Compunerea functiilor

Compunerea functiilor

Dandu-se doua functii f : A B, g : B C, definim compunerea lor, g◦f ca fiind o functie definita pe A cu valori in C.

Deci, remarcam de la inceput faptul ca, pentru a putea defini g◦f, trebuie indeplinita conditia ca domeniul de definitie al lui g sa fie acelasi cu codomeniul lui f.

Observatie.

In cazul nostru, functiile cu care vom lucra vor fi liniare (de gradul intai) sau de gradul al doilea, deci domeniile de definitie si codomeniile lor vor fi R.

Subliniem de asemenea, faptul ca, in general compunerea functiilor nu este comutativa. Ea este comutativa in cazul in care f = g.

Probleme rezolvate

Nu prezinta nici o dificultate un exercitiu de compunere a functiilor in expresia carora nu apar ramuri.

Exemplul 1.

Se dau functiile f : R R si g : R R

f(x) = x² + x -1 si g(x) = x² - x + 1. Sa se determine f◦g si g◦f.

Rezolvare

Avem ca (g◦f)(x) = g(f(x)) = (f(x))² - f(x) + 1 = (x² + x -1)² - (x² + x -1) + 1 = x⁴ + 2x³ - 2x² - 3x +3.

In mod analog se calculeaza f◦g.

Exemplul 2.

Se considera functiile f: R R si g: R R, .

Sa se determine g◦f si f◦g.

Metoda de rezolvare 1

Avem : (g◦f)(x) = g(f(x)) = , adica am inlocuit pe x in expresia functiei g cu f(x).

In continuare, in fiecare ramura astfel obtinuta vom inlocui pe f, pe rand cu fiecare din ramurile sale.

Deci, g(f(x)) = =.

La fiecare din cele patru ramuri obtinute, am inlocuit una din cele doua expresii ale lui f si obtinem in plus o inecuatie ( cea de-a doua ) care corespunde ramurii respective din f.

Am obtinut g(f(x)) pe patru ramuri, urmand ca la fiecare ramura sa rezolvam cate un sistem de doua inecuatii.

Astfel, pentru prima ramura, g(f(x)) = (2x - 3 )², daca:

xI ¥

Pentru cea de-a doua ramura, g(f(x)) = 4x - 7, daca : Û nu exista x real care sa verifice conditiile date.

Pentru a treia ramura , g(f(x)) = 49 x², daca, deci nu exista un astfel de x.

Pentru cea de-a patra ramura, g(f(x)) = 14x - 1, daca

Observam ca doua dintre cele patru ramuri s-au eliminat. Asadar, rescriind rezultatele, obtinem:

(g◦f)(x) =.

In acelasi fel se procedeaza pentru f◦g.

(f◦g)(x) = f(g(x))=

.

Evident, prima ramura dispare caci solutia sistemului de inecuatii de la prima ramura este F. Vom avea:

(f◦g)(x) = .

Observatie

Se observa ca,    reunind intervalele din cele trei ramuri, se obtine (obligatoriu!) toata multimea R.

Metoda de rezolvare 2.

Aceasta metoda foloseste graficele celor doua functii.

Sa reprezentam, deci graficele celor doua functii.

Calculam: (g◦f)(x) = g(f(x)) = .

Privim graficul lui f! Cum valorile lui f sunt pe axa Oy, f(x) £ -2 inseamna ca functia are valorile de la -2 la -¥ (de fapt, invers: de la -¥ la -2 !). Este vorba de ramura din stanga lui f(x), adica 2x-3 care, in expresia lui f, corespunde lui x £ 0. Deci, g(f(x))    = (2x - 3)², daca x £

Pentru f(x) > -2, privim pe figura portiunea din graficul lui f pentru care functia ia valori de la -2 la +¥. Aceasta este ramura din dreapta, adica 7x, care corespunde lui x > 0. Deci, g(f(x)) = 27x - 1 = 14x - 1, daca x > 0.

Calculam acum (f◦g)(x) = f(g(x)) = .

Din graficul lui g se observa ca g(x) £ 0 inseamna portiunea din grafic care are (pe Oy) valori mai mici decat zero, adica sub axa Ox. Sub axa Ox este portiunea din ramura 2x -1 si care corespunde valorilor lui x cuprinse intre -2 si ( pe l-am obtinut ca fiind abscisa punctului de intersectie dintre y = 2x - 1 si axa Ox, adica y = 0. Rezolvand acest sistem, rezulta x = .)

Deci, (f◦g)(x) = 2(2x - 1) - 3, pentru x I .

Pentru cazul g(x) > 0, observam ca deasupra axei Ox avem atat ramura din stanga , adica x² cat si o portiune din ramura din dreapta. Ramane sa stabilim intervalele in care x ia valori pentru fiecare situatie de mai sus.

Astfel, observam ca portiunea din parabola corespunde valorilor lui x cuprinse intre -¥ si -2 iar portiunea din dreapta y = 2x - 1,

deasupra lui Ox, corespunde lui x parcurgand intervalul . Asadar,

(f◦g)(x) = .

Observatie

Am folosit, la un moment dat, faptul ca punctele de intersectie a doua curbe (sau, in general, ale graficelor a doua sau mai multor functii) se determina rezolvand sistemul determinat de ecuatiile lor: , sistem in necunoscutele x si y care vor reprezenta abscisa si, respectiv ordonata punctului (punctelor) de intersectie.

Probleme propuse

1. Se dau functiile f: R R    si g: R R, f(x) = si g(x) = x + 1.

Sa se determine g◦f si f◦g.

2. Consideram functiile f: R R, si g: R R, . Sa se determine g◦f si f◦g.

3. Se dau functiile f,g : (0, 1) (0, 1), si . Calculati f◦g si g◦f.

Nota: Fragmentul face parte din volumul "Functia de gradul al doilea. Metode de rezolvare a problemelor", autori Catalin Miinescu si Corina Miinescu, aparuta in 2001 la Editura Dacia, Cluj Napoca.