este data de relatia (12.51) . sepoate demonstra ca distributia acceleratiilor in miscarea cea mai generala a unui solid este identica ce aceea a unui rigid cu un punct fix , ca si cand rigidul ar avea ca punct fix polul acceleratiilor .

MISCAREA RELATIVA

MISCAREA RELATIVA A PUNCTULUI MATERIAL

In capitolele precedente a fost studiata miscarea unui punct material si a unui solid rigid in raport cu un sistem de referinta presupus fix . Se stie ca in natura nu exista sisteme de referinta fixe dar , pentru majoritatea problemelor , sistemele de referinta legate de pamant pot fi considerate fixe . Exista insa unele probleme care nu au solutii satisfacatoare admitand aceasta ipoteza .

In acest capitol se va studia miscarea unui punct material in raport cu un sistem de referinta xOyz in miscare fata de un sistem de referinta admis x₁O₁y₁z₁ (fig.1 ).

			z

z1

z

M

y

			y

- vectorul de pozitie al sistemului de referinta mobil fata de sistemul de referinta fix .

- viteza unghiulara a sistemului de referinta mobil in raport cu sistemul de referinta fix

Presupunand cunoscuti parametrii cinematici ce caracterizeaza miscarea punctului in raport cu reperul mobil si parametrii cinematici ce caracterizeaza miscarea sistemului de referinta mobil fata de cel fix , necunoscutele problemei sunt parametrii cinematici care definesc miscarea punctului fata de sistemul de referinta fix.

In miscarea relativa a punctului material intervin notiunile ce sunt prezentate in continuare .

Miscarea absoluta este miscarea punctului in raport cu sistemul de referinta fix x₁O₁y₁z_1. Pozitia punctului M in raport cu acest reper este definita prin vectorul de pozitie :

(1)

unde , , sunt versorii axelor sistemului de referinta fix , constanti in timp , iar x_1, y_{1 ,} z_{1 ,} coordonatele punctului M in acest sistem sunt functii de timp continue si derivabile .

Miscarea relativa este miscarea punctului in raport cu sistemul de referinta mobil xOyz, considerat fix la un moment dat _. Pozitia punctului M in raport cu acest reper este definita cu ajutorul vectorului de pozitie :

(2)

unde x , y , z, sunt coordonatele punctului in raport cu sistemul de axe mobil , functii continue si derivabile , iar versorii axelor , , sunt variabile ca directie .

de observat ca pentru identificarea miscarii relative , conform definitiei data , sistemul xOyz este considerat fix la un moment dat .

Miscarea de transport este miscarea raportata fata de sistemul fix a punctului M si a sistemului de referinta mobil , punctul fiind considerat solidar legat de acest reper mobil . Aceasta miscare , ca si miscarea unui rigid , este definita prin vectorul de pozitie al originii sistemului mobil :

(3)

si prin legea de variatie in timp adirectiei versorilor , , ai axelor sistemului mobil :

; ;

DERIVATA ABSOLUTA SI RELATIVA (LOCALA) A UNUI VECTOR

In rezolvarea problemei propusa este necesara determinarea variatiei in timp a unui vector exprimat prin prpiectiile sale fata de un sistem de referinta mobil . Se presupune un sistem de referinta fix x₁O₁y₁z₁ , un sistem de referinta mobil xOyz si un vector definit in triedrul mobil

(5)

Prin derivare in raport cu timpul se obtine :

(6)

Termenii relatiei (6) se definesc si se noteaza astfel :

- se numeste deabsoluta a vectorului

- se numeste derivata locala si reprezinta derivata vectorului , considerand versorii , , constanti ( sistemul de referinta mobil este considerat fix la un moment dat ) .

Ultimii termeni ai relatie (6) cu ajutorul formulelor lui Poisson (relatia 4 ) devin :

(7)

Relatia (6) devine :

(8)

Aceasta relatie exprima derivata absoluta a unui vector definit prin proiectiile sale pe axele unui sistem de referinta mobil .

COMPUNEREA VITEZELOR IN MISCAREA RELATIVA

Dupa cum s-a precizat inca de la inceputul acestui capitol , problema care se studiaza este urmatoarea : sa se determine caracteristicile miscarii unui punct M in raport cu un sistem de rferinta fix , atunci cand se cunosc carateristicile miscarii punctului in raport cu un sistem de referinta mobil si cele ale miscarii sistemului mobil in raport cu sistemul fix .

Din figura 1 rezulta urmatoarea relatie intre vectorii de pozitie :

(9)

Derivand relatia (9) in raport cu timpul si tinand seama ca vectorul este definit in raport cu sistemul de referinta mobil , deci i se aplica regula de derivare (8), se obtine:

(10)

Daca in rel. (10) se pun in evidenta elementele caracteristice miscarii absolute, miscarii relative si ale miscarii de transport se constata urmatoarele :

este viteza asoluta a punctului M in raport cu sistemul de referinta fix;

este viteza relativa a punctului M in raport cu sitemul de referinta mobil ca si cand acesta ar fi fix;

este viteza de transport a punctului M solidar legat de sistemul de referinta mobil, in miscare fata de sistemul de referinta fix.

Cu aceste notatii, relatia (10) devine :

(11)

Relatia (11) exprima legea de compunere a vitezelor in miscarea relativa : viteza absoluta a unui punct este egala cu suma vectoriala dintre viteza relativa si viteza de transport a punctului.

COMPUNEREA ACCELERATIILOR IN MISCAREA RELATIVA

Daca relatia (10) se deriveaza in raport cu timpul si se tine seama de precizarile precedente cu privire la derivarea vectorilor exprimati prin proiectiile lor pe axele unui triedru mobil, se obtine :

(12)

Daca in relatia (12) se pun in evidenta elementele caracteristice miscarii absolute, miscarii relative si miscarii de transport se constata ca :

este acceleratia absoluta a punctului M in raport cu sistemul de referinta fix ;

este acceleratia relativa a punctului M in raport cu sistemul de referinta mobil, ca si cand acesta ar fi fix ;

se numeste acceleratia Coriolis sau acceleratia complementara si nu apartine niciuneia din miscarile definite.

Aceasta acceleratie exprima influenta simultana a rotatiei axelor sistemului mobil si a miscarii relative a punctului asupra acceleratiei absolute. Se observa ca acceleratia lui Coriolis este nula daca miscarea de transport este o translatie sau daca vectorii si sunt paraleli.

Cu aceste notatii relatia (12) devine :

(13)

Relatia (13) exprima legea de compunere a acceleratiilor in miscarea relativa : acceleratia absoluta a unui punct este egala cu suma vectoriala dintre acceleratia relativa, acceleratia de transport si acceleratia lui Coriolis.