Silogismul si structura lui; Legile silogismului

Silogismul si structura lui; Legile silogismului

CARACTERIZARE GENERALA

Deseori numit "silogism categoric', silogismul este tipul fundamental de inferenfa deductiva mediata alcatuita din numai trei propozitii categorice, din care doua sunt premise, iar a treia este concluzie. Denumirea de ,.inferenta mediata' corespunde faptului ca pentru justificarea concluziei se apeleaza la mai mult de o premisa, iar aceea de "silogism" i-a fost data de catre cel mai mare ganditor al antichitatii, Aristotel (384-322 i.e.n.); care a descoperit si a analizat pe larg acest tip de rationament si care, ca autor al primului tratat de logica, intitulat Organon, este considerat fondatorul stiintei logicii.

Datorita rolului sau deosebit in argumentare, silogismul i-a preocupat constant si pe logicienii romani contemporani - dintre care F. Tutugan (1908-1960), P. Botezatu (1911-1981) si I. Didilescu (1906-1987) au adus contributii importante la dezvoltarea sistematizarea silogisticii clasice si la fundarea silogisticii moderne.

STRUCTURA SILOGISMULUI

In rationamentul

Toate elementele transuranice sunt radioactive

Plutoniul este element transuranic

Plutoniul este radioactiv

Avem un exemplu de silogism, redat intr-o forma de exprimare standard. Propozitiile de

deasupra liniei reprezinta premisele, iar propozitia asezata sub linie este concluzia.

In alcatuirea silogismului apar trei si numai trei notiuni, numite "termenii silogismului'. Pentru a descoperi functiile acestor notiuni, vom porni de la concluzie. Concluzia este o propozitie universala afirmativa careia ii corespunde formula SaP. in care S=plutoniu, iar P=element radioactiv. Subiectul concluziei, numit 'termen minor', reapare la nivelul premiselor; in exemplul de aici el apare tot ca subiect logic al celei de-a doua premise, motiv, pentru care aceasta se numeste 'Premisa minora'. La randul sau, predicatul concluziei, numit 'termen major', reapare in cealalta premisa (in exemplul nostru tot ca predicat logic), motiv. pentru care aceasta premisa se numeste 'Premisa majora'.

Din analiza premiselor, care in exemplul nostru sunt tot propozitii universal affirmative, reiese ca in arara termenilor minor si major, care impreuna sunt numiti 'termeni extrcmi', in silogism apare si o a treia notiune, comuna ambelor premise si numita 'termen mediu', deoarece are functia de a pune in evidenta (de a mijloci) raportul dintre termenii extremi, raport pe care concluzia silogismului il reda explicit. Din acest motiv., termenul mediu. redat simbolic prin litera 'M', apare exclusiv la nivelul premiselor. In exemplul nostru, M=element transuranic apare ca subiect logic al premisei majore si ca predicat al minorei, in aceste conditii, schema de inferenta din dreapta reda structura logica a silogismului analizat, iar reprezentarea grafica alaturata ei, construita dupa metoda Euler, reda explicit raportul dintre termenii acestui silogism. Din diagrama se poate observa ca la nivelul silogismului regasim un raport special intre notiuni, raportul gen-specie.

FIGURI SI MODURI SILOGISTICE

Schema de inferenta de mai sus nu corespunde oricarui exemplu de silogism. De fapt, silogismele cunosc o mare varietate si ele pot fi clasificate dupa doua criterii distincte, dar care se completeaza reciproc.

Primul dintre aceste criterii, pozitia celor trei termeni ai silogismului in premise, ne permite sa deosebim patru scheme de inferenta fundamentale, numite figuri silogistice; dupa cum reiese si din schemele alaturate in care prima formula corespunde premisei majore, cea de-a doua premisei minore, iar cea de-a treia (cu aceeasi constructie in toate cele patru figuri silogistice) corespunde concluziei.

Dintre aceste patru figuri silogistice, prima a fost numita figura perfecta, pentru urmatoarele motive:

- este figura silogistica in care pot fi demonstrate, sub forma de concluzie, oricare dintre cele patru tipuri de propozitii categorice;

- numai in aceasta figura silogistica, termenul mediu este gen pentru termenul minor si specie pentru termenul major, ceea ce face ca numai in aceasta figura cei trei termeni sa corespunda explicit rolului lor in silogism.

Cel de-al doilea criteriu, calitatea si cantitatea propozitiilor categorice cu rol de premise si de concluzie intr-un silogism oarecare, ne permite sa diferentiem cate 64 de variante de silogism numite moduri silogistice in fiecare figura silogistica luata separat.

De pilda, schema de inferenta la care s-a redus exemplul de silogism analizat, reprezinta un mod silogistic din figura intai, care ar putea fi redat si printr-o succesiune de simboluri de forma aaa - 1, unde cele trei litere 'a' arata ca in acest mod silogistic premisa majora, premisa minora si concluzia sunt, toate, propozitii universal affirmative, iar cifra 1 arata ca acest mod silogistic face parte din prima figura silogistica; in acelasi fel, formula eio - 2 corespunde unui mod silogistic din cea de-a doua figura, a carei schema de inferenta este redata in dreapta, iar formula aii - 3 corespunde unui mod silogistic de figura a treia, redat explicit de schema de inferenta ce urmeaza.

Numarul modurilor silogistice este mult mai mare decat cel al figurilor silogistice. Din moment ce in fiecare figura silogistica exista 64 de moduri silogistice, inscamna ca in cele 4 figuri silogistice, luate impreuna exista, in total. 256 de moduri silogisticc. dar dintre acestea doar 24 sunt logic-corecte (valide) - cate 6 in ficeare figura silogistica.

LEGILE GENERALE ALE SILOGISMULUI

Pentru a putea selecta de la inceput cele 24 de moduri silogistice valide se impune a demonstra mai intai legile generale ale silogismului, adica acele legi logice care exprima cerintele principiilor logice pentru acest tip de inferenta deductiva.

Primele trei legi generale ale silogismului se refera la termeni.

(1) Intr-un silogism valid exista trei si numal trei termeni Aceasta lege este deosebit de importanta in cazul exemplelor de silogism si nu al schemelor redate simbolic, unde existenta a numai trei termeni este asigurata direct de respectarea definitiei silogismului. Cu prilejul analizei notiunilor s-a aratat ca unul si acelasi cuvant (grup de cuvinte) poate materializa mai mult de o singura notiune, cum se intiimpla si cu adjectivul,.alb', in exemplul alaturat de silogism nevalid: in premisa majora, cuvantul 'alb' materializeaza un element al limbajului (,,o parte de vorbire'),

iar in premisa minora reda o insusire care, printre alte obiecte, este caracteristica si zapezii.In acest fel, cuvintul 'alba' reda in minora o alta notiune decat cea pe care a redat-o initial in majora si drept rezultat, in structura acestui exemplu de silogism apar patru termeni in loc de trei. Nerespectarea legii (I) inseamna o incalcare a principiului identitatii si astfel se explica de ce intr-un astfel de caz inferenta este nevalida.

Alba este adjectiv

Zapada este alba

Zapada este adjectiv

(2) In cel putin una din premise, termenul mediu apare ca termen distribuit, altfel spus, cel putin una din premise trebuie sa dezvaluie intreaga extensiune a lui M. Demonstratie: Fie modul ai? - 2 in care nu apare simbolul concluziei si caruia ii corespunde schema de inferenta din stanga, . din care reiese ca M apare ca nedistribuit in ambele premise, ca predicat de afirmativa. Alaturat schemei de inferenta, avem reprezentarea grafica a premiselor, dupa metoda Euler. Reprezentand mai intai premisa minora, rezulta un raport de incrucisare intre S si M. Reprezentand apoi majora, rezutla un raport de ordonare intre P si M. Este insa evident ca P ,ca notiune subordonata, poate ocupa in interiorul sferei lui M (notiunea supraordonata) oricare din pozitiile (a), (b) sau (c). Presupunem ca ambele premise sunt adevarate. Referitor la raportul dintre S si P pe care trebuie sa il redea explicit concluzia. din reprezentarea grafica este clar ca avem mai multe variante, din care si retinem doar doua: (i) SeP din pozitia (a) si (ii) SiP din pozilia (b). Acum, daca inferenta este valida, din premise adevarate rezulta doar concluzii adevarate; intre SeP si SiP exista (insa un raport de contradictie si, deci, cel putin una dintre ele este falsa. Prin urmare, atunci cand termenul mediu apare ca nedistribuit in ambele premise, inferenta este nevalida, deoarece exista cel putin o situatie in care din premise adevarate ar rezulta o concluzie falsa

(3) Oricare din termenii extremi apare ca termen distribuit in concluzie numal daca el a apirut ca termen distribuit si in premisa. Evident, legea (3) reia, in conditiile. silogismului, legea distribuirii termenilor din cazul conversiunii. Demonstratie: Cazul extensiunii nepermise a termenului major. Fie modul aee - 1, caruia ii corespunde schema de inferenta din stinga, din care se observa ca P apare ca distribuit in concluzie (ca predicat de negativa), desi in premisa majorii a aparut ca nedistribuit (ca predicat de afirmativa). Alaturat schemei de inferenta, avem reprezentate dupa metoda Euler doar premisele modului dat, incepind cu majora. Din reprezentarea minorei (raport de opozitie intre S si M), este evident ca pentru S este posibila oricare din pozitiile (a), (b) sau (c). Din (a) rezulta SeP, concluzie despre care modul dat pretinde ca ar deriva din premisele MaP si SeM: in acelasi timp insa, din (b) rezulta si SIP, ceea ce inseamna ca, in acest caz, daca ambele premise sunt adevarate, avem cel putin o situatie in care din ele ar rezulta o concluzie falsa si deci inferenta dati este nevalida. Pentru cazul extinderii nepermise a termenului minor, demonstratia este analoaga.

Urmatoarele trei legi generale ale silogismului se refera la calitatea premise/or:

(4) Din doua premise afirmative rezulta cu necesitate o concluzie afirmativa. Demonstratie: Ambele premise fiind afirmative.la nivelul lor termenii extremi se afla in raport de concordanta, punctul de coincidenta dintre ei fiind termenul mediu.In aceste conditii, daca concluzia ar fi negativa, ea ar exprima un raport de opozitie intre termenii extremi. Conform principiului noncontradictiei este insa imposibil ca S si P sa fie in acelasi timp si notiuni concordante si notiuni opuse: din moment ce premisele instituie un raport de concordanta intre S si P, concluzia trebuie sa exprime acest raport si, ca atare, nu poate fi decat afirmativa.

(5) Cel putin una din premise este afirmativa, altfel spus, deci ambele premise sunt negative, silogismul este nevalid. Demonstratie: sa presupunem ca ambele premise ar fi negative. In aceste conditii, majora ar reda un raport de opozitie intre P si M, ceea ce inseamna ca P si M nu au nici un element comun. Minora fiind si ea tot negativa, inseamna ca S si M, la fel, nu au nici un element comun.Intrucat in acest fel M este separat atat de S, cat si de P, el nu poate spune nimic despre tipul de raport dintre S si P, ceea ce inseamna ca premisele nu ofera o ratiune suficienta pentru concluzie si deci silogismul este nevalid.

(6) Dintr-o premisa afirmativa si alta negativa rezulta cu necesltate o concluzie negativa. Demonstratie: Premisa afirmativa exprima un raport de concordanta intre M si termenul extrem pe care il contine. Cealalta premisa fiind negativa reda un raport de opozitie intre M si celalalt termen extrem.1n acest fel, premisele instituie un raport de opozitie intre S si P, in sensul ca acela din ei care intra in alcatuirea premisei negative este separat in totalitatea sferei sale de cel putin orice element din portiunea prin care celuilalt extrem coincide cu termenul mediu. Pentru a respecta principiul ratiunii suficiente si pentru a nu incalca principiul noncontradictiei. concluzia trebuie sa exprime explicit acest raport de opozitie dintre S si P si, ca atare, ea este cu necesitate negativa.

Ultimele doua legi generale ale silogismului se refera la cantitatea premise/or:

(7) Cel putin una din premise este universala, altfel spus, un silogism in care ambele premise ar fi

particulare este nevalid. Demonstratie: Presupunem ca ambele premise sunt particulare. Luand in consideratie si calitatea premiselor, rezulta trei cazuri: (i) Ambe/e premise sunt particular affirmative, in acest caz, la nivelul premiselor nici unul din cei trei termeni nu apare ca termen distribuit; de aici,M este nedistribuit si silogismul este nevalid prin incalcarea legii (2). (ii) Una din premise este particu/or afirmativa, iar ceala/ai este particular negativa. In acest caz, conform legii (6) concluzia va fi negativa, iar la nivelul premiselor unul singur din cei trei termeni apare ca distribuit (cel cu functia de predicat in premisa negativa). Pentru a satisface cerintele legii (2), acest unic termen distribuit este chiar M. Dar, dupa cum s-a stabilit, concluzia este negativa si, drept urmare, P apare in concluzie ca termen distribuit si deci silogismul este nevalid prin incalcarea legii (3). (iii) Ambe/e premise sunt particular negative. Silogismul este nevalid prin incalcarea legii (5).

(8) Dintr-o premisa universala si alta particulara rezulta cu necesitate o concluzie particulara. Demlonstratie: Cantitatea premiselor este specificata; luand in consideratie si calitatea lor, rezulta trei cazuri: (i) Ambe/e premise sunt afirmative. In acest caz, la nivelul premiselor, unul singur din cei trei termeni apare ca termen distribuit (cel cu functia de subiect in premisa universala). Pentru a respecta legea (2) acest unic termen distribuit nu poate fi decat M, ceea ce inseamna ca la nivelul premiselor ambii extremi apar ca termeni nedistribuiti. Pentru a respecta si legea (3), S si P apar tot ca nedistribuiti si, in concluzie, care, deci, nu poate fi decat particular afirmativa. (ii) Una din premise este afirmativa, iar cealalta este negativa. De aceasta data, in premise, din totalul de trei termeni, numai doi apar ca distribuiti: subiectul universalei si predicatul negativei. Pentru respectarea legii (2), unul din acestia este obligatoriu M, iar pentru respectarea legii (3), cel de-al doilea nu poate fi decat P, deoarece prin legea (6) concluzia este negativa si il contine pe P ca termen distribuit. Rezulta ca singurul termen care apare ca nedistribuit la nivelul premiselor este S, adica cel care este subiect in concluzie; prin urmare, pentru a respecta legea (3), concluzia nu poate fi decat o particular negativa. (iii) Ambe/e sunt negative. Silogismul fiind nevalid, conform legii (5), acest caz iese din discutie.

MODURI SILOGISTICE VALIDE

Pentru a stabili cele 24 de moduri valide, ca si repartizarea lor pe cele patru figuri silogistice, cate 6 in fiecare figura, se procedeaza dupa cum urmeaza:

I) Pentru fiecare figura in parte, se determina conditiile speciale pc care ea trebuie sa le indeplineasca .pentru a fi asigurata respectarea tuturor legilor generale ale silogismului, fara exceptie. Aceste conditii poarta numele de 'legi speciale' ale respectivei figuri.

Fie, drept exemplu, prima figura, care il contine pe M ca subiect al majorei si ca predicat al minorei. S-a aratat ca atunci cand lucram cu scheme formale, se presupune ca legea (I) este respectata prin insasi definitia silogismului si, deci, vom considera mai intai legea (2). Pentru ca in figura intai M sa apara ca termen distribuit in cel putin una din premise, avem doua si numai doua variante: (i) majora esle universala, sau cel putin (ii) minora este negativa. Se pune intrebarea: in figura intai, este posibila oricare din aeeste variante?

Se observa ca varianta (ii) antreneaza automat legea (6), in sensul ca daca minora este negativa, atunci concluzia este cu necesitate tot negativa. De aici, daca respectarea legii (2) s-ar face in baza variantei (ii), P ar aparea in concluzie ca termen distribuit, si, pcntru a nu fi incalcata legea (3), P trebuie sa apara ca termen distribuit si in majora. Dar, intrucat in majora Pare functia de predicat, pentru a fi distribuit si aici, majora ar fi cu necesitate o propozitie negaliva. Prin urmare, daca in figura intai minora este negativa, majora ar trebui sa fie si ea tot negativa, fapt imposibil insa prin legea (5). Rezulta: In figura intai, minora este afirmativa, iar majora este universala, deoarece numai aslfel poale fi respeclata legea (2).

(2) O data stabilite legile speciale ale figurii, cu ajutorul lor se determina ce combinatii de propozitii A, E, I si O pot aparea ca premise in figura respectiva. Astfel, daca in figura intai majora este universala, ea nu poate fi decat o propozitie A sau E, iar daca minora este afirmativa, ea nu poate fi decat o propozitie A sau L De aici, pentru premisele primei figuri nu putem avea decat urmatoarele patru combinatii: (i) aa, (ii) ea, (iii) ai si (iv) ei.

(3) O data stabilite combinatiile de premise admise de o figura, cu ajutorul legilor generale sunt determinate concluziile care rezulta din acesle premise. Pentru figura intai, din combinatia (i), conform legii (4), concluzia este cu necesitate o propozitie afirmativa, deci de tip A sau I; in cazul combinatiei (ii). conform legii (6), concluzia este cu necesitate o propozitie negativa, deci de tip E sau O; in cazul combinatiei (iii), conform legilor (4) si (8), concluzia este cu necesitate O particular afirmativa, deci o propozitie de tip I; in sfarsit, in cazul combinatiei (iv), conform legilor (6) si (8), concluzia este cu necesitate particular ncgativa, deci o propozitie de tip O. Rezumand, in figura intai avem urmatoarele sase moduri valide: (1) aaa-1, (1) aai-1, (2) eae-1, (2) eao-1, (3) aii-1 si (4) eio-1. Modurile (I') si (2') se numesc "subalterne', deoarece concluziile lor Sunt subalternele concluziilor modurilor (I) si respectiv (2).

In cazul figurii a treia, procedura de determinare a modurilor valide sufera o modificare neesentiala: la punctul (2), in loc de ambele premise, se stabilesc premisa minora si concluzia si, drept urmare.la punctul (3) legile generale sunt folosite pentru stabilirea premisei majore.

METODE DE PROBARE A VALIDITATII SILOGlSMELOR

Exista mai multe metode pentru a stabili validitatea, respectiv nevaliditatea unui mod silogistic, printre cele mai simple fiind metoda diagramelor Venn si metoda demonstratiei prin reducere la absurd. In cazul exemplelor de silogism, inainte insa de a trece la aplicarea unei asemenea metode, sunt obligatorii aducerea silogismului concret la forma de exprimare standard si, pe aceasta baza, precizarea schemei de inferenta si a modului care ii corespund. Astfel, argumentul silogistic dupa care nici un numar divizibil Cu 9 nu este prim pentru ca toate nulmerele divizibile cu 18 sunt divizibile si cu 9, dar nici un numar prim nu este divizibil cu 18, ii corespunde urmatoarea exprimare standard:

PeM Nici un numar prim nu este divizibil cu 18

MaS Toate numerele divizibile cu 18 sunt divizibile cu 9

SeP Nici un numar divizibil cu 9 nu este numar prim

si schema de inferenta din stanga sa.

(1) Metoda diagramelor Venn. Pentru aplicarea acestei metode, se construieste mai intai o diagrama alcatuita din trei cercuri intersectate, fiecare cere reprezentand unul din cei trei termeni ai silogismului. Pe aceasta diagrama, sunt reprezentate grafic, in maniera cunoscuta, exclusiv premisele; modul silogistic corespunzator este valid daca si numai daca prin reprezentarea grafica doar a premiselor a rezultat automat reprezentarea grafica a concluziei.

Conform diagramei alaturate, care este un exemplu de aplicare a metodei diagramelor Venn in cazul silogismului dat, reiese ca din simpla reprezentare a premiselor acestui silogism nu a rezultat reprezentarea grafica a concluziei sale: fiind o propozitie de forma SeP, concluziei ii corespunde, dupa metoda Venn, hasurarea totala a portiunii de intersectie a cercurilor S si P. Prin urmare, diagrama dovedeste ca silogismul dat nu este valid (ii corespunde o schema de inferenta nevalida, respectiv un mod nevalid de figura a patra).

Iata si un exemplu de mod silogistic valid. Fie modul aii-1, csruia ii corespunde schema de inferenta din dreapta, alaturi de care apare diagrama rezultata prin aplicarea metodei Venn. Din aceasta diagrama se observa ca, reprezentand exclusiv premisele modului dat, a rezultat automat reprezentarea concluziei sale: concluzia este o propozitie de forma SiP careia, dupa metoda Venn, ii corespunde un x plasat in portiunea de intersectie dintre S si P. Se dovedeste astfel ca orice silogism care se reduce la modul aii-1 este valid.

Pentru a nu intampina dificultati in aplicarea metodei diagramelor Venn, se va tine

seama de unnatoarele precizari:

(a) Pentru realizarea reprezentarii grafice a unei premise, se iau in consideratie

numai cercurile care corespund notiunilor prezente in structura acelei premise;

(b) Daca una din premise este o propozitie particulara, aplicarea metodei Venn

incepe obligatoriu prin reprezentarea grafica a premisei universale;

(c) Daca ambele premise sunt universale, iar concluzia este o particulara, dupa ce a fost realizata reprezentarea grafica a ambelor premise si inainte de a incerca sa citim concluzia in portiunea de intersectie a celor trei termeni ramasa nehasurata se inscrie obligatoriu un x pentru a arata ca sfera de coincidenta a celor trei termeni nu este vida.

Corespunzator schemei de inferenta alaturata ei, diagrama din dreapta este un exemplu de utilizare a acestei precizari, in cazul modului aai-3. Exista si situatii cand reprezentarea grafica a premiselor are ca rezultat hasurarea completa a intersectiei dintre M si P. Intr-un astfel de caz, x se inscrie in portiunea ramasa nehasurata din intersectia lui M cu S aratand astfel ca, in orice caz, sfera de coincidenta dintre M si S este nevida.

Diagrama de mai, jos, corespunzatoare schemei de inferenta alaturata ei este o ilustrare, pe exemplul modului eao-4, pentru aplicarea metodei Venn intr-o astfel de situatie. Din felul in care au fost construite ultimele doua diagrame rezulta ca, fara respectarea precizarii (c), probarea validitatii modurilor aai-3 si eao-4 n-ar fi fost posibila prin metoda diagramelor Venn.

2) Demonstratia prin reducere la absurd. Aceasta metoda de demonstratie se bazeaza pe unul sau mai multe adevaruri deja demonstrate sau date ca atare si debuteaza prin a presupune ca adevarata contradictoria propozitiei (tezei) care trebuie demonstrata. Daca in final contradictoria propozitiei (tezei) de demonstrat se dovedeste falsa, atunci, conform raportului de contradictie, rezulta cu necesitate ca propozitia (teza) data spre demonstratie este adevarata, adica exact ce trebuia demonstrat.

In cazul aplicarii sale in dovedirea validitatii silogismelor, baza demonstratiei prin reducere la absurd o constituie cele sase moduri valide din figura intai. A vand in vedere ca scopul urmarit este de a demonstra ca un anume mod este valid, de pilda modul iai-3 caruia ii corespunde schema de inferenta din dreapta, incepem prin a presupune ca acest mod este nevalid; conform definitiei validitatii, aceasta inseamna ca exista cel putin o situatie in care modul dat produce din premise adevarate o concluzie falsa. In continuare, demonstratia se desfasoara dupa cum urmeaza:

(i) Luam in consideratie tocmai situatia in care premisele modului dat sunt ambele adevarate (MiP=1 si MaS=1), iar concluzia derivata din ele este falsa (SiP=O). Se determina contradictoria concluziei modului dat, care este propozitia SeP, si deoarece am presupus ca SiP=O, suntem obligati sa presupunem ca SeP=1.

(ii) Contradietoria coneluziei modului dat se combina cu una din premisele modului dat, astfel incat din combinarea lor sa rezulte un nou mod silogistic, aflat insa in figura intai. In cazul nostru, singura combinatie de acest fel este sa luam propozitia SeP ca premisa majora impreuna cu propozitia MaS ca premisa minora, combinatie care, conform schemei de inferenta din dreapta. in care S apare ea termen mediu, M ca termen minor si P ca termen major, produce modul eae-1.

(iii) In baza ipotezelor asumate, se stabileste valoarea de adevar a concluziei noului mod silogistic, despre care stim ca este valid, fapt demonstrat anterior. In cazul nostru, concluzia noului mod (eae-1) se afla in raport de cntradictie cu propozitia MiP, care apare ca premisa in modul initial. Intrucat, prin ipoteza, MiP=1, rezulta cu necesitate MeP=O.

(iv) Pe baza celor de mai sus, se stabileste valoarea de adevar a premiselor noului mod. Deoarece noul mod este valid, iar coneluzia sa este falsa, conform definitiei validitatii inferentelor, rezulta cu necesitate ca cel putin una din premisele noului mod este falsa: intrucat prin ipoteza MaS=1, rezulta cu necesitate SeP=O.

(v) Finalizarea demonstratiei. Deoarece SeP este eontradictoria propozitiei SiP (concluzia modului initial) si intrucat a rezultat SeP=O, rezulta cu necesitate SiP=1, adica ceea ce trebuia demonstrat: din premise adevarate, modul iai-3 nu produce decat concluzii adevarate, ceea ce inseamna ca modul iai-3 este valid.

In anumite cazuri, la punctul (Hi), in locul unui raport de contradictie apare un raport de contrarietate, dar aceasta nu reduce valoarea demonstratiei prin reducere la absurd: doua propozitii aflate in raport de contrarietate nu pot fi ambele adevarate in acelasi timp si sub acelasi raport. Valoarea (forta de probare) deosebita a demonstratiei prin reducere la absurd consta din aceea ca ea se fundamenteaza direct pe prineipiile noncontradietiei si tertului exclus si explica de ce aceasta metoda de demonstratie este frecvent folosita, nu doar in logica, ci si in matematica. In geometrie, de pilda, pentru a justifica reciproca teoremei lui Thales se recurge la demonstratia prin reducere la absurd, cu singura deosebire ca in afara de propozitii categorice si moduri silogistice se lucreaza si cu notiuni specifice geometriei: de exemplu, se ia ca punct de referinta al demonstratiei postulatul paralelelor, dat ca adevarat.

SILOGISM (gr. syllogismos), rationament deductiv bazat pe cel putin trei judecati, ultima dintre ele fiind concluzia, iar celelalte premisele. S. Poate fi reprezentat ca o 'schema de deductie' in care se aserteaza premisele si se indica prin cuvantul deci, concluzia, in acest sens se obisnuieste a se

scrie judecatile pe verticala dupa schema:

α

β

γ

(citeste: .. "α, β deci γ ')

Aici α, β sunt premisele. iar y concluzia. Exista si un alt mod de a citi schema: 'din α si β urmeaza y'. Exista o anumita deosebire intre cele.doua. moduri de citire. Cand spunem "α, β deci γ ' (ori ' α, β prin urmare y') exprimam prescurtat acelasi lucru pe care-l redam in expresia: 'este adevarat α, este adevarat β si deci este adevarat y' ; dar cand spunem "din α si β urmeaza y' ideea de adevarat nu este presupusa, atentia este toata concentrata asupra derivarii lui y din α si β. S. mai poate fi reprezentat apoi sub forma unei propozitii ipotetice (= propozitii implicative) :

'daca α si β atunci y' Dupa opinia lui Lukasiewicz, Aristotel ar fi dat forma de propozitie ipotetica ('de teza') s., nu de schema de deductie ('regula de deductie'), forma inferentiala (de, 'schema de deductie') ar fi fost data mai tarziu. Evident ca pentru anumite scopuri, de ex. didactice forma de schema este convenabila, in timp ce teoretic este mai adecvata forma ipotetica. Exista diferite criterii de clasificare a s., de ex., dupa tipul de judecati, dupa numarul de premise. Astfel, avem s. de tip A. E. I. O. numite si s. categorice, silogistica judecatilor de relatie, silogistica judecatilor modale s.a. Daca in judecatile A, E, I. O. termenii S si P sunt pozitivi si nevizi avem primul sistem silogistic (al lui. Aristotel). Daca introducem si S, P negativi atunci avem sistemul silogistic traditional, numit si 'silogistica judecatilor de predicatie', iar daca. introducem si termenii S; P vizi obtinem o 'silogistica generalizata'. S. sunt apoi simple (cu doua premise si o conc1uzie) si s. compuse (cu mai mult de trei judecati). Forma cea mai simpla de s. (tip A E I O) consta din trei judecati si trei termeni. Judecatile poarta respectiv denumirile de premisa majora, premisa minora si concluzia, iar termenii sint extremi (major si minor) si mediu. Exemplu:

(1) Toate vertebratele sunt animale

(2) Toate mamiferele sunt vertebrate

(3) Toate mamiferele sunt animale

Judecata (1) este premisa majora, judecata (2) este premisa minora, iar decata (3) este concluzia. Termenii animal si mamifer sint extremi (resp. major si minor) , iar termenul mamifer este mediu. Termenul mediu uneste cei doi termeni extremi. Cei doi termeni extremi se unesc in concluzie in

virtutea termenului mediu. Este important de precizat ca. pentru a nu identifica s. cu orice fel de rationament (tendinta existenta inca. la Aristotel) orice extindere trebuie sa tina seama de aceasta structura si sa o imite sau sa fie intr-o leglatura determinata cu ea (ca in cazul silogismelor compuse) (v. silogism simplu tip A E I O)