BINOMUL LUI NEWTON

BINOMUL LUI NEWTON

Binomul lui Newton este o teorema care ne da regula de dezvoltare a expresiei , unde a si b sunt doua numere reale, iar n este un numar natural diferit de zero.

Teorema Fie a si b doua numere reale, n numar natural nenul. Atunci:

.

Observatii

Putem scrie formula de mai sus astfel: , de unde deducem usor formula termenului general .

Dezvoltarea unui binom are n + 1 termeni.

Coeficientii se numesc coeficientii binomiali ai dezvoltarii.

Coeficientii binomiali din dezvoltare egal departati de termenii extremi ai dezvoltarii sunt egali, (formula combinarilor complementare).

Daca exponentul puterii este par n = 2k, atunci dezvoltarea are 2k + 1 termeni, iar termenul din mijloc are coeficientul binomial cel mai mare:

;

Daca n = 2k + 1, atunci dezvoltarea are 2k + 2 termeni si avem doi termeni la mijlocul dezvoltarii care au coeficientii binomiali egali si de valoare cea mai mare:

.

Avem urmatoarea formula de recurenta: Intre doi termeni consecutivi din dezvoltarea binomului are loc relatia:

.

7. Utilizand permutarile cu repetitie se poate da formula binomului generalizata:

, numere naturale.