Repartitii clasice de probabilitate

Repartitii clasice discrete

Repartitia uniforma discreta pe

X : => M[X]= si D²[X] =

Repartitia binomiala de parametri n si    p

X => M[X]=n∙p si D²[X]=np(1-p)

Repartitia geometrica de parametru p

X : => M[X]= si D²[X]=

Repartitia Poisson de parametru λ>0:

X : => M[X] = D²[X] = λ

Repartitii clasice continue

Repartitia uniforma pe (a,b) are functia de densitate

f(x) = => M[X]= si D²[X]=

Repartitia exponential negativa de parametru λ>0

f(x) = => M[X]= si D²[X]=

Repartitia normala (Gauss) de parametri m>0 si σ (X~N(m,σ

f(x) = => M[X] = m si D²[X] = σ²

. Repartitia uniforma pe (a,b) are functia de densitate

f(x) =

Media variabilei aleatoare X ce are functia de densitate f x) este

M[X] = = = =

Pentru calculul dispersiei folosim tot proprietatea D [X] = M[X ] - M [X], unde

M[X ] = = = =

si deci

D [X] = M[X ] - M [X] =

Exemplu.Presupunem ca intr-o statie de autobuz, vehiculele trec din 3 in 3 minute. Timpul T cat un calator asteapta in statie este o variabila aleatoare repartizata uniform pe intervalul [0, 3].

2.Repartitia exponential negativa de parametru λ>0 are functia de densitate

f(x) =

Media variabilei aleatoare X ce are functia de repartitie f(x) este

M[X]= =

Cum

= 1/∞ = 0

rezulta ca

M[X] = 0 - 0 + λ λ

Pentru calculul dispersiei folosim tot proprietatea D [X] = M[X ] - M [X], unde

M[X ]=

Cum

= 1/∞ = 0

rezulta ca

M[X ] = 0 - 0 + 2 M[X] =

Revenind,

D²[X] = M[X ] - M [X] = =.

De exemplu, variabila aleatoare X ce reprezinta durata de functionare a unei lampi are repartitie exponential negativa.

a)      Repartitia normala (Gauss) de parametri m>0 si σ (X~N(m,σ )) are functia de densitate

f(x) =

Media variabilei aleatoare X ce are functia de repartitie f(x) este

M[X]=

=

=

Dar

I∙I =

unde se face schimbarea de variabila

=>

Jordanianul schimbarii de variabile este

= = r

Deci

I∙I =

De unde

I =

Revenind,

M[X] = = m

Analog, dispersia variabilei aleatoare X este

D [X] =

=

= σ

Tema de casa nr. 11

Fie

a) Sa se verifice ca este densitate de repartitie.

b) Sa se calculeze functia de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze stiind ca variabila aleatoare X are densitatea de repartitie

Fie

a) Sa se determine constanta c astfel incat sa fie densitate de repartitie.

b) Sa se determine functia de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valori intre si

3. Fie .

a) Sa se determine constanta c astfel incat f sa fie densitate de repartitie.

b) Sa se calculeze functia de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze , , .

d) Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente avand densitatea de repartitie f, sa se calculeze

Fie

a) Sa se determine astfel incat F sa fie functie de repartitie.

b) Sa se determine densitatea de repartitie corespunzatoare.

c) Sa se calculeze