Conditii suficiente pentru liniaritatea diferentialei Gateaux

Conditii suficiente pentru liniaritatea diferentialei Gateaux

Fie astfel:

Se verifica imediat ca este G-diferentiabila in punctul 0 si

Se vede pe acest exempku ca functionala nu este liniara,mai precis,ca:

,

deoarece proprietatea de omogenitate:

.

este totdeauna satisfacuta.

Teoremele care urmeaza au drept scop formularea unor conditii suficiente pentru liniaritatea diferentialei Gateaux,adica pentru a avea (in afara omogenitatii operatorului ) si:

(132)

Vom incepe cu cazul mai simplu al functionalelor.

Teorema 20

Fie X un spatiu normat real si functionala definita intr-o vecinatate U a punctului Fie ca:

1) exista in fiecare punct ;

2) pentru fiecare h fixat in X,aplicatia este continua in ;

3) aplicatia este continua in

Atunci aplicatia

este liniara si continua.

Demonstratie

Vom dovedi mai intai liniaritatea aplicatiei:

Asa cum am remarcat la inceputul acestui paragraf,aceasta revine la a dovedi aditivitatea aplicatiei.

Fie Exista astfel incat pentru orice t cu ,

(133)

Fie .Deoarece:

exista astfel incat pentru orice t cu ,avem:

(134)

Analog,exista astfel incat pentru orice t cu ,avem:

(135)

si exista astfel incat pentru orice t cu ,avem:

(136)

Avem urmatoarele estimari:

=

=   

Pe scurt:

(137)

Sa observam ca:

(138)

Din continuitatea aplicatiei in rezulta ca pentru ,dat,exista

astfel incat daca :

(139)

atunci

(140)

Pentru a avea (139) si,in consecinta, (140),este suficient ca

(141)

Analog,exista astfel incat ,daca avem:

(142)

iar daca ,atunci avem simultan (140) si (142),de care tinand seama in (137),rezulta:

Daca atunci avem simultan (133),(134),(135),(136),(142'),care permit sa scriem:

=-

+

,

ceea ce,in virtutea faptului ca este arbitrar,arata ca :

2) Continuitatea functionalei rezulta din liniaritatea ei si din faptul ca este continua in punctul .Atunci ea este continua pe tot spatiul.

Teorema care urmeaza are drept scop sa extinda rezultatul stabilit pentru functionale la cazul operatorilor.

Teorema 21

Fie X si Y doua spatii Bancah reale si operatorul P definit intr-o vecinatate U a punctului din X,cu valori in Y.Fie ca:

1) exista oricare ar fi si oricare ar fi ;

2) pentru orice h fixat in X,aplicatia:

este continua in x;

3)aplicatia:

este continua in .Atunci aplicatia:

este liniara si continua.

Demonstratie

Fie e un element arbitrar din Y si urmatoarea functionala definita in vecinatatea U a punctului :

(143)

Functionala astfel definita satisface conditiile din teorema 20.

Intr-adevar:

1) exista pentru orice si orice .Avem:

=,

, (144)

unde s-a tinut seama ca,prin ipoteza, exista pentru orice si orice .

2) Pentru orice h fixat in X,aplicatia:

este continua in .Intr-adevar,,avem:

si este suficient sa tinem seama ca,prin ipoteza 2,

cand

3)Functionala este continua in Fie,intr-adevar,.Avem:

si este suficient sa tinem seama ca ,prin ipoteza 3,

cand

Cum functionala definita de (143) satisface ipotezele teoremei 20,pentru ea este adevarata concluzia acestei teoreme:este deci adevarata aditivitatea aplicatiei ,deci:

,

ceea ce,tinand seama de (144),se scrie:

,

din care,tinand seama ca e este un element arbitrar din Y,rezulta:

deci aditivitatea aplicatiei .Cum omogenitatea aplicatiei este de asemenea adevarata,a fost demonstrata liniaritatea acestei aplicatii.Fiind liniara si continua in ,aplicatia este continua pe tot spatiul.

Definitia 15

Fie X si Y doua spatii Banach reale,.Se spune ca P satisface in o conditie Lipschitz de tip slab,daca pentru orice exista astfel incat pentru orice t cu ,avem:

(145)

unde este o constanta ce nu depinde de h.

Teorema 22

Fie X si Y doua spatii Banach reale,P un operator definit intr-o vecinatate U a lui cu valori in Y.Fie ca exista pentru orice Necesar si suficient pentru ca aplicatia:

,

sa fie liniara si continua este ca:

P sa satisfaca in o conditie Lipschitz de tip slab;

unde     (146)

Demonstratie

Necesitatea

Fie ca aplicatia este liniara si marginita,in care caz,notam:.Evident,pentru orice exista astfel incat In cele ce urmeaza,elementele de forma vor fi considerate cu ,deci apartinand lui U,unde P este definit.

Deoarece:

,

se deduce:

,

de unde rezulta existenta unui astfel incat pentru orice t cu ,

sau

deci P satisface o conditie Lipschitz de tip slab in cu .Vom arata acum ca,din presupunerea ca aplicatia este liniara si continua rezulta cu necesitate si

.

Fie .Exista astfel incat

Din existenta derivatei Gateaux a lui P in rezulta:

,

, (147)

,

unde cand Avem:

=

,

de unde ,tinand seama ca cand ,rezulta:

cand ,

deci.

Suficienta

Fie ca in operatorul P satisface o conditie de tip Lipschitz de tip slab,deci ca, h fiind dat, exista astfel incat pentru orice t cu ,avem:

,,

de unde:   

,

de unde:

,

inegalitatea din care rezulta imediat continuitatea operatorului in punctul .Pe de alta parte,din faptul ca ,rezulta aditivitatea operatorului.Intr-adevar,din (147),in care se inlocuieste cu ,avem:

de unde:

deci:

pentru ca prin ipoteza,iar cu .Din aceasta ultima inegalitate rezulta:

.

Asadar,despre aplicatia se cunosc urmatoarele:

este omogena,

este aditiva,

este continua in .

Pe scurt,aplicatia este liniara si continua in ,deci este liniara si continua pe tot spatiul.