Consideratii privind rezolvarea sistemelor de ecuatii cu coeficienti in zn

Ne propunem sa prezentam câteva aspecte legate de rezolvarea sistemelor de ecuatii cu coeficienti în Z_n .Pentru început, facem urmatoarele precizari:

(1) Ecuatia ax=b , a, b K, K corp comutativ, are solutie unica în K.

(2) Într-un corp K avem echivalenta : x=y ax=ay, oricare ar fi a K*.Prin urmare, înmultind ambii membri ai unei ecuatii cu un a K*, obtinem o ecuatie echivalenta cu cea initiala.

(3) Toate metodele de rezolvare a sistemelor învatate în clasa a XI a (regula lui Cramer, Gauss)sunt valabile pentru orice sistem de ecuatii liniare cu coeficienti într-un corp comutativ.

(4) Afirmatiile (1) si (2) ramân valabile si într-un inel comutativ , daca a este inversabil .

(5) Daca a nu este inversabil , ecuatia ax=b în inelul A poate avea zero, una sau mai multe solutii.

(6) Într-un inel comutativ A avem valabila doar implicatia: x=y ax=ay, pentru a A*, a neinversabil De aici rezulta ca, înmultind ambii membri ai unei ecuatii cu coeficienti în A cu a A*, a neinversabil, ecuatia obtinuta nu mai este echivalenta cu prima.

(6) Regula lui Cramer se poate aplica pentru sisteme liniare de n ecuatii cu n necunoscute cu coeficienti în inelul comutativ A atunci când determinantul sistemului este inversabil în A.

Având în vedere ca (Z_n , +, *) este corp comutativ daca si numai daca n este numar prim, rezulta urmatoarele reguli practice de rezolvare a sistemelor cu coeficienti în Z_n:

1. Daca n este numar prim , atunci se rezolva sistemul cu oricare din metodele cunoscute.

2. Daca n nu este prim , dar determinantul sistemului este element inversabil în Z_n, atunci aplicam regula lui Cramer.

3. Daca n nu este prim si determinantul sistemului nu este inversabil în Z_n , atunci aplicam metoda reducerii sau substitutiei, încercând , pe cât posibil, sa valorificam (4).Daca acest lucru nu se poate, atunci , la finalul rezolvarii , verificam solutiile obtinute.

Pentru exemplificare prezentam rezolvarile a doua sisteme de ecuatii cu coeficienti în Z_{6 .}

I             Sa se rezolve în Z₆ sistemul: SolutiaI Calculam determinantul sistemului :D = =.Deci, determinantul sistemului este inversabil în Z₆ si putem aplica regula lui Cramer.Avem:D_x ==;D_y = =.Rezulta x =si y =.Prin urmare , solutia sistemului este S =.

SolutiaII(metoda substitutiei) Observam ca, în prima ecuatie, coeficientul lui x este inversabil, inversul luifiind. Deci, îl aflam pe x din prima ecuatie:

..Rezulta:.

Înlocuind în a doua ecuatie, obtinem Deci , solutia sistemului este S=.

SolutiaIII (Metoda reducerii) Ne propunem sa reducem variabila y.Pentru aceasta înmultim ambii membri ai primei ecuatii cusi ai celei de a doua ecuatii cu .Obtinem (S₁): Rezulta.Revenim la prima ecuatie a sistemului.Obtinem .Deci, obtinem perechile si .Dar , la primul pas am înmultit ecuatiile sistemului cu si , respectiv, care nu sunt inversabile în Z₆.Deci, (S₁) nu este echivalent cu sistemul initial.Vom face, prin urmare, verificarea solutiilor.Obtinem solutia sistemului S==.

II. Sa se rezolve în Z₆ sistemul .

Solutie Calculam determinantul sistemului: =.Evident, nu este inversabil în Z_6, deci, nu putem aplica regula lui Cramer. Observam ca , în ecuatia a treia, coeficientul lui x este(deci , inversabil).Atunci aflam x din ecuatia a treia si înlocuim în primele doua.Obtinem:

.

Pentru , obtinem , iar pentru , obtinem .Rezulta S=