Introducere in sintaxa si semantica logicii propozitiilor

Introducere in sintaxa si semantica logicii propozitiilor

In logica clasica se considera acele propozitii(enunturi, expresii)care apar si in vorbirea curenta si care pot transmite o valoare de adevar. Astfel, in logica, nu vom considera ca propozitii acele enunturi de tip exclamativ sau interogativ cum ar fi

Au ma doare! sau Cum ai reusit?

De asemenea definitiile nu sunt considerate propozitii. Astfel enuntul:

Un numar intreg divizibil cu 2 se numeste numar par.

nu este o propozitie, dar:

Orice numar par este divizibil cu 2.

este o propozitie si anume este o propozitie adevarata. Alte exemple de propozitii pe care le putem considera in logica sunt:

Pisica este un animal.

Bucuresti este capitala Italiei.

,

In orice triunghi bisectoarea imparte latura opusa in parti egale.

Intuitiv putem spune ca prima si a treia dintre enunturile de mai sus sunt propozitii adevarate, iar celelelalte sunt propozitii false.

Valoarea de adevar a unei propozitii poate fi: este adevarata, este falsa, este posibil adevarata, este probabil falsa, etc. si, evident, atribuirea valorii de adevar propozitiilor se face intr-un mod subiectiv. Noi vom considera numai logica binara, adica vom considera ca singurele valori de adevar ale unei propozitii sunt: este adevarata respectiv este falsa. Subiectivismul atribuirii valorii de adevar nu poate fi evitat, insa, decat intr-un mod formal, asa cum vom proceda in sectiunile urmatoare. Pe scurt se pleaca cu o multime de propozitii "elementare" a caror valoare de adevar este data si se formeaza apoi alte propozitii "compuse". Modul de formare al propozitiilor alcatuieste ceea ce numim sintaxa. Valoarea de adevar a propozitiilor "compuse" se stabileste, in functie de valoarea de adevar a propozitiilor "elementare" date, dupa niste reguli bine precizate. Semnificatia propozitiilor este data de valoarea lor de adevar iar regulile de atrbuire a valorii de adevar propozitiilor alcatuieste ceea ce numim semantica.Tot procesul are un caracter formal, ceea ce inseamna ca se face abstractie de continutul propozitiilor iar la baza sa vom pune cele doua principii clasice ale lui Aristotel si anume:

legea tertului exclus: orice propozitie este sau adevarata, sau falsa;

legea contradictiei: o propozitie nu poate fi simultan si adevarata si falsa.

Vom forma propozitii compuse cu ajutorul a cinci conectori logici si anume: negatia, conjunctia, disjunctia, implicatia si echivalenta.

1) Negatia. Daca este o propozitie atunci negatia sa este de asemenea o propozitie. Formal vom nota negatia propozitiei cu si o vom citi Nu sau eventual, "Non ". In limbaj cotidian propozitia se poate citi:

Nu este adevarat ca .

sau, pe scurt prin adaugarea conjunctiei gramaticale "nu" , intr-un mod adecvat, printre cuvintele propozitiei . De exemplu dacǎ este propozitia:

este numar rational. ,

atunci este propozitia :

Nu este adevarat ca este numar rational.

sau, pe scurt:

nu este numar rational.

Din punct de vedere semantic, propozitia este adevarata daca si numai daca propozitia este falsa. In exemplul de mai sus este clar ca propozitia este falsa si deci, automat, propozitia este adevarata.

2) Conjunctia. Dacǎ si sunt doua propozitii atunci conjunctia lor este de asemenea o propozitie care, formal, se noteza cu si se citeste folosind conjunctia gramaticala si adica: " si ". Semnificatia semantica a propozitiei este cea uzuala, adica, este o propozitie adevarata daca si numai daca ambele propozitii si sunt adevarate.Astfel dacǎ este propozitia:

3 este numar prim.

si este propozitia:

9 este numar par.

atunci este propozitia:

3 este numǎr prim si 9 este numar par.

Este clar ca, in exemplul de mai sus, propozitia este adevarata in timp ce propozitia este falsa, astfel incat, propozitia este falsa.

3) Disjunctia. Dacǎ si sunt doua propozitii atunci disjunctia lor este de asemenea o propozitie care, formal, se noteazǎ cu si se citeste folosind conjunctia gramaticala sauadica: " sau ". In logica matematica semnificatia semantica a propozitiei este urmatoarea: este o propozitie falsa daca si numai daca ambele propozitii , sunt false, sau, echivalent, este o propozitie adevarata daca si numai daca cel putin una dintre propozitiile , este adevarata. In particular, propozitia este adevarata si cand ambele propozitii , sunt adevarate. Prin aceasta disjunctia, in logica matematica, are un caracrer inclusiv spre deosebire de limbajul cotidian unde, adesea, disjunctia are un caracter excusiv. Sa consideram urmatorul exemplu: este propozitia:

Stau acasa.

iar este propozitia:

Ma duc la cinematograf.

Propozitia este

Stau acasa sau ma duc la restaurant.

Daca ambele propozitii si ar fi adevarate, in logica matematica propozitia este adevarata in timp ce, in limbajul cotidian, putem intelege ca ea este falsa deoarece nu se poate sa stau acasa si in acelasi timp sa ma duc la restaurant. La momentul oportun vom intoduce un alt conector logic care sa corespunda unei disjunctii " excusive", care are o anumita importanta in logica matematica dar noi o vom folosi intr-un mod limitat. (Disjunctia exclusiva a propozitiilor si este adevarata daca si numai daca una si numai una dintre propozitiile, este adevarata ceea ce inseamna ca ea este falsa daca si sunt ambele adevarate.)

4) Implicatia. Dacǎ si sunt doua propozitii atunci implicatia lor, care se noteza formal cu si se citeste " implica ", " daca atunci " sau " din rezulta" este, de asemenea, o propozitie. In logica matematica, semnificatia semantica a propozitiei este urmatoarea: propozitia este falsa daca si numai daca este adevarata si este falsa. In particular, dacǎ este o propozitie falsa atunci propozitia este adevarata indiferent dacǎ propozitia este adevarata sau falsa; de asemenea daca este o propozitie adevarata atunci propozitia este adevarata indiferent daca propozitia este adevarata sau falsa. In limbajul cotidian insa, se poate intelege ca daca propozitia este falsa atunci propozitia este de asemenea falsa ( eventual nu are sens). Ca exemplu fie propozita :

Cainele doarme.

si propozitia

Zapada este alba.

Deoarece propozitiaeste adevarata rezulta ca si propozitia este adevarata. In limbajul cotidian faptul ca "Cainele doarme" nu are cum sa impice faptul ca "Zapada este alba", insa acest mod de a intelege implicatia nu poate fi definit in cadrul ce va fi considerat de noi. Semnificatia implicatiei apare insa cand examinam regula modus ponens: daca propozitiile sunt adevarate atunci si propozitia este adevarata.

5) Echivalenta. Daca si sunt doua propozitii atunci echivalenta lor, care se noteaza formal cu si se citeste " echivalent " sau " daca si numai daca " este, de asemenea o propozitie. In logica matematica semnificatia semantica a propozitiei este urmǎtoarea: propozitia este adevarata daca si numai dacǎ ambele propozitii , sunt adevarate sau ambele sunt false. Ca exemplu fie propozitia

16 este numar par .

si propozitia

5 este numar prim.

Este clar ca propozitiile si sunt ambele adevarate si deci propozitia este de asemenea adevarata.

Exercitii

Consideram, in limbajul cotidian, urmatoarele propozitii:

12 este numar par., 9 se divide cu 3., 13 se divide cu 5..

Notam prima dintre aceste propozitii cu A, a doua cu B, a treia cu C si consideram urmatoarele propozitii:

Reformulati propozitiile de mai sus in limbajul cotidian si interpretatile intr-o semantica care sa corespunda intuitiei noastre, conform indicatiilor din Sectiunea 1.

2. In limbajul cotidian, consideram propozitiile:

Ion este tata., Ion are un copil., Maria este tata., Maria are un copil.

Notam cele patru propozitii de mai sus cu A,B,C,D. Cerem acelasi lucru ca la Exercitiul1, pentru urmatoarele propozitii :

, ,

Rezolvari

1. Este dificil sa citim propozitia in limbaj cotidian fara a o confunda cu propozitia desi, evident, cele doua propozitii difera; putem incerca, pentru , varianta

12 este numar par sau 9 se divide cu 3 dar,in acelasi timp,13 nu se divide cu 5;

pentru merge

12 este numar par sau, pe de alta parte,9 se divide cu 3 si13 nu se divide cu 5.

Insa propozitia se poate citi in limbaj cotidian,in mod evident, astfel:

Daca 12 este numar par atunci 9 nu se divide cu 3 si 13 se divide cu 5.

Putem considera ca A si B sunt propozitii adevarate iar C easte o propozitie falsa. Atunci este adevarata, este adevarata, este de asemenea adevarata iar este falsa.

2. Intuitia noastra nu ne spune nimic despre valoarea de adevar a propozitiilor A,B,C,D daca nu cunoastem persoanele respective. Sa consideram totusi ca propozitiile A,B,D sunt adevarate iar propozitia C este falsa. Atunci este adevarata, este falsa, este adevarata, este adevarata, este falsa, este falsa.