Conditii suficiente pentru extrem

Conditii suficiente pentru extrem

Asa cum am spus,o functie care satisface ecuatia lui Euler nu este neaparat o valoare extrema a functionalei.Este doar conditia necesara pentru extrem.Prin analogie cu teoria clasica a functiilor,unei functii care satisface ecuatia lui Euler trebuie impuse suplimentar conditiile de a fi efectiv extremul functionalei.In cazul functionalelor,aceste conditii suficiente vor fi obtinute cu ajutorul variatiei de ordinul doi a functionalelor.Mai intai,in urmatoarea teorema,vom obtine forma variatiei de ordinul doi a functionalei de tip integral.

Teorema

Fie o functie care satisface ecuatia lui Euler privind functionala:

Consideram o vecinatate a functiei compusa din functii:

unde este un parametru mic si functiile satisfac conditiile uzuale Daca functionala este calculata pentru o functie apartinand vecinatatii de mai sus,atunci variatia de ordinul doi are expresia:

Demonstratie

Prin calcule directe,obtinem:

Tinand cont ca obtinem:

astfel incat variatia de ordinul doi a functionalei poate fi stabilita dupa cum urmeaza:

(1)

Integram prin parti a doua integrala din (1) ,adica :

Dar si atunci devine:

Introducand aceasta forma a lui in (1) urmeaza:

Sa demonstram ca prima parte a ultimei integrale este egala cu 0.Pornim de la ecuatia lui Euler,folosind derivata in raport cu y,urmeaza:

In final,variatia a doua a functionalei se reduce la:

astfel incat rezultatul dorit este demonstrat.

Folosind variatia a doua a functionalei vom gasi o conditie suficienta pentru extrem.

In teorema urmatoare vom demonstra conditia suficienta pe care trebuie sa o satisfaca functia ,care verifica ecuatia lui Euler,pentru a fi punct de minim pentru functionala I.Rezultatul apartine lui Legendre.

Teorema

Daca variatia a doua a functionalei I este pozitiva pentru orice functie astfel incat ,atunci:

Demonstratie

Conform ipotezei,avem:.

Presupunem ca exista un punct astfel incat :

Din faptul ca ,deducem ca:,deci,este o functie continua.De aceea, este negativa pe intreaga vecinatate a punctului Astfel,putem scrie:

,

unde este un parametru mic.Inegalitatea din ipoteza are loc pentru orice functie care satisface conditia de mai sus.Asta inseamna ca inegalitatea data are loc si pentru

particular,numit

Se observa usor ca prin definitie ,

Prin calcule directe,obtinem:

si similar,

Deci,functia este continua in punctele Folosind consecinta lui Lagrange,se poate demonstra ca functia are derivate in punctele ,dupa cum urmeaza:

si,similar,

Aceste calcule dovedesc ca functia Tinand cont de conditiile de mai sus satisfacute de functia ,rezulta ca satisface toate conditiile din ipoteza teoremei.Deci,trebuie sa avem:

integrala fiind calculata pentru functia apartinand vecinatatii considerate pentru functia Vom dovedi ca este o contradictie.

Pe de alta parte,avem ca:

De asemenea,aceasta functie este definita pe un interval inchis ,astfel incat folosind teorema clasica a lui Weierstrass deducem ca este marginit pe intervalul si exista M dupa cum urmeaza:

Vom contrazice ipoteza :

Intr-adevar ,folosind consideratiile de mai sus,obtinem:

Astfel,considerand,ca de obicei, suficient de mic,variatia a doua a functionalei

devine negativa ceea ce contrazice ipoteza.Teorema e demonstrata.