ARHITECTURA MATEMATICII. DISTRIBUTII IN R.

In loc de moto: Matematica este de doua feluri. Matematica scrisa si matematica vorbita. Cea vorbita este asezata intre spontaneitate si rigoare. Cea scrisa este rigoare deschisa dedesubt si deasupra spre intuitie. In toate ale ei matematica are, inainte de toate, farmec. Fara accesul la acest farmec, matematica nu are viata.

1. Structuri liniare, ordonate si topologice

Spunem ca multimile pot fi organizate ca structuri daca pe ele sunt introduse operatii algebrice, relatii de ordine sau obiecte de topologizare. Se obtin astfel trei tipuri de structuri, numite generic structuri simple. Stabilind diferite compatibilitati intre structuri se vor obtine de asemenea structuri numite multiple.

Structuri simple

(i) Spatii liniare

Spatii liniare (not (X, lin)) sunt structurile simple cel mai des intalnite. Conditia necesara si suficienta pentru ca structura de spatiu liniar sa existe este:

unde - corpul scalarilor.

(ii) Spatii ordonate

Definitie. Se numeste relatie de ordine () o relatie reflexiva, antisimetrica si tranzitiva, unde (ref) (antisim) = si (tranz) = si implica .

Definitie. O multime pe care se da o relatie de ordine se numeste multime ordonata. De relatia de ordine este legata notiunea de con (numit si con pozitiv).

Definitie. O multime A se numeste con pozitiv daca sunt satisfacute urmatoarele axiome (numite si axiomele conului pozitiv):

Legatura dintre relatia de ordine si notiunea de con pozitiv este data de:

Definitie. Ansamblul (care se mai noteaza si cu ) se numeste spatiu ordonat.

(iii) Spatii topologice

Fie o familie de parti ale lui X.

Definitie. Se numeste topologie pe X familia cu proprietatile:

() Ø,

() Daca (reuniune oarecare de elemente din este o multime din

()

Definitie. Elementele lui se numesc multimi deschise.

Definitie. Numim multime inchisa complementara unei multimi deschise.

Definitie. Ansamblul format din multimea X si topologia (not)

se numeste spatiu topologic.

Structuri duble

Se obtin din doua structuri simple intre care se stabilesc conditii de

compatibilitate.

(i) Spatii liniare ordonate

Fie (X, lin) un spatiu liniar si un spatiu ordonat

Definitie. Spunem ca cele doua structuri definesc un spatiu liniar

ordonat (not (X, lin, )) daca in plus este satisfacuta si urmatoarea conditie de compatibilitate.

(ii) Spatii liniar topologice

Fie (X.lin) un spatiu liniar si un spatiu topologic.

Definitie. Spunem ca cele doua structuri simple definesc un spatiu liniar topologic (not (X, lin, )) daca aplicatiile:

sunt continue.

Structura tripla

Fie (X, lin, ) - un spatiu liniar topologic si (X, ) - un spatiu ordonat.

Definitie. Spunem ca (X, lin, ) si () definesc o structura de spatiu liniar ordonat topologic (not (X, lin, )) daca pe langa conditiile fiecarei structuri in parte exista o baza de vecinatati ale originii formata din multimi pline.

Definitie. Conditia necesara si suficienta pentru ca o multime A din sa fie plina este urmatoarea:

unde .

2. Tipuri de convergenta

In functie de structura pe care lucram avem urmatoarele tipuri de convergenta:

convergenta in sens topologic (careia i se va spune simplu -

convergenta) structura pe care se lucreaza in acest caz fiind evident cea de spatiu liniar topologic,

convergenta in sensul ordinii in cazul in care este vorba de spatiu liniar

ordinar, .

In functie de sirurile carora li se studiaza convergenta avem urmatoarea clasificare:

convergenta ordinara, cand se lucreaza cu siruri ordinare

convergenta generalizata, cand se au in vedere siruri generalizate

, unde cu s-a notat multimea dirijata.

Definitie. Se numeste multime dirijata () o multime ordonata cu proprietatea ca oricare a,b din exista c in astfel incat

(mai exact in acest caz se va spune despre multimea ca este dirijata la dreapta).

Observatie. Definitia de mai sus este echivalenta cu a spune ca orice multime formata din doua puncte din este majorata.

O alta definitie a multimii dirijate se poate da folosind notiunea de con pozitiv.

Definitie. Multimea se numeste dirijata daca si numai daca

Observatie. Ordinea dirijata se intalneste si sub denumirea de con pozitiv generator.

Exemple de multimi dirijate: multimea numerelor naturale (N), intervalul .

Definitie (convergenta ordinara). Spunem ca sirul converge la si scriem: daca si numai daca oricare ar fi vecinatatea lui , , exista astfel incat pentru orice avem .

Definitie (convergenta generalizata). Spunem ca sirul converge la astfel incat daca si numai daca oricare ar fi vecinatatea lui , , exista astfel incat pentru orice avem .

Notatii

) - convergenta ordinara in sensul ordinii, numita (o) - convergenta

- convergenta generalizata in sensul ordinii, numita () - convergenta.

Definitie. Fie si doua siruri astfel incat monoton crescator, iar monoton descrescator, marginite superior (), respectiv inferior (). Spunem ca o converge la x daca si numai daca exista sirurile monotone si marginite ca mai sus astfel incat

Observatie. (o) - convergenta intr-un spatiu ordonat repeta intr-un fel criteriul clestelui din R, mai mult cele doua tipuri de convergenta in real coincid.

spatiu de tip (o)

Spatiile in care cele doua tipuri de convergenta coincid se numesc spatii de tip (o), respectiv ().

Definitie. Fie doua siruri generalizate, monotone crescator, respectiv descrescator, marginite superior, respectiv inferior. Spunem ca - converge la x daca si numai daca exista sirurile ca mai sus astfel incat

3. Tipuri de continuitate

Continuitatea repeta tipurile de convergenta, continuitatea topologica putand fi data cu ajutorul sirurilor generalizate.

Definitie. Fie . Spunem ca aplicatia este continua in daca pentru orice vecinatate a lui , notata exista o

vecinatate a lui astfel incat

Definitii echivalente. Spunem ca o functie f continua in daca pentru

exista astfel incat

ceea ce este echivalent cu

Observatie. f continua in daca pentru avem este vecinatate a lui .

Definitie. Spunem ca f este continua in daca

implica

Definitie. O functie se numeste secvential continua daca:

implica

Observatie. Orice functie continua este si secvential continua, reciproca nefiind adevarata.

Definitie. Fie doua spatii liniare ordonate. Spunem ca o functie este (o) continua daca:

implica

Definitie. Fie doua spatii liniare ordonate. O functie se numeste - continua daca:

implica .

Tipuri de dualitati. Spatii liniare in dualitate.

Notatii

- multimea operatorilor liniari si continui actionand intre X si Y.

- multimea operatorilor liniari definiti pe X cu valori in Y.

- este dualul algebric

- este dualul topologic.

Observatie. Stiind ca operatorii cu valori scalare se numesc functionale vom defini dualul topologic ca fiind multimea functionalelor liniare si continue.

- multimea functionalelor liniare si - continui.

Observatie. Toate cele trei dualitati implica liniaritate.

Definitie. Fie X si Y doua spatii liniare. Spunem ca X si Y sunt in dualitate liniara daca exista cu urmatoarele proprietati:

(i) biliniara (liniara in X si Y)

(ii) astfel incat

(iii) astfel incat .

Notatie. De obicei aceasta functionala .

Se observa ca se poate defini o functionala

( datorita biliniaritatii lui <x, y>). Aplicatia este o bijectie intre Y si o parte din .

Observatii.

Daca doua spatii sunt in dualitate liniara fiecare spatiu poate fi privit ca subspatiu din dualul algebric al celuilalt deci se poate defini si corespondenta

Dualitatile se folosesc la studiul unor spatii prin intermediul tehnicii de trecere la dual; studiul se face in zonele cunoscute deci daca trecem de la un spatiu la dualul sau inseamna ca avem mai multe informatii despre dual decat despre spatiu.

Spatii local convexe (slc)

Spatiul local convex ocupa o zona de mijloc intre particular si general.

Cea mai particulara topologie si foarte des intalnita este topologia de spatiu liniar normat, notat (X, lin, || ||).

Conditia ca spatiul sa fie normat este o conditie foarte restrictiva atat de restrictiva incat printr-un izomorfism in cazurile finit - dimensionale obtinem spatiul real.

Definitie. Un spatiu liniar topologic se numeste spatiu local convex daca exista o baza de vecinatati a originii, formata din multimi convexe.

Propozitie. Intr-un spatiu local convex exista vecinatati ale originii echilibrate, convexe, inchise.

Teorema. Daca este o familie de seminorme, atunci

reprezinta un sistem fundamental de vecinatati ale originii pentru o topologie local convexa.

Reciproc. Daca este o baza de vecinatati convexe, familia

este o familie dirijata de seminorme, am nota cu functionalele Minkowski.

Teorema. Un spatiu este separat daca si numai daca este o familie suficienta de seminorme.

Definitie. O familie de functionale este suficienta daca

astfel incat

Spatiile local convexe fiind o notiune suficient de generala se particularizeaza lucrand asupra lui sau asupra lui , exista astfel spatii bornologice, tonelate, atomice etc.

O categorie cuminte de spatii local convexe este categoria spatiilor local convexe metrizabile; topologia acestor spatii este data de o familie numarabila de vecinatati convexe ale originii ceea ce este echivalent cu a spune ca topologia este definita de o cvasinorma.

Definitie. Se numeste o cvasinorma o functionala cu proprietatile:

1)

2)

3)

4)

5)

Cu ajutorul cvasinormei se poate defini distanta:

.

DISTRIBUTII IN R

Bunurile cele mai de pret

ale unui "scolit" sunt morala, etica si

estetica. Celelalte vin de la sine.

1. Spatiul functiilor test. Spatiul Schwartz.

Definitie. Fie (sau C) o functie. Numim suportul lui f urmatoarea multime

Definitie. Spunem ca suportul unei functii este compact daca exista astfel incat .

Definitie. Prin functie test vom intelege functii definite pe R, indefinit derivabile pe R care au suport compact in R.

Spatiul functiilor test il notam cu

Observatie.

Intr-adevar exista functii indefinit derivabile pe R fara a avea suport compact, de exemplu functiile analitice dezvoltabile in serie de puteri cu raza de convergenta nenula.

Exemplu de element din il constituie functia cu a >0 definita de:

In spatiul introducem urmatoarea convergenta a sirurilor (spatiul topologic pe care il obtinem introducand aceasta topologie il notam cu D(R ) si-l numim spatiul Schwartz).

Definitie. Spunem ca converge la zero in D(R) si scriem daca sunt verificate urmatoarele doua conditii:

(i) toate elementele sirului sunt nule in afara unei multimi compacte din R, i.e. exista K compacta astfel incat

(ii) oricare avem convergenta fiind uniforma.

2. Definirea distributiilor

Definitie. Prin distributie (in sensul Schwartz) se intelege orice functionala liniara si continua pe D (R ).

Notam cu spatiul distributiilor.

Deci daca si numai daca (sau C) si f este liniara si continua.

Daca convenim sa notam cu valoarea functionalei pentru elementul

Daca , atunci (ceea ce se mai scrie ).

Mai putem scrie:

Exemple

a) fie o functie local integrabila pe R:

Lui f ii punem in corespondenta o distributie notata tot cu f definita prin:

(1)

Daca f are valori complexe putem defini ca in (1) sau

(2)

sau alte combinatii obtinute cu

b) Fie H functia unitate Heaviside, ei ii corespunde distributia

(3)

c) Functia f(x) = A, A este constanta, ii corespunde distributia

d) Distributia Dirac se defineste cu ajutorul egalitatii

(4)

Observatie. Distributia Dirac este infinita in origine si nula in rest. Orice functie elementara f poate fi considerata ca o distributie, totusi nu orice distributie este de forma (1). Deci teoria distributiilor largeste cazul obisnuit al functiilor. Pentru a argumenta acest lucru vom utiliza distributia Dirac (4).

Presupunem provine dintr-o functie local integrabila pe care o notam prin g. Sa presupunem deci ca avem egalitatea

(5)

In particular, relatia (5) trebuie sa aiba loc si pentru functiile test cu

Din (5) aplicand teorema de medie gasim: care este falsa deoarece nu poate fi facuta oricat de mica dorim. Deci distributia Dirac nu provine din nici o functie local integrabila.

Descompunem

unde

- multimea distributiilor regulate care provin din functii local integrabile si sunt definite cu ajutorul (2).

- multimea distributiilor singulare, contin distributii care nu se pot pune sub aceasta forma.

Exemple .

3. Operatii cu distributii

se organizeaza ca spatiu vectorial.

(a) Egalitatea distributiilor

(6)

deci .

f - g este nula pentru orice functie test , deci in vecinatatea oricarui punct trebuie sa avem f - g = 0.

In cazul in care f si g sunt distributii regulate f = g in sensul distributiilor, nu inseamna ca decat daca f si g sunt functii continue.

Intr-adevar, utilizand (5) obtinem

sau echivalent

iar ultima integrala poate fi nula fara sa avem

Putem avea deci pe o multime numarabila de puncte.

(b) Inmultirea distributiilor

Fie si o functie de o clasa data pe R. In baza definitiei

Deci egalitatea

(7)

pe care o utilizam pentru definirea produsului dintre o distributie f si functia a. Pentru ca (6) sa aiba sens ar trebui ca Pentru aceasta este suficient ca a se numeste multiplicator in

In general nu are sens sa vorbim de distributiile etc. decat daca

(c) Convergenta sirurilor de distributii

sir din . Spunem ca converge catre daca

Aceasta convergenta se numeste si convergenta slaba.

(d) Derivarea distributiilor

Spatiul distributiilor se bucura de urmatoarele proprietati (pe care functiile obisnuite nu le au) orice distributie admite derivate de orice ordin, fiecare derivata fiind de asemenea o distributie. In plus orice sir de distributii convergent, poate fi derivat termen cu termen ori de cate ori dorim

daca atunci

Pentru a defini derivata de distributie f presupunem mai intai f o distributie provenind dintr-o functie derivabila deci functia este astfel incat derivata sa este local integrabila pe R ceea ce permite scrierea functionalei corespunzatoare lui

daca

Integrand prin parti si folosind faptul ca gasim

Se obtine astfel relatia

(8)

pe care o vom utiliza pentru a defini derivata intai a oricarei distributii f. Prin generalizare se obtin relatia de definitie

Are loc egalitatea (in sensul teoriei distributiilor) , unde H este functia unitate Heaviside.