Reducerea unui sistem de forte aplicate rigidului. torsorul de reducere. variatia torsorului cu punctul de reducere. invarianti.

REDUCEREA UNUI SISTEM DE FORTE APLICATE RIGIDULUI. TORSORUL DE REDUCERE. VARIATIA TORSORULUI CU PUNCTUL DE REDUCERE. INVARIANTI

Se considera un rigid actionat in punctele A₁, A₂,, A_n, de fortele , ,.., , (fig.2.12.a). Un punct oarecare A_i, raportat la polul O este definit de vectorul de pozitie . A calcula efectul mecanic produs in O de actiunea simultana a fortelor din sistemul dat inseamna a reduce pe rand toate fortele sistemului, obtinand in O, doua sisteme de vectori concurenti:

-sistemul de forte , ,.., , a carui rezultanta este:

(2.24)

-sistemul de cupluri , ,.., , al carui moment rezultant este:

(2.25)

Fig. 2.12

Forta rezultanta si momentul rezultant formeaza un sistem echivalent cu sistemul de forte dat, numit torsorul de reducere in punctul O.

(2.26)

Reducand sistemul de forte intr-un alt punct O, se obtine:

(2.27)

Expresia momentului , tinand seama de relatia (2.4), devine:

(2.28)

Torsorul in punctul O al sistemului de forte este:

(2.29)

Comparand relatiile (2.26) si (2.27) se deduce ca in raport cu puncte diferite de reducere, rezultanta este aceasi, in timp ce momentul rezultant variaza, legea de variatie a acestuia fiind data de relatia (2.28).

Rezultanta este primul invariant al operatiei de reducere

Efectuand produsul scalar , numit trinom invariant si avand in vedere ca produsul mixt , fiind produs mixt cu vectori coplanari, obtinem:

(2.30)

Trinomul invariant este al doilea invariant al operatiei de reducere.

Forma analitica a trinomului invariant este:

(2.31)

Proiectia momentului rezultant pe directia rezultantei este:

(2.32)

Vectorul , coliniar cu rezultanta se va scrie:

(2.33)

Proiectia momentului rezultant pe directia rezultantei fiind raportul a doua marimi invariante si este in consecinta, tot o marime invarianta a operatiei de reducere (fig.2.12.b). Adica:

(2.34)

Trinomul invariant si proiectia momentului rezultant pe directia rezultantei nu sunt doua marimi invariante independente. La reducerea intr-un punct a unui sistem de forte exista doi invarianti, si .