CURBE BZIER

CURBE BZIER

Curbe Bezier

Un tip mai interesant de curbe pentru interpolare sunt curbele Bezier. Aceste curbe nu mai au impusa conditia de a trece prin punctele date, cu exceptia primului si ultimului punct. Celelalte puncte servesc la seamarolul formei curbei. Curbele Bezierau, seamana curbelor spline, avantajul ca se scriu mai usor conditiile de netezime.Panta tangentei in primul respectiv in ultimul punct depinde de al doilea respectiv depenultimul punct de seamarol. Intreaga curba are forma:

p(t) = p0 . b0n . (t) + p1 . b1n . (t) +.+ pn . bnn . (t)

in care p0,.,pn sunt punctele de trecere, iar b0n(t),.,bnn(t) sunt polinoamele Bernsteinde ordinul n,definite prin:

bin(t) = n! / [ i! . (n-i)!] . ti . (1-t)n-i cu t I[ 0,1 ].

Exista o formula de recurenta care leaga polinoamele Bernstein de diferite grade: bin(t) = t . bi-1,n-1 (t) + (1-t) . bi,n-1 (t) si care este utilizata de algoritmul de Casteljau pentru a obtine puncte pe segmentele Bezier prin interpolari liniare repetate.

Forma unei curbe Bezier poate fi usor seamarolata. Ea incearca sa se apropiede poligonul ce trece prin punctele de seamarol, denumit poligon de seamarol. Curba va fi intodeauna in interiorul infasuratoarei convexe a tuturor punctelor (figura 5).

Cresterea numarului de puncte de control duce la cresterea numarului si gradului polinoamelor necesare. Acest lucru face ca mici modificari ale punctelor de control sa produca mari modificari ale intregii curbe. De asemenea cresc resursele necesare calcularii polinoamelor. Pentru eliminarea dezavantajelor mentionate, se alatura (concateneaza) mai multe curbe Bezier de ordin scazut. Aceasta alaturare este foarte simpla la curbele Bezier, putandu-se mentine netezimea (figura 6). Ambele curbe din figura 6 sunt ansamblate din doua segmente de gradul trei.

Punctele de seamarol a, b, c, si d realizeaza segmentul 1, punctele d, e, f, si g - segmentul 2. Se observa ca o trecere lina intre segmente in punctul d, se obtine daca punctele c, d si e sunt coliniare. Acest lucru se intampla pentru ca tangenta la curba Bezier in punctul de capat se suprapune peste segmentul de capat.

Utilizarea unei succesiuni de curbe Bezier de ordin mic reduce volumul de calcule, dar se mentine influenta modificarii unui punct de control asupra intregii curbe, chiar daca efectul este mai mic. Motivul rezida in natura polinoamelor Bernstein (figura 7, pentru ordinul 3). Cu exceptia punctelor de capat (t = 0 si t = 1), valorile polinoamelor sunt nenule. Curba rezultanta se obtine prin suprapunerea tuturor polinoamelor Bernstein, multiplicate cu coordonatele x si y ale punctelor de seamarol. Prin aceasta o modificare a unui punct de seamarol are efect asupra intregii curbe. Din figura se mai observa si faptul ca rezultanta va trece prin punctele de capat.

Pentru t = 0 exista b03 = 1, celelalte valori fiind nule, deci intervine doar primul punct, cu ponderea 1. De asemenea, b33 = 1 pentru t = 1 celelalte trei valori fiind nule, deci influenta are doar ultimul punct, cu ponderea 1.

Daca vectorii punctelor de seamarol sunt exprimati in coordonate omogene se obtin curbele Bezier rationale, cu coordonatele punctelor exprimate ca rapoarte de polinoame in t. Se aduce astfel un grad suplimentar de libertate in obtinerea formei curbelor, prin alegerea convenabila a coordonatei omogene a fiecarui vector de seamarol. De exemplu, reprezentarea conicelor (arce de cerc, de elipsa etc. ) nu se poate face exact utilizand curbe Bezier obisnuite, dar este posibila prin curbe Bezier rationale.

Formularea Bzier a unei curbe cubice implica specificarea unei multimi de puncte de control, din care este obtinut polinomul cubic. Aceasta forma rezulta pornind de la anumite functii de baza sau de combinare.

O metoda simpla de obtinere, presupune rescrierea ecuatiilor (2.2) ca o singura ecuatievectoriala:

Q(u) = au3 + bu2 + cu + d (2.3)

sau sub forma matriceala, utilizand 4 puncte de control:

Q(u) U.B.P u u u (2.6)

Doua neajunsuri majore ale curbelor Bzier (efectul global al modificarii pozitiei punctelor de control si relatia dintre gradul curbei si numarul de puncte de control)

Exemplu:

Matricea geometrica este:

G_B = [P1 P2 P3 P4]

unde Pi sunt punctele de control alecurbei

Matricea de baza este:

M_B=

O reprezentarea generala a unei curbe Bzier este

Q(t) = G_B *M_B * T

unde:

G_B - Matricea Geometric_a Bzier

M_B - Matricea de Baz_a Bzier

rezulta:

Q(t) = (1 - t)³ P₁ + 3t(1 - t)² P₂ + 3t²(1 - t)P₃ + t³ P₄

Jonctiunea a doua segmente Bzier

Cele patru polinoame Bernstein:

B_B = M_B * T

Observam:

in t = 0, numai B_B1 > 0 curba interpoleaza P₁

in t = 1, numai B_B4 > 0 curba interpoleaza P₄

Proprietatile curbelor Bzier

• Inclusa in conturul convex al poligonului original
• Interpoleaza capetele (trece chiar prin ele)
• Intuitiva pentru design - urmareste conturul poligonului

Aproximarea prin functii Bezier.

Curbele Bezier (Rogers[93]) realizeaza operatia de aproximare a segmentelor de curba.

Curbele descrise anterior sunt astfel construite incat sunt constranse sa treaca prin punctele de

jonctiune ale segmentelor de curba. Ele sunt determinate definind mai intai un poligon cu colturile, B0, B1 ,B2 B3 . Curba Bezier parametrica asociata se scrie sub forma:

Unde Jn,1(t) este functia Bernstein de baza de ordinul 'n', data de:

Pentru 9 ,.., 2 n = alura acestor functii este urmatoarea:

Foarte des expresiile anterioare se pun sub forma matriceala. Pentru marirea flexibilitatii metodei se poate mari numarul de puncte de definitie a poligonului. Exemple pentru 3 = n si n = 4 sunt date in continuare.

Curba lui Bezier, in grafica computerelor, reprezinta o curba calculata matematic pentru a lega , a conecta puncte separate intr-un plan, tipuri de forme libere si suprafete necesare pentru reprezentarea si ilustrarea programelor si modelelor CAD(Computer Aided Design).

Curbele lui Bezier au nevoie doar de cateva puncte pentru a defini un numar ridicat de forme, de aici aparand si importanta acestora in metodele matematice pentru a aproxima o forma.

Inginerii folosesc CAD-ul pentru a crea desene di- si tri-dimensionale, cum ar fi acelea pentru automobile si parti ale avioanelor , planuri pentru nivele(etaje) si harti.Desi este mai rapid ca un inginer sa creeze initial un desen cu mana, este mult mai eficient sa schimbi si sa procesezi desenele pe computer.

In etapa de design , schitele si grafica computerului sunt combinate pentru a produce modele de obiecte.Designer-i folosesc si testeaza aceste modele pe ecrane video (Video Display Screens) pana ce asigura cea mai buna solutie si balanta a elementelor, incluzand planurile de productie si cost.

In geometria analitica , o curba este definita ca niste puncte, in sistemul de coordonate, ce satisfac un definit ansamblu de conditii.Graficul unei functii este de asemenea descris ca o curba iar intersectia a doua suprafete produc o curba.

Curba lui Bzier este folosita in programe de grafica pentru a ilustra varietati de forme.Artistii grafici misca Handle-ul pentru a crea multe forme diferite, in timp ce capetele raman stationare.(Anchor point).