Definitia axiomatica a probabilitatii

Definitia axiomatica a probabilitatii

Definitia clasica a probabilitatii poate fi acceptata numai in cazul cand numarul cazurilor posibile este finit. Daca numarul evenimentelor elementare este infinit (Card ), atunci exista evenimente pentru care probabilitatea in sensul clasic nu are nici un inteles. Din acest motiv, Kolmogoroff a introdus teoria axiomatica a probabilitatii.

Definitie. Fiind data o multime , o familie de submultimi (numite evenimente) ale lui , se numeste camp borelian sau - camp, daca :

2) Pentru orice si

3) Daca este o familie numarabila de evenimente atunci

De aici se desprind urmatoarele consecinte :

Daca , atunci

Daca atunci .

Observatie. Proprietatile 1-10 ale campului finit de evenimente sunt valabile si in cazul campului borelian.

Definitie. Fiind dat un -camp , se numeste probabilitate functia R, cu urmatoarele proprietati :

1) pentru orice

2) Daca este o familie numarabila de evenimente distincte atunci

3)

Definitie. Tripletul se numeste camp infinit de probabilitate.

Observatie.Proprietatile 1-6 de la definitia clasica a probabilitatii sunt valabile si in plus avem :

2) Daca atunci

3) Daca atunci

Probabilitati conditionate

Sa consideram experiensa aruncarii aruncarii uni zar si sa notam cu A evenimentul care constam in aparitia uneia din fetele 1,2,3, iar cu B evenimentul care consta in aparitia uneia din fetele 2,3,4.

P(A)=P(B)=3/6=1/2

Ne propunem sa evaluam probabilitatea evenimentului B in ipoteza ca A s-a realizat. Aceasta probabilitate o numim probabilitatea evenimentului B conditionata de A si se noteaza cu sau P(B/A).

In ipoteza ca A s-a realizat, inseamna ca a aparut una din fetele 1,2,3; din aceste cazuri numai doua sunt favorabile evenimentului B: 2,3.

Rezulta P(B)=2/3.

Fie o experienta cu un numar finit de cazuri egal posibile.

Notam: n - numarul cazurilor egal posibile ale experientei.

m - numarul cazurilor favorabile evenimentului A.

p - numarul cazurilor favorabile evenimentului B.

q - numarul cazurilor favorabile evenimentului .

Atunci

Dar

si rezulta

Definitie. Probabilitatea evenimentului conditionata de evenimentul , notata sau este data de relatia :

daca

Definitie. Doua evenimente A si B sunt independente daca fiecare dintre ele nu isi modifica probabilitatea in functie de realizarea sau nerealizarea celuilalt, ceea ce inseamna ca

In practica notiunea de independenta comporta doua aspece.

In unele situatii nu este cunoscuta si ea trebuie dovedita.

Exemplu.Se arunca un zar o singura data. Notam:

A aparitia uneia din fetele cu 1,2,3 puncte.

B aparitia uneia din fetele cu 2,3,4,5 puncte.

Cele doua evenimente sunt independente ?

P(A)=1/2 , P(B)=4/6=2/3

P(A si B)=2/6=1/3

P(A si B)=1/3=1/2.2/3=P(A)P(B)

Evenimentele A si B sunt independente.

In cele mai multe cazuri, independenta este necunoscuta, ea reiesind din context.

Exemplu.Sa presupunem ca se arunca doua zaruri, unul de culoare alba, iar celalalt de culoare neagra. Consideram evenimentele:

A apariia fetei cu 4 puncte pe zarul alb;

B aparitia fetei cu 6 puncte pe zarul negru.

Evenimentele A si B sunt independente.

Fie urnele U si U, care contin bile albe si respectibv bile negre.

Notam cu A evenimentul care consta in extragerea unei bile albe din prima urna, iar cu B evenimentul care consta in extragerea unei bile negre din a doua urna. Cele doua evenimente sunt independente.

Tema de casa nr. 9

O urna contine 10 bile albe si 6 bile negre. Din aceasta urna se extrag 2 bile, nepunandu-se inapoi prima bila extrasa.

Se cere:

a)      probabilitatea ca cele doua bile sa fie albe;

b)      probabilitatea ca cele doua bile sa fie negre;

c)      probabilitatea ca prima bila sa fie alba si a doua sa fie neagra;

d)      probabilitatea ca prima bila sa fie neagra si a doua sa fie alba;

e)      probabilitatea ca bilele sa fie de aceeasi culoare;

f)       probabilitatea ca bilele sa fie de culori diferite.

Intr-un lot de 100 de piese 5 sunt diferite. Se aleg la intamplare 5 piese din lot. Care este probabilitatea ca printre piesele alese cel putin una sa fie diferita?

Intr-un container se afla 25 de piese bune si 5 defecte. In alt container se afla 25 de piese bune si 4 defecte. Din fiecare container se ia cate o piesa.

Care este probabilitatea ca:

a)      obtinerii a doua piese bune?

b)      obtinerii a doua piese defecte?

c)      obtinerii cel putin unei piese bune?

d)      Obtinerii a doua piese de acelasi tip (defecte sau bune)?

O urna contine 3 bile albe si 4 bile negre. Din aceasta urna se extrag succesiv doua bile (fara intoarcerea bilei extrase).

Consideram evenimentele:

A: prima bila extrasa este alba; B: a doua bila extrasa este alba.

Care este probabilitatea ca a doua bila extrasa sa fie alba daca prima este alba?

se arunca un zar o singura data si se considera evenimentele:

A: aparitia uneia din fetele 1, 2, 3. B: aparitia uneia din fetele 2, 3, 4, 5.

Sunt aceste evenimente independente?

Da.