CALCUL DIFERENTIAL PENTRU FUNCTII DE n VARIABILE REALE

Obiective : insusirea de catre studenti a rolului derivatelor partiale de ordin unu si doi in studiul

functiei reale de n variabile reale si mai ales a gasirii extremelor libere sau cu legaturi ale

functiei , direct sau cu computerul .

Cuprins :

Rolul derivatelor partiale de ordinul unu si doi in studiul functiilor de n variabile reale

Extreme libere ale functiilor de n variabile reale

Extreme cu legaturi ale functiilor de n variabile reale

Metoda Newton-Raphson pentru rezolvarea sistemelor neliniare

Rezumat

Intrebari

Bibliografie

Cuvinte-cheie : functie reala de n variabile reale , derivate partiale de ordinul unu si doi ,

maximele si minimele libere sau conditionate ale unei functii , metode iterative de rezolvare

a unui sistem neliniar de ecuatii .

1 Rolul derivatelor partiale de ordinul unu si doi in studiul functiilor de n variablile

reale

Fie multimea de vectori A Rⁿ si multimea de scalari B R .

Se spune ca s-a definit o functie reala de n variabile reale daca oricarui vector X I A ii corespunde numarul real unic y = f (X)I B .

Daca X = (x₁,.,x_n) , functia f se va scrie : y = f (x₁,.,x_n) .

Un sistem de m functii reale de n variabile reale este multimea de functii :

y₁ = f₁ (x₁,.,x_n)

........

y_m = f_m (x₁,.,x_n)

definite pe A Rⁿ cu valori in B R .

Un asemenea sistem de functii reale este in fond o functie o functie vectoriala de variabila vectoriala , definita pe Rⁿ cu valori in R^m , care asociaza vectorului

X = (x₁,.,x_n) I A Rⁿ un vector unic Y = (y₁,.,y_m) I B R^m .

Asemenea functii sunt operatorii liniari definiti pe Rⁿ cu valori in R^m .

Caz particular

Pentru n = 2 functia y = f(x₁,x₂) reprezinta o suprafata in spatiul R³ iar sistemul de functii

y = f ₁(x₁,x₂) ; y = f₂ (x₁,x₂) reprezinta o intersectie de suprafete in R³ deci o curba spatiala in R³ .

De exemplu functia y = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ reprezinta un plan in spatiul R³ iar sistemul de functii y = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ ; y = c₀ + c₁ x₁ + c₂ x₂ reprezinta fie o dreapta in spatiul R³ fie o pereche de plane paralele in R³ .

Functia y = b₀ + b₁x₁+b₂x₂ + c₁x₁² + c₂x₁x₂ + c₃x₂² reprezinta deasemenea o suprafata in spatiul R³ .

O functie reala de n variabile reale y = f (x₁,.,x_n) se numeste functie de productie daca x₁,.,x_n sunt factori(resurse) pentru cultura plantelor sau cresterea animaloelor iar y este productie fizica sau valorica in agricultura .

Unei functii reale de n variabile y = f (x₁,.,x_n) i se asociaza functiile ajutatoare :

a)      Functiile partiale de o variabila reala :

y = f ( x₁₀ ,., x_{i - 1 ,0} , x_i ,x_i+1,0 , . , x_{n 0} ) = f_i (x_i)

Aici doar x_i este variabila , restul argumentelor fiind constante .

Graficele functiilor partiale pentru diferite valori concrete ale variabilelor , se numesc izocuante .

b)      Functia izovalorica

y₀ = f (x₁,.,x_n)

Aici este fixata valoarea y deci cunoscand valorile a n - 1 dintre variabilele x_i ,se poate calcula valoarea celei de a n-a variabile , astfel ca y = y₀ .

Graficele functiilor izovalorice pentru diferite valori concrete ale lui y , se numesc curbe izovalorice .

Fie functia reala y = f (x₁,.,x_n) , f : A Rⁿ R si fie vectorul fixat x⁽⁰⁾ = ( x₁₀ ,., x_n0 ) I A .

Limita functiei f in punctul x⁽⁰⁾ este numarul unic si finit L astfel ca pentru orice e > 0 exista

d e) > 0 astfel ca pentru orice x = (x₁,.,x_n) I A cu x - x⁽⁰⁾ < e rezulta
f(x) - L < e . Daca in plus :

se spune ca functia f este continua in x⁽⁰⁾ in raport cu ansamblul variabilelor x₁,.,x_n

In acest caz functiile partiale y = f_i (x_i ) sunt si ele continue in raport cu variabilele lor.

Functia reala y = f (x₁,.,x_n) este diferentiabila in x⁽⁰⁾ I A daca exista constantele

C₁,.,C_n astfel ca pentru orice x I A cu x - x⁽⁰⁾ < e , avem :

f (x₁,.,x_n) = f (x₁₀,.,x_n0) + C₁.(x₁ - x₁₀ )+.+C_n.(x_n- x_n0 ) + e(x₁,.,x_n). x - x⁽⁰⁾

unde e(x₁,.,x_n) 0 pentru x x⁽⁰⁾ .

Functia reala y = f (x₁,.,x_n) are derivate partiale in x⁽⁰⁾ I A daca functiile partiale

y = f_i (x_i) sunt derivabile in x_{i 0} si au derivatele :

Daca f este diferentiabila in x⁽⁰⁾ I A , atunci f are derivate partiale in x⁽⁰⁾ I A .

Daca finctia f are derivate partiale continue in x⁽⁰⁾ I A , atunci ea este diferentiabila in

x⁽⁰⁾ I A .Vectorul :

se numeste gradientul functiei f in x⁽⁰⁾ .

Diferentiala de ordinul intai a lui f in x⁽⁰⁾ este polinomul omogen cu variabilele

dx₁,.,dx_n :

El este produsul scalar intre vectorul Grad _f (x⁽⁰⁾) si vectorul-deplasare dx = (dx₁,.,dx_n)

Derivatele partiale ale lui y = f (x₁,.,x_n) sunt si ele functii reale de n variabile reale :

Daca aceste derivate au la randul lor derivate partiale in raport cu x₁,.,x_n , se spune ca

functia f are derivate partiale de ordinul doi

Daca derivatele partiale de ordinul doi sunt continue atunci derivatele mixte sunt egale :

Derivatele partiale de ordinul doi ale lui f formeaza in punctul x⁽⁰⁾ = (x₁₀,.,x_{n 0}) I A

o matrice numerica numita matricea Hessiana a lui f :

Diferentiala de ordin doi a lui f este polinomul omogen de grad doi in variabilele

dx₁,.,dx_n :

unde dx = (dx₁,.,dx_n) este vectorul-deplasare iar (dx)^T este transpusul sau .

Diferentiala de ordinul doi a lui f se numeste pozitiv-definita daca pentru orice vector-deplasare dxIRⁿ , avem : d²f (x⁽⁰⁾) = (dx).H_f(x⁽⁰⁾).(dx)^T > 0 .

Cu notatiile :

conform criteriului lui Sylvester , d ² f (x⁽⁰⁾) este pozitiv-definita daca H_f(x⁽⁰⁾) este matrice pozitiv-definita adica daca :

adica toti minorii principali sunt strict pozitivi in x⁽⁰⁾ .

Diferentiala de ordinul doi a lui f se numeste negativ-definita daca pentru orice vector-deplasare dxIRⁿ , avem : d²f (x⁽⁰⁾) = (dx).H_f(x⁽⁰⁾).(dx)^T < 0 .

Conform criteriului lui Sylvester , d ² f (x⁽⁰⁾) este negativ-definita daca H_f(x⁽⁰⁾) este matrice negativ-definita adica daca :

adica toti minorii principali sunt strict negativi in x⁽⁰⁾ .

2 Extreme libere ale functiilor de n variabile reale

Functia reala de n variabile reale y = f (x₁,.,x_n),f:A Rⁿ B R are in x⁽⁰⁾ = ( x₁₀ ,., x_n0 )IA un maxim relativ daca pentru orice x I A cu x - x⁽⁰⁾ < e avem f(x) < f(x⁽⁰⁾) deci in sfera cu centrul x⁽⁰⁾ si raza e , valoarea f(x⁽⁰⁾) este cea mai mare .

Functia reala de n variabile reale y = f (x₁,.,x_n) are in x⁽⁰⁾ = ( x₁₀ ,., x_n0 ) I A un minim relativ daca pentru orice x I A cu x - x⁽⁰⁾ < e avem f(x) > f(x⁽⁰⁾) deci in sfera cu centrul x⁽⁰⁾ si raza e , valoarea f(x⁽⁰⁾) este cea mai mica .

Daca functia f are cel putin un maxim relativ, cel mai mare maxim relativ se numeste

maxim absolut pentru functia f .

Daca functia f are cel putin un minim relativ, cel mai mic minim relativ se numeste

minim absolut pentru functia f .

Daca functia f are un minim absolut si un maxim absolut , ea se numeste marginita .

Fie functia reala de n variabile reale y = f (x₁,.,x_n) , f: A Rⁿ B R si fie

x⁽⁰⁾ = ( x₁₀ ,., x_n0 ) I A .

Daca f are derivate partiale continue de ordinul doi in sfera

(deci este diferentiabila in aceasta sfera ) atunci pentru orice x = (x₁,.,x_n) in sfera

precedenta avem formula Taylor :

Pentru functii reale de n variabile reale are loc o teorema asemanatorare cu teorema 7.3

si anume :

Teorema 1

Daca functia f are derivate partiale continue in sfera si x⁽⁰⁾

este un punct de maxim sau de minim relativ , avem :

Demonstratie

Fie de exemplu x⁽⁰⁾ = ( x₁₀ ,., x_n0 ) I A punct de maxim relativ pentru f deci x₁₀

este punct de maxim relativ pentru functia partiala y = f₁(x₁) = f(x₁,x₂₀,.,x_n0) deci

conform teoremei 7.3 avem f (x⁽⁰⁾ ) / x₁ = 0 . Rationamentul este analog pentru

variabilele x₂,.,x_n . Q.E.D.

Punctele x⁽⁰⁾ I A Rⁿ cu f (x⁽⁰⁾ ) / x₁ = 0,., f (x⁽⁰⁾ ) / x_n = 0 , se numesc puncte

stationare ale functiei f pentru ca in aceste puncte planul tangent la graficul functiei f

este orizontal ( valorile functiei f stationeaza in x avand viteza de variatie Grad_f (x⁽⁰⁾

nula ). In punctele stationare x⁽⁰ vectorii Grad_f (x⁽⁰⁾ ;I dx = (dx₁,.,dx_n) sunt ortogonali .

Conditia din teorema 1 este necesara dar nu suficienta peunrt puncte de maxim sau de minim relativ , adica nu orice punct stationar este punct de maxim sau de minim relativ .

O conditie suficienta de maxim sau de minim relativ este data de :

Teorema 2

Fie functia reala de n variabile reale y = f (x₁,.,x_n) cu derivate partiale de ordinul doi continue in sfera unde x⁽⁰⁾ I A este punct stationar pentru functia f adica

f (x⁽⁰⁾ ) / x_i = 0 ; (i=1,.,n) .

Daca matricea hessiana H_f (x⁽⁰⁾) este pozitiv-definita , atunci x⁽⁰⁾ este punct de maxim relativ pentru f .

Daca matricea hessiana H_f (x⁽⁰⁾) este negativ-definita , atunci x⁽⁰⁾ este punct de minim relativ pentru f .

In celelalte cazuri x⁽⁰⁾ nu este punct de extrem relativ pentru f .

Demonstratie

Daca x⁽⁰⁾ este punct stationar pentru functia f , formula Taylor de mai sus , se scrie :

Notand r x - x⁽⁰⁾ , din aceasta relatie avem :

Fie sfera-unitate S = .

Avem ((x₁-x₁₀) / r ,., (x_n - x_n0 ) / r I S .

Pentru r suficient de mic , termenul R₂(x) / (r ) se poate neglija deci f(x) - f(x⁽⁰⁾)

are acelasi semn cu :

Daca H_f(x⁽⁰⁾) este pozitiv-definita , pentru orice x cu x - x⁽⁰⁾ < e avem H₀(x)>0

deci f(x) > f(x⁽⁰⁾) adica x⁽⁰⁾ este punct de minim relativ pentru f .

Daca H_f(x⁽⁰⁾) este negativ-definita , pentru orice x cu x - x⁽⁰⁾ < e avem H₀(x)<0

deci f(x) < f(x⁽⁰⁾) adica x⁽⁰⁾ este punct de maxim relativ pentru f .

In restul cazurilor, pentru unii vectori x cu x - x⁽⁰⁾ < e avem f(x) > f(x⁽⁰⁾) iar pentru

alti vectori x cu x - x⁽⁰⁾ < e avem f(x) < f(x⁽⁰⁾) deci x⁽⁰⁾ nu este punct de extrem relativ

ci punct-sa . Q.E.D.

Exemplu

Sa se afle extremele functiei y = - 4 x₁³ - 9 x₂³ - x₃³ +12x₁ + 27x₂+12x₃

Solutie

a)      Anulam derivatele partiale de ordinul unu ale functiei f pentru a gasi punctele ei stationare :

y / x₁ = - 12 x₁²+12 = 0

y / x₂ = - 27 x₂²+27 = 0

y / x₃ = - 3 x₁²+12 = 0

Sistemul are 8 solutii de forma ( x₁₀= 1 , x₂₀ = 1 , x₃₀ = 2) adica 8 puncte stationare .

b)      Derivam partial in raport cu x₁,x₂,x₃ fiecare derivata partiala de ordinul unu de la punctul a) si obtinem Hessiana :

Avem minorii principali : Δ₁ = - 24x₁ ; Δ₂ = 1296x₁x₂ ; Δ₃ = - 7776x₁x₂x₃ .

Numai pentru punctul stationar M₁(1,-1,2) avem Δ₁ <0 ; Δ₂ >0 ; Δ₃ <0 deci M₁ este singurul punct de maxim relativ pentru f .

Numai pentru punctul stationar M₂(-1,1,-2) avem Δ₁ >0 ; Δ₂ >0 ; Δ₃ >0 deci M₂ este singurul punct de minim relativ pentru f .

Celelalte 6 puncte stationare nu sunt puncte de extrem relativ pentru f .

Aplicatii

Dreapta de regresie in statistica

Fie in planul R² punctele M₁(x₁,y₁),., M_n(x_n,y_n) . Se cere ecuatia dreptei y=B₀+B₁.x pentru care functia de doua variabile este minima : f(B₀,B₁)= (y₁-B₀-B₁.x₁)²+.+ (y_n-B₀-B₁.x_n)² = minim

(Metoda celor mai mici patrate)

Solutie

Aflam punctele stationare ale functiei f , anuland derivatele partiale de ordinul unu

ale lui f in raport cu B₁,B₀ :

∂ f / ∂B₁ = 2(y₁-B₀ - B₁x₁).(-x₁)+.+ 2(y_n-B₀ - B₁x_n).(-x_n) = 0

∂ f / ∂B₀ = 2(y₁-B₀ - B₁x₁).(-1) + . +2(y₁-B₀ - B₁x₁).(-1) = 0

Acest sistem liniar se numeste sistem de ecuatii normale si are forma :

cu solutia (punctul stationar) :

Derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f sunt :

Matricea hessiana este :

Avem in punctul stationar :

deci avem un punct de minim .

B₁ se numeste coeficient de regresie liniara iar B₀ se numeste termen liber al regresiei .

Stocuri optime cu cerere constanta

Un stoc este o acumulare de bunuri materiale care urmeaza sa fie folosite in productie sau valorificate in consum .

Intensitatea aprovizionarii cu bunuri materiale nu poate fi totdeauna egala cu intensitatea cererii acestor bunuri pentru productie / consum deci se impune necesitatea stocarii lor .

Exemple de stocuri in agricultura

Stocuri de produse agricole vegetale in silozuri ;

Stocuri de produse zootehnice in depozite ;

Stocuri de ingrasaminte,insecticide ,ierbicide la furnizori ;

Stocuri de carburanti si piese de schimb in atelierele mecanice ;

Stocuri de seminte pentru semanat la unitatile producatoare de seminte ;

Stocuri de material seminal pentru insamantari artificiale la animale la unitatile de de profil ;

Stocarea bunurilor materiale , numite conventional si articole , presupune comandarea si transportarea lor in stoc cu costul de aprovizionare c_a (lei / serie) ; aceste bunuri materiale sunt imobilizate in stoc, lipsind din procesul de productie / consum si trebuind ferite de depreciere sau sustragere , deci ele comporta un cost de stocare c_s (lei / articol.unitate de timp ).

Daca intensitatea cererii pentru productie / consum de articole , depaseste intensitatea stocarii acestora , numarul de articole din stoc poate deveni zero , creindu-se penurie de articole cu costul de penurie c_p (lei / articol.unitate de timp ) .

A. Stocuri cu aprovizionare instantanee

Cu privire la modul de aprovizionare cu articole , vom presupune ca aprovizionarea se face instantaneu cu un numar r de articole , r fiind acelasi pentru perioade de timp egale , de lungime t intre doua aprovizionari consecutive adica stocurile sunt cu cerere constanta .

Fie perioada de timp totala de lungime T pentru care exista cererea totala de N articole .

In prima perioada de timp de lungime t se aduc in stoc r = m articole fata de n articole planificate (m ≤ n ) ; aceste m articole consumandu-se in procesul de productie / consum , in urmatoarea perioada de timp de lungime t se aduc alte m articole , etc.

La sfarsitul perioadei de timp totale de lungime T , cererea totala de N articole este integral satisfacuta iar volumul stocului este zero .

Datorita conditiei m ≤ n , rezulta ca exista subperioade de timp de lungime t - u la sfarsitul perioadelor de timp de lungime t , in care volumul stocului ajunge zero (penurie de n - m articole) deci apare costul de penurie c_p (lei / articol.unitate de timp ).

In ipoteza consumului liniar de articole din stoc , volumul stocului evolueaza astfel : in subperioadele de timp [ it ; it+u] stocul scade de la m articole la zero articole iar pe subperioadele de timp [ it +u ; (i+1)t] exista penurie de n - m articole , urmata de o noua aprovizionare cu m articole (i = 0,1,.,k-1) . Aici k este numarul de aprovizionari in serii de cate m articole .

Intensitatea stocarii planificate este m = (n / t) articole / unitate de timp iar a celei realizate este

m = (m / u) articole / unitate de timp .

Intensitatea cererii este λ = (N / T ) articole / unitate de timp .

Vom presupune ca m m = λ adica n / t = m / u = N / T si ca avem k aprovizionari in serii de cate m articole in subintervale de timp de lungime u , asa ca vom avea :

k = T / t = N / n ; T / u = N / m

Costul aprovizionarii cu o serie de m articole este c_a (lei / serie), costul stocarii acestei serii este

(m / 2).u.c_s unde m / 2 este volumul mediu de articole stocate pe perioada de timp de lungime u iar costul penuriei a n - m articole este ((n-m) / 2). (t-u).c_p unde (n - m) / 2 este numarul mediu de articole care lipsesc din stoc pe subperioada de timp de lungime t - u de la sfarsitul perioadei de timp de lungime t .

Costul total al aprovizionarii, stocarii si penuriei pentru cele N articole necesare in perioada de timp totala de lungime T , va fi :

Dar k = N / n ; u = m.(T / N ) si t - u = (n-m).( T / N ) asa ca vom minimiza functia de variabilele n , m a costului total de aprovizionare , stocare si penurie :

Derivam partial in raport cu n si m :

Cu notatia ρ = c_p / (c_s+c_p ) deci 0< ρ < 1 acest sistem are solutia (punctul stationar) :

Se verifica conditiile :

deci in adevar avem un minim .

Valoarea minimului este C(n₀ , m₀) = T.c_s.m₀

Numarul optim de aprovizionari cu n₀ articole planificate va fi : k₀ = N / n₀ .

Lungimea optima a intervalelor de timp intre doua aprovizionari va fi : t₀ = T / k₀

Durata optima a subperioadelor de timp fara penurie va fi : u₀ = ρ.t₀ .

Daca c_s este neglijabil in raport cu c_p , avem ρ → 1 deci m₀ → n₀ si penuria dispare (stocurile sunt cu articole suficiente ) .

In acest caz avem :

Exemplu

La o ferma zootehnica , necesarul anual de furaje concentrate este de N = 200 tone

pentru T = 365 zile . Costul de aprovizionare este c_a = 100 lei / serie iar cel de stocare este

c_s = 5 lei / tona.zi .

Absenta furajelor concentrate duce la cheltuieli suplimentare astfel ca costul de penurie este

c_p = 3.5 lei / tona.zi .

Se cer valorile optime n₀ , m₀ , C(n₀ , m₀) , k₀ , t₀ , u₀ .

Solutie

Avem ρ = c_p / (c_s + c_p ) = 0.875 . Rezulta :

n ₀ = [(2.N.c_a) / (T.c_s ) . (1 / ρ^{1 / 2} ) = 15.83 tone planificate pe serie .

m₀ = ρ.n_o = 13.85 tone realizate pe serie.

C(n₀ , m₀ ) = T.c_s.m₀ = 2527.625 lei .

k ₀ = N / n₀ = 12.63 serii .

t₀ = T / k₀ = 29 zile intre doua aprovozionari succesive .

u₀ = ρ.t₀ = 25.29 zile fara penurie .

B. Stocuri optime cu aprovizionare treptata

Intensitatea ofertei este de m articole / unitete de timp iar intensitatea cererii este de l articole / unitate de timp. Presupunem ca m > l pentru a putea constitui stocul . Fie r = c_p / ( c_s + c_p ) I

Avem t₁ = s ; t₂ = s + u ; t₃ = s + u + t ; t₄ = s + u + t + r .

In intervalul de timp 0 ; t₁ de lungime s , se ofera m s articole si se cer l s articole deci stocul contine (m l )s articole .

In intervalul de timp t₁ ; t₂ de lungime u se consuma in totalitate stocul de (m l )s articole deci :

m l )s = l u

In intervalul de timp t₂ ; t₃ de lungime t se creeaza deficitul de stoc de lt articole .

In intervalul de timp t₃ ; t₄ de lungime r se reia oferta de m r articole si se cer l r articole pina la lichidarea deficitului de stoc asa ca :

l t = (m l ) r

Cheltuielile pe intervalul total de timp 0 ; t₄ de lungime r + t + u + s sunt formate din :

a)      Cheltuieli de lansare a productiei c_a (lei) ;

b)      Cheltuieli medii de stocare egale cu c_s . (m l ) s . (u+s) ) / 2 pe intervalul de timp 0 ; t₂ de lungime u + s .

c)      Cheltuieli medii de penurie c_p.lt.(r + t) / 2 pe intervalul de timp t₂ ; t₄ de lungime r + t .

Cheltuielile totale pe unitatea de timp sunt :

f(s,u,t,r) = c_a + c_s . (m l ) s . (u+s) ) / 2 + c_p.lt.(r + t) / 2 / ( r + t + u + s)

Din relatiile (1) si (2) rezulta : s = l u / (m l) si r = l t / (m l) asa ca avem :

(3) f(u,t) = c_a (m l ml( c_s.u² + c_p.t² ) / 2 m(u + t)

Anuland derivatele partiale f / u = 0 ; f / t = 0 gasim solutia care se dovedeste a fi punct de minim :

Cheltuelile totale minime pe unitatea de timp sunt f₀ = f ( u₀, t₀) .

In cazul cind c_s este neglijabil in raport cu c_p deci r 0 , penuria dispare deci avem t = r = 0 asa ca f(u) = c_a(m l ml.c_pt² / 2 ml) iar f '(u) = 0 are solutia :

care este punct de minim . Valoarea minimului este f₀ = f(u₀)

Exemplu

La o ferma zootehnica avem costul de lansare a bazei furajere c_a = 1200 lei , cel de stocare este

c_s = 0.5 lei / tona.zi iar cel de penurie este c_p = 3.5 lei / tona.zi . Avem m = 0.5 tone / zi si l = 0.4 tone / zi.

Se cer valorile optime u₀ , t₀ , s₀ , r₀ si f₀ .

Solutie

Avem r = c_p / (c_s + c_p ) = 0.875 deci din relatiile (4) rezulta :

u₀ = 45.8 zile ; t₀ = 6.55 zile ; s₀ = 183.2 zile ; r₀ = 26.2 zile .

Valoarea f₀ = f ( u₀ , t₀ ) rezulta din relatia (3) .

Avem t₁ = s₀ = 183.2 zile ; t₂ = s₀ + u₀ = 229 zile ; t₃ = s₀ + u₀ + t₀ = 235.55 zile si

t₄ = s₀ + u₀ + t₀ + r₀ = 261.75 zile .

In intervalul 0 ; 183.2 zile se ofera m s₀ = 96 tone furaje si se consuma l s₀ = 73.28 tone furaje deci in a 183.2 - zi avem stocul de 22.72 tone furaje .

In intervalul 183.2 zile ; 229 zile se consuma in intregime stocul de 22.72 tone furaje .

In intervalul 229 zile ; 235.55 zile se creeaza un deficit de stoc de l t₀ = 26.2 tone de furaje .

In intervalul 235.55 zile ; 261.75 zile se reia oferta de m r₀ = 13.1 tone furaje si se consuma

l r₀ = 10.48 tone furaje iar deficitul de furaje dispare in a 261.75 - zi .

In continuare procesul de oferta si consum se reia cu aceiasi paramatri optimi .

C. Stocuri optime cu cerere aleatoare

In modelul stocurilor optime cu cerere constanta de la punctul 2) s-a presupus ca cererea de r articole pentru a fi depuse in stoc este constanta si egala fie cu numarul n de articole planificate pentru stocuri cu articloe sufuciente fie cu numarul m ≤ n de articole realizate pentru stocuri cu penurie de articole .

Vom presupune mai departe ca cererea r este o variabila aleatoare pe fiecare perioada de timp de lungime t cu densitatea de probabilitate p(r) .

Cererea fiind variabila , in orice perioada de timp de lungime t sunt posibile cazurile :

r ≤ m sau r > m .

Cazul r ≤ m , ilustrat in figura 1 , duce la scaderea liniara a stocului de la m la m - r articole deci avem stocul mediu : [m+(m-r)t] / (2t) = m - (r / 2 )

Cazul r > m , ilustrat in figura 2 , duce la scaderea liniara a stocului de la m la 0 pe subperioada de timp [0 ; u] de lungime u deci avem stocul mediu (mu) / (2t) = (m² ) / (2r ) caci din asemanarea triunghiurilor dreptunghice OAB si ACD din figura 2 , rezulta u / t = m / r deoarece AC = r .

Pe subperioada de timp [u ; t ] de lungime t - u avem penurie de n - m articole deci penuria medie este [(r-m).(t-u)] / (2t) = (r-m)² / (2r) deoarece din relatia de asemanare u / t = m / r rezulta

(t-u) / t = (r-m) / r .

Costul mediu de aprovizionare-stocare-penurie pe perioada de timp de lungime t este :

Valoarea optima m₀ a lui m este data de dubla inegalitate :

C (m - 1) > C (m) < C (m+1)

Dar :

deci cu notatia :

relatia C (m) < C (m+1) devine : c_p < (c_s+c_p).L(m) si cum r = c_p / ( c_s + c_p ) rezulta :

r < L(m) .

In mod analog avem :

deci relatia C (m -1) > C (m) devine : c_p > (c_s + c_p ).L(m-1) adica r > L(m-1) .

Am demonstrat :

Teorema 3

m ₀ este acea valoare a lui m care satisface dubla inegalitate : L(m-1) < r < L(m) .

Exemplu

Un depozit trebuie sa stocheze ingrasaminte chimice pentru un anumit timp.

Cererea de ingrataminte chimice (tone / luna ) este variabila aleatoare X cu repartitia :

Avem c_a = 200 lei / luna ; c_s = 4 lei / tona.luna ; c_p = 36 lei / tona.luna.

Se cere volumul optim m₀ al unei serii de aprovizionare realizate si cheltuielile medii minime C (m₀) de aprovizionare , stocare si penurie .

Solutie

Avem n = 4 ; r

Avem tabelul de calcul :

Aici am folosit notatia :

Avem L(1) =0.845 < ρ = 0.9 < L(2)= 0.950 deci m₀ = 2 tone / serie realizate .

adica C (2) = 212.2 lei = minim .

Functii Douglas-Cobb

Fie x₁ = cheltuieli materiale anuale ; x₂ = cheltuieli cu forta de munca ; y = venitul

anual , toate la cultura porumbului in lei .

Avem y = A₀ x₁^B1x₂^B2 cu 0≤ B₁ , B₂ ≤ 1 si B₁+B₂ ≠ 1 .

Profitul annual este : P(x₁,x₂) = A₀ x₁^B1x₂^B2 - x₁ - x₂ si trebuie sa fie maxim .

Anulam derivatele partiale ale lui P in raport cu x₁ , x₂ :

Rezulta :

adica x₁ / B₁ = x₂ / B₂ de unde x₂ = (B₂ / B₁ ) . x₁ si prima ecuatie a sistemului da :

si x₂₀ = ( B₂ / B₁ ).x₁₀ adica :

Profitul maxim este P_max = A₀ x₁₀^B1x₂₀^B2 - x₁₀ - x₂₀ .

Ca si in exemplul 1) se verifica faptul ca avem un punct de maxim .

5) Optimizarea nivelului preturilor de vinzare ale produselor agricole

Se urmareste maximizarea venitului din vinzarea produselor agricole, a stimularii consumului de produse agricole ca o cale principala de relansare a productiei agricole .

Vom relua optimizarea separata a cate unui produs agricol care a fost prezentata in capitolul 7

apoi vom optimiza ansamblul a doua produse agricole concurentiale.

Cazul unui produs agricol

Fie x pretul de vinzare variabil (lei / Kg) al unui produs agricol , fie y cantitatea variabila din produs , vanduta intr-un interval de timp de lungime T , la pretul de vanzare x si fie z =x.y valoarea variabila in lei a cantitatii vandute la pretul de vanzare x .

Fie x_c pretul de vanzare curent al produsului , fie y_c cantitatea vanduta la pretul de vinzare curent x_c si fie z_c = x_c.y_c valoarea in lei a cantitatii vandute la pretul de vanzare curent x_c .

Fie x_p un pret de vanzare de proba pentru testarea pietii , pentru care avem in acelasi interval de timp de lungime T , cantitatea de produs vanduta y_p si valoarea in lei a cantitatii vandute z_p la pretul de vanzare x_p.

Este clar ca avem functia y = f(x) descrescatoare in raport cu x , datorita limitarii puterii de

cumparare a cumparatorilor potentiali .Avem z = x.f(x) .

Dorim sa calculam pretul de vanzare economic x_e pentru care valoarea in lei a cantitatii vandute z_e = x_e.f(x_e) este maxima .

Daca cantitatea de produs y scade direct proportional odata cu cresterea pretului de vinzare x , cantitatea de produs vanduta are forma y = a.x + 2b cu a < 0 .

Coeficientii a , b se gasesc din conditiile :

y_c = a.x_c + 2b ; y_p = a.x_p + 2b

deci a = (y_p - x_c) / (x_p - x_c) ; b = (x_py_c - x_cy_p) / 2.(x_p - x_c )].

Avem z = x.y = a.x² + 2.b.x deci z = maxim pentru z' = 2a.x + 2.b = 0

asa ca x_e = b / ( - a) deci y_e = b si z_e = x_e.y_e = maxim .

Exemplu

Un vanzator a vandut intr-o piata cu pretul curent x_c = 2.5 lei / Kg in T = 3 zile , o cantitate y_c = 30 kg mere ionatan pentru care a primit suma z_c = 75 lei .

In continuare a vandut la aceeasi piata cu pretul de proba x_p = 3 lei / Kg tot in T = 3 zile , o cantitate

y_p = 25 Kg mere ionatan pentru care a primit suma z_p= 75 lei.Din formulele de mai sus rezulta

a = -10 ; b = 27.5 deci pretul de vinzare economic x_e = 2.75 lei /Kg cu care in T = 3 zile , s-ar vinde cantitatea y_e = 27.5 Kg mere ionatan si s-ar primi suma maxima z_e = 75.625 lei .

Un alt vanzator a vandut in alta piata cu pretul curent x_c = 3 lei / Kg in T = 3 zile , o cantitate y_c = 20 kg mere golden pentru care a primit suma z_c = 60 lei .

In continuare a vandut la aceeasi piata cu pretul de proba x_p = 3.5 lei / Kg tot in T = 3 zile , o cantitate

y_p = 17 Kg mere golden pentru care a primit suma z_p= 59.5 lei.Din formulele de mai sus rezulta

a = - 6 ; b = 19 deci pretul de vinzare economic x_e = 3.17 lei /Kg cu care in T = 3 zile , s-ar vinde cantitatea y_e = 19 Kg mere golden si s-ar primi suma maxima z_e = 60.17 lei .

Cazul a doua produse agricole

Daca cei doi vanzatori ar vinde produsele lor in aceeasi piata , merele ionatan si golden fiind produse concurentiale , valoarea totala a vanzarilor celor doua soiuri de mere este mai mica decat valoarea vanzarilor pentru fiecare soi in parte adica z₁ = (-10x₁² + 55 x₁ ) si respectiv z₂ = (- 6x₂² + 39 x₂ ) , avind forma :

z = (-10x₁² + 55 x₁ ) + (- 6x₂² + 39 x₂ ) + (2 a₁₂ x₁x₂ ) cu a₁₂ < 0 .

Daca cele doua produse ar fi fost complementare (de exemplu mere si pere) am fi avut a₁₂ > 0 .

Valoarea coeficientului de concurenta a₁₂ se determina astfel :

Cei doi vinzatori vand soiurile lor de mere in aceeasi piata cu preturile x_1c = 2.5 lei / Kg mere ionatan si respectiv x_2c = 3 lei / Kg mere golden timp de T = 3 zile si volumul vanzarilor impreuna este z_c = 115.05 lei .Inlocuim pe x₁ cu 2.5 , x₂ cu 3 si z cu 115.05 in relatia (1) si gasim a₁₂ = -1.33 deci valoarea vanzarilor ambelor soiuri de mere in aceeasi piata are forma:

z = (-10x₁² + 55 x₁ ) + (- 6x₂² + 39 x₂ ) + (- 2.66 x₁x₂ )

Anulam derivatele partiale ale lui z in raport cu x₁ si x₂ :

z / x₁ = -20x₁ + 55 - 2 .66x₂ = 0 ; z / x₂ = -12x₂ + 38 - 2.66x₁ = 0

Solutia acestui sistem liniar este x_1e = 2.4 lei / Kg mere ionatan ; x_2e = 2.64 lei / Kg mere golden .

Aceasta solutie este punct de maxim pentru functia z deoarece :

z / x₁² = - 20 < 0 ; z / x₂² = -12 < 0 si z / x₁ x₂ = -2.66 deci :

d z / x₁²). ( z / x₂²) - z / x₁ x₂)]² = (-20).(-12)- (-2.66)² > 0 .

Valoarea maxima a volumului vanzarilor pentru cele doua soiuri de mere impreuna , se obtine

din relatia (2) , inlocuind pe x₁ cu 2.4 si pe x₂ cu 2.64 si gasim z_e = 1169 lei = Maxim.

Valoarea volumului vanzarilor pentru merele ionatan este z₁ = (-10x₁² + 55 x₁ ) + (- 1.33 x₁x₂ )

iar valoarea volumului vanzarilor pentru merele golden este z₂ = (- 6x₂² + 39 x₂ ) + (- 1.33 x₁x₂ )

Pentru x₁ = 2.4 si x₂ = 2.64 avem z_1e = 65.97 lei si z_2e = 52.72 lei iar z_e = z_1e+z_2e =1169 lei.

Volumul vanzarilor pentru merele ionatan este y₁ = (-10x₁ + 55 ) + (- 1.33 x₂ ) iar volumul vanzarilor pentru merele golden este y₂ = (- 6x₂ + 39 ) + (- 1.33 x₁ ) . Pentru x₁ = 2.4 si x₂ = 2.64

obtinem valorile optime ale volumelor vanzarilor : y_1e = 27.49 Kg mere ionatan ; y_2e = 19.97

Kg mere golden .

3 Extreme cu legaturi ale functiilor de n variabile reale

Fie functia reala de n variabile reale y = f (x₁,.,x_n) , f: A Rⁿ B R si fie

functiile auxiliare y = φ_i (x₁,.,x_n) ; φ_i : A Rⁿ R ; (i=1,.,m). Se presupune ca functiile f ; φ₁,., φ_m (m ≤ n) au derivate partiale continue pe A .

In plus functiile auxiliare φ_i se presupun functional independente pe A adica matricea

lor Jacobi J = [ ∂ φ_i / ∂ x_j ] (x) cu m liniii si n coloane , are rangul m pentru orice vector x I A .

Fie D A multimea vectorilor x = (x₁,.,x_n) care anuleaza cele m functii auxiliare :

φ₁ (x₁,.,x_n) = 0

j_m (x₁,.,x_n) = 0

Vectorul x⁽⁰⁾ = (x₁₀,.,x_n0) I A Rⁿ se numeste punct de extrem conditionat pentru

functia f cu legaturile date de relatia (1) , daca el maximizeaza / minimizeaza functia f

si in plus verifica legaturile (1) adica x⁽⁰⁾ ID .

Daca de exemplu in matricea Jacobi J de rang m , este nenul minorul :

D = Det j_i x_j i , j m ) , atunci din legaturile (1) putem afla pe x₁,.,x_m

in functie de x_m+1,., x_n :

x₁ = y (x_m+1,., x_n )

x_m = y_m (x_m+1,., x_n )

In acest caz functia initiala y = f (x₁,.,x_n) devine :

f (x₁,.,x_n) = f y (x_m+1,., x_n ) ,., y_m (x_m+1,., x_n ) ; x_m+1,., x_n = g (x_m+1,., x_n ) .

x⁽⁰⁾ este punct de extrem conditionat pentru functia f cu legaturile (1) daca si numai daca x ⁽⁰⁾ = ( y (x_m+1,0,., x_n,0 ) ,., y_m (x_m+1,0,., x_n,0 ) ; x_m+1,0 ,., x_n,0 ) este punct de

extrem neconditionat pentru functia g (x_m+1,., x_n ) .

Din pacate , obtinerea explicita a relatiilor (2) din relatiile (1) este in general foarte laborioasa deci vom inlocui functia g (x_m+1,., x_n ) cu functia Lagrange :

L (x₁,., x_n ) = f (x₁,., x_n ) - l j (x₁,., x_n ) - . - l_m j_m (x₁,., x_n )

Sunt valabile urmatoarele afirmatii :

Orice punct de extrem conditionat x⁽⁰⁾ al functiei f cu legaturile (1) este punct

stationar al functiei Lagrange adica :

Se procedeaza prin reducere la absurd : daca relatiile (3) nu sunt indeplinite pentru

X⁽⁰⁾ = (x₁₀,.,x_n0 ) , atunci x⁽⁰⁾ nu este punct de extrem conditionat pentru functia f cu legaturile (1) .

Punctele stationare ale functiei Lagrange se afla din sistemul de ecuatii (3) + (1)

adica n + m ecuatii cu n + m necunoscute : x₁,.,x_n ; l l_m

Valorile l l_m se numesc multiplicatori Lagrange si din relatiile (3) rezulta :

Valoarea multiplicatorului Lagrange l_i este egala cu variatia functiei-obiectiv df

provocata de variatia functiei din legatura numarul i cu o unitate : d j _i = 1 .

Din acest motiv multiplicatorii Lagrange l l_m se munesc preturi-umbra sau

costuri de oportunitate prin analogie cu variabilele duale proprii yi din programarea

liniara ( Vezi cap. 6 )

Un vector x⁽⁰⁾ I R^{n - m} este punct stationar al functiei g (x_m+1,., x_n ) daca si numai daca

x⁽⁰⁾ I Rⁿ este punct stationar al functiei Lagrange .

Afirmatiile (1) si (2) dau conditia necesara ca x⁽⁰⁾ sa fie punct de extrem conditionat pentru functia f cu legaturile (1) si anume x trebuie sa fie punct stationar

al functiei Lagrange .

Urmeaza sa stabilim o conditie suficienta ca x trebuie sa fie punct stationar al

functiei Lagrange .

Din legaturile (1) obtinem prin diferentiere :

Relatiile (5) constituie un sistem de m ecuatii independente cu n necunoscute :

dx₁ ,.,dx_m ,dx_m+1 ,.,dx_n ,coeficientii fiind elemente ale matricii Jacobi de rang maxim egal cu m .

Daca avem minorul nenul : D = Det j_i x_j i , j m ) , din sistemul (5) putem afla pe dx₁ ,.,dx_m in raport cu dx_m+1 ,.,dx_n :

dx₁ = c₁ (dx_m+1 ,.,dx_n )

........... (6)

dx_m = c_m (dx_m+1 ,.,dx_n )

Solutiile din relatiile (6) verifica si relatia :

Conditiile suficiente de extrem conditionat pentru functia f cu legaturile (1) sunt echivalente cu conditiile de extrem neconditionat pentru functia g si acestea sunt :

a)      x⁽⁰⁾ I R^{n - m} trebuie sa fie punct stationar pentru functia g adica :

b)      Diferentiala de ordinul doi a lui g in x⁽⁰⁾ :

trebuie sa fie pozitiv definita pentru ca x⁽⁰⁾ sa fie punct de minim si respectiv negativ definita pentru ca x⁽⁰⁾ sa fie punct de maxim .

Mai departe , conditiile a) , b) pentru functia g se transfera functiei Lagrange L

astfel :

Conform afirmatiei 2) conditia a) devine pentru functia Lagrange L :

c)      x⁽⁰⁾ I Rⁿ trebuie sa fie punct stationar al functiei Lagrange adica :

adica relatiile (3) :

la care se asociaza legaturile (1) deci avem n+m relatii satisfacute de n+m solutii :

x⁽⁰⁾ = (x₁₀,.,x_n0 ) si L⁽⁰⁾ = (l₁₀,., l_m0 ) .

Pentru a transfera conditia b) pentru functia g in conditia d) pentru functia Lagrange

L , trebuie sa diferentiem legaturile (1) pentru a obtine relatiile (5) , pe care le rezolvam in raport cu dx₁,.,dx_m obtinand relatiile (6) si in final inlocuim pe dx₁,.,dx_m date de relatiile (6) in diferentiala de ordinul al doilea a lui L .

Avem :

care dup inlocuirea lui dx₁,.,dx_m devine :

Conditia b) devine :

d)      Diferentiala d² L(x⁽⁰⁾) cu variabilele dx_m+1,.,dx_n , trebuie sa fie pozitiv definita

pentru ca x⁽⁰⁾ sa fie punct de minim si respectiv sa fie negativ definita pentru ca x⁽⁰⁾ sa

fie punct de maxim .

Exemple

Se cere extremul functiei f = - x₁² - 2x₂² - 3x₃² +2x₁+4x₂+6x₃ cu legatura :

j = x₁+2x₂+3x₃ -12 = 0

Solutie

Avem functia Lagrange L = f - l j

a)      Anulam derivatele partiale ale lui L in raport cu x₁,x₂,x₃ si adaogam legatura :

L / x₁ = - 2x₁+2 - l = 0

L / x₂ = - 4x₂ +4 -2l

L / x₃ = - 6x₃ +6 -3l

x₁+2x₂+3x₃ -12 = 0

Din primele trei ecuatii aflam pe x₁,x₂,x₃ in functie de l si ii inlocuim in a patra ecuatie .

Obtinem l = -2 de unde x₁₀ = x₂₀ = x₃₀ =2 adica punctul stationar al functiei Lagrange L .

Avem diferentiala de ordinul intai a lui L :

dL = (- 2x₁+2 - l)dx₁+( - 4x₂ +4 -2l)dx₂ + (- 6x₃ +6 -3l)dx₃ s 0 pentru valorile l

si x₁₀ = x₂₀ = x₃₀ =2 .

b)      Diferentiala de ordinul doi a lui L este : d² L = - 2dx₁² -4dx₂² - 6dx₃²

Diferentiem legatura : dx₁+2dx₂+3dx₃ = 0 de unde dx₁ = -2dx₂-3dx₃ pe care il

inlocuim in d²L si obtinem : d² L = - 12x₂² -24x₂x₃ -24x₃² cu Hessiana in x⁽⁰⁾ :

Avem minorii principali : D = -12 <0 ; D = Det(H) = 144 > 0 deci avem un maxim .

Interpretarea lui l

Pentru x₁ variabil si x₂₀ = x₃₀ = 2 avem f = - x₁² + 2x₁ si j = x₁ -2

Avem f / x₁ = - 2x₁+2 ; j x₁ =1 deci pentru x₁=x₁₀ = 2 obtinem :

f / x₁)₀ = -2 si ( j x₁)₀ =1 iar raportul acestor marimi este chiar l

2) Se cere extremul functiei f = - x₁² - 4x₂² - 9x₃² +2x₁+8x₂+18x₃ cu legaturile :

j = x₁+2x₂+3x₃ +3 = 0 ; j = 6x₁+2x₂+3x₃ +30.5 = 0

Solutie

Avem functia Lagrange L = f - l j l j

a) Anulam derivatele partiale ale lui L in raport cu x₁,x₂,x₃ si adaogam legaturile :

L / x₁ = - 2x₁+2 - l l = 0

L / x₂ = - 4x₂ +8 -2l l

L / x₃ = 18x₃ +18 -3l l

x₁+2x₂+3x₃ +3 = 0

x₁+2x₂ +3x₃+30.5 = 0

Din primele trei ecuatii aflam pe x₁,x₂,x₃ in functie de l si l si ii inlocuim in a patra si a cincea ecuatie .

Obtinem l l = 2 de unde x₁₀ = - 5.5 ; x₂₀ = 0.5 ; x₃₀ =0.5 adica punctul stationar al functiei Lagrange L .

Avem diferentiala de ordinul intai a lui L :

dL = (- 2x₁+2 - l l )dx₁+( - 4x₂ +8 -2l l )dx₂ + (18x₃ +18 -3l l = 0)dx₃ s 0 pentru valorile l l = 2 si x₁₀ = - 5.5 ; x₂₀ = 0.5 ; x₃₀ =0.5

b)    Diferentiala de ordinul doi a lui L este : d² L = - 2dx₁² -4dx₂² +186dx₃²

Diferentiem legaturile : dx₁+2dx₂+3dx₃ = 0 si 6dx₁+2dx₂+3dx₃ = 0 de unde aflam pe dx₁ si dx₂ in raport cu dx₃ : dx₁ = 0 ; dx₂ = -1.5 dx₃ pe care le inlocuim im d²L si obtinem : d² L = 9dx₃² .

Cum D = 9 > 0 avem un minim .

Interpretarea lui l

Pentru x₁ variabil si x₂₀ = - 5.5 ; x₃₀ = 0.5 avem f = - x₁² + 2x₁ + 9.75 si

j = x₁ +5.5 ; j = 6x₁ +33

Avem f / x₁ = - 2x₁+2 ; j x₁ =1 ; j x₁ =6 deci pentru x₁=x₁₀ = 5.5 obtinem :

f / x₁)₀ = 13 si ( j x₁)₀ =1 ; ( j x₁)₀ =6 deci se verifica relatia :

f / x₁)₀ = l j x₁)₀ + l j x₁)₀ adica 13 = 1 x 1 + 2 x 6 .

Aplicatii

I) Cilindrul optim

i) Problema primala :

Dintr-o foaie de tabla de suprafata data S=S₀ sa se confectioneze o cutie cilindrica

pentru conserve , de volum maxim .

Solutie

Fie x₁ raza bazei si x₂ generatoarea cilindrului. Suprafata totala a cilindrului este

S=2px₁(x₁+x₂) iar volumul cilindruui este V = px₁²x₂ .

Avem problema de extrem cu legaturi primala :

V = px₁²x₂ = maxim ;

S=2px₁(x₁+x₂) = S₀

Functia Lagrange este L = px₁²x₂ - l px₁(x₁+x₂) - S₀

Anulam derivatele partiale ale lui L in raport cu x₁ si x₂ , si atasam legatura :

L / x₁ = 2px₁x₂ pl x₁ + x₂) = 0

L / x₂ = px₁² - 2plx₁ = 0

px₁(x₁+x₂) - S₀ = 0

Rezolvand acest sistem avem l = (S₀ / 24p)^1/2 si punctul stationar cu componente pozitive : x₁₀ = (S₀ / 6p)^1/2 ; x₂₀ = 2x₁₀ .

Ca si in exemplul 1 ) de mai sus se arata ca acest punct stationar este punct de maxim.

Avem V_max = (S₀³ / 54p)^1/2 de unde se verifica relatia l = dV / dS₀ .

ii) Problema duala :

Dintr-o foaie de tabla ve volum dat V₀ sa se confectioneze o cutie cilindrica pentru

conserve , de arie totala minima .

Solutie

Avem problema de extrem cu legaturi duala :

S=2px₁(x₁+x₂) =minim

V = px₁²x₂ = V₀

Formam functia Lagrange L = px₁(x₁+x₂) - m px₁²x₂ - V₀)

Anulam derivatele partiale ale lui L in raport cu x₁ si x₂ , si atasam legatura :

L / x₁ = 2p(2x₁+x₂ p m.x₁ x₂ = 0

L / x₂ = 2px₁ - p mx₁² = 0

px₁²x₂ - V₀ = 0

Rezolvand acest sistem avem m p / V₀)^1/3 si punctul stationar cu componente pozitive : x₁₀ = (V₀ / 2p)^1/3 ; x₂₀ = 2x₁₀ .

Ca si in exemplul 1 ) de mai sus se arata ca acest punct stationar este punct de minim.

Avem S_min = ( 54pV₀²)^1/3 de unde se verifica relatia m = dS / dV₀ .

In ambele probleme de optimizare avem x₂₀ =2x₁₀ deci cutia cilindrica optima are diametrul bazei cilindrului egal cu generatoarea cilindrului .

II) Grinda dreptungiulara optima

Dintr-un bustean cilindric cu sectiunea circulara de diametru D trebuie cioplita o grinda cu scetiunea dreptunghiulara.

Sa se afle dimensiunile x₁ , x₂ ale sectiunii dreptunghiulare satfel ca rezistenta sa sa fie maxima .

Solutie

Rezistenta grinzii este R = kx₁x₂² unde x₁ este lungimea pe orizontala a setiunii dreptunghiulare iar x₂ este inaltimea pe verticala a sectiunii dreptunghiulare .

Avem legatura : x₁² + x₂² D² .

Problema de extrem cu legaturi are forma :

R = kx₁x₂² = maxim

x₁² + x₂² - D² = 0

Functia Lagrange este : L = kx₁x₂² _- l.( x₁² + x₂² - D² )

Anulam derivatele partiale de ordinul intai ale lui L in raport cu x₁ , x₂ si atasam

legatura :

L / x₁ = kx₂² - 2lx₁ = 0

L / x₂ = 2kx₁x₂ - 2lx₂ = 0

x₁² + x₂² - D² = 0

Din primele doua ecuatii avem : x₁ = l / k ; x₂ = 2^1/2l / k care se inlocuiesc in a treia

ecuatie si rezulta : l = (3)^1/2kD / 3 deci avem punctul stationar :x₁₀ = (3)^1/2D / 3 ;

x₂₀ = (6)^1/2D / 3 .

Ca si in exemplul 1) de mai sus se verifica daptul ca avem un punct de maxim .

Valoarea rezistentei maxime este R_max = 2(3)^1/2kD³ / 9 .

Se vede ca intre dimensiunile sectiunii dreptunghulare optime exista relatia :

x₂₀ = (2)^1/2x₁₀ .

III) Functia Douglas-Cobb cu legaturi

Fie x₁ cheltuielile materiale anuale la cultura porumbului (lei) ; x₂ cheltuielile cu forta de munca anuale la cultura porumbului (lei ) si y venitul anual la cultura porumbului (lei ). Avem functia Douglas-Cobb y = A₀x₁^B1x₂^B2 unde 0 B₁ , B₂ 1 si B₁+B₂

B₁ si B₂ sunt elasticitatile venitului y in raport cu cheltuielile x₁ , x₂ .

Problema de optimizare primala :

Sa se maximizeze venitul cu incadrarea cheltuielilor de productie in suma C₀ .

Avem problema de extrem cu legaturi :

y = A₀x₁^B1x₂^B2 = maxim ;

x₁+x₂ - C₀ = 0

Avem functia Lagrange : L = A₀x₁^B1x₂^B2 - l( x₁+x₂ - C₀ )

Anulam derivatele partiale de ordinul intai ale lui L in raport cu x₁ si x₂ si atasam

legatura :

Din primele doua ecuatii rezulta x₁ / B₁ = x₂ / B₂ si impreuna cu ecuatia a treia dau :

x ₁₀ = (B₁C₀ ) / (B₁ +B₂) ; x ₂₀ = (B₂C₀ ) / (B₁ +B₂) asa ca :

Ca si in exemplul 1) de mai sus se arata ca in adevar avem un punct de maxim .

Problema de optimizare duala

Sa se minimizeze cheltuielile cu garantarea venitului in valoare de cel putin V₀ .

Avem problema de extrem cu legaturi :

y = x₁+x₂ =minim

A₀x₁^B1x₂^B2 = V₀

Avem functia Lagrange : L = x₁ + x₂ - m(A₀x₁^B1x₂^B2 - V₀ )

Anulam derivatele partiale de ordinul intai ale lui L in raport cu x₁ si x₂ si atasam

legatura :

Din primele doua ecuatii rezulta x₁ / B₁ = x₂ / B₂ si impreuna cu ecuatia a treia dau :

Ca si in exemplul 1) de mai sus se arata ca in adevar avem un punct de minim .

4 Metoda Newton-Raphson pentru sisteme neliniare

Punctele de minim / maxim ale functiilor reale de n variabile reale se afla printre punctele lor stationare adica sunt solutii ale unor sisteme neliniare obtinute prin anularea derivatelor partiale de ordinul intai ale functiei .

Pentru rezolvarea unor asemenea sisteme neliniare exista metode de rezolvare iterative .

Una din cele uzuale se numeste metoda Newton-Raphson si o vom prezenta in continuare .

Fie sistemul neliniar de n ecuatii cu n necunoscute x₁,.,x_n :

f₁(x₁,.,x_n) = 0

......

f_n(x₁,.,x_n) = 0

unde functiile f₁,.,f_n au derivate partiale continue pe R ⁿ in raport cu x₁,.,x_{n .}

Cu notatiile X = (x₁,.,x_n )^T , F = (f₁,.,f_n )^T , sistemul neliniar se scrie vectorial :

F(X) = 0 .

Fie α = (α₁ , . ,α_n)^T solutia exacta a sistemului neliniar .

Fie Jacobianul functiilor f₁,.,f_n in raport cu variabilele x₁,.,x_n :

Presupunem ca Det(J(X)) ≠ 0 in sfera S(α , ε ) = deci in aceasta sfera exista matricea inversa J(X)

Fie sirul de vectori definit recurent :

(5) X^(p) X^{(p -1 )} J( X^{(p - 1 ) - 1}.F(X^{(p - 1 )}

cu X⁽⁰⁾ = ( x_1,0,.,x_n,0)^T I S(α , ε ) ; X^(p = ( x_1,p.,x_n,p )^T I R ⁿ .

Pentru convergenta sirului de vectori X^(p) catre radacina

α = (α₁ , . ,α_n)^T a sistemului neliniar , sunt suficiente conditiile :

Fie m numarul de iteratii ale sirului recurent : X⁽⁰⁾, X⁽¹⁾ , ., X^{(m - 1 )} _, X^(m) .

Eroarea postcalculata dupa m iteratii este :

Eroarea de verificare dupa m iteratii este :

Se poate alege acel numar de iteratii m pentru care sunt asigurate valori prestabilite pentru e e

Caz particular

Fie sistemul polinomial patratic :

f₁(X) = X^T.A₁.X +b₁.X +c₁ =0

f_n(X) = X^T.A_n.X +b_n.X +c₁ =0

Pentru alcatuirea Jacobianului J(X) = ∂ f _i / ∂ x _j ; (i,j = 1,2,.,n) folosim relatiile :

Presupunem Det[J(X)]≠0 intr-o vecinatate a solutiei exacte α = (α₁ , . ,α_n)^T I R ⁿ .

Presupunem deasemenea indeplinite conditiile suficiente de convergenta pentru sirul de vectori X^(p) I R ⁿ , mentionate mai sus .

Matricile numerice J(X⁽⁰⁾) , J(X⁽¹⁾) , ., J(X^(m)) care apar in relatiile de recurenta (5) se vor inversa cu programul INVMAT .

Exemplu

Sa se rezolve sistemul patratic :

x₁² +x₂² +x₃² - 1 = 0

2x₁² + x₂² - 4 x₃ = 0

3x₁² +x₃² - 4 x₂ = 0

prin metoda iterativa Newton-Raphson .

Solutie

Luam :

Calculam :

de unde rezulta :

Din relatiile de recurenta (1) rezulta :

Mai departe calculam F(X⁽¹⁾) , J(X⁽¹⁾) si J(X^{(1) - 1} de unde rezulta :

In mod analog din X⁽²⁾ obtinem pe X⁽³⁾ :

In fine dupa m = 4 iteratii avem :

ceace asigura precizia EPS = 0.0001 .

Eroarea postcalculata este : Ep = 0.0000135 iar cea de verificare este EV = 0.0000638

Programul SISPAT face aceste calcule .

In capitolul 10 vom folosi acest program pentru optimizari neliniare .

Rezumat

In acest capitol se defineste functia reala de n variabile reale , se prezinta rolul derivatelor partiale de ordinul unu si doi in studiul functiei , in special la gasirea maximelor si minimelor libere sau cu legaturi ale functiei . Capitolul se incheie cu o metoda iterativa de rezolvare a unui sistem neliniar de ecuatii cu computerul .

Intrebari

Care este rolul derivatelor partiale de ordinul unu in studiul functiei de n variabile reale ?

Care este rolul derivatelor partiale de ordinul doi in studiul functiei de n variabile reale ?

Cum se gasesc maximele si minimele libere sau cu legaturi ale unei functii de n variabile reale ?

Ce aplicatii au stocurile in agricultura ?

7 Bibliografie

Stanasila O. " Analiza liniara si geometrie "Vol. I - II,Editura ALL ,2000 - 2001

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti " Editura CISON,2000

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti - culegerede probleme" Editura CISON,2000

4. Ene D. " Matematici (I) " Editura CERES , 2004

5. Gogonea S. , Ene D. " Analiza numerica " Editura Cartea Universitara , 2005

6. Ene D.,Gogonea S. "Metode numerice" Editura Cartea Universitara , 2005