REPREZENTAREA PLANULUI

REPREZENTAREA PLANULUI.

1. Tripla proiectie ortogonala a planului. Urmele planului.

Doua plane se intersecteaza dupa o dreapta. Dreptele de intersectie dintre un plan [P] si planele de proiectie poarta denumirea de urmele planului figura 36.a. Urmele planului se noteaza cu majuscule. Urma pe planul orizontal este notata cu P, urma pe planul vertical este notata cu P', iar urma pe planul lateral este notata cu P''. Aceste drepte (urme) apartin atat planului [P] cat si planelor de proiectie. In figura 36.b. sunt prezentate in tripla proiectie ortogonala urmele planului. Punctele de intersectie ale planului [P] cu axele de proiectie sunt notate cu P_x, P_y si P_z.

Fig.36. Urmele planului : a- in spatiu, b- in epura

2. Punct si dreapta apartinand planului.

Punctul M apartine planului [P] daca se afla pe o dreapta apartinand planului. O dreapta apartine planului [P] daca dreapta si planul au doua puncte comune. Daca planul este reprezentat prin urme, dreapta apartine planului daca are urmele pe urmele de acelasi nume ale planului, figura 37.

Fig. 37. Punct si dreapta apartinand planului. a -in spatiu, b- in epura,

Punctele H si V sunt puncte in care dreapta inteapa planul orizontal, respectiv vertical. Aceste puncte apartin atat dreptei cat si planului. Proiectia h apartine urmei orizontale a planului, iar v' urmei verticale a planului.

Determinarea urmelor planului.

Un plan este determinat de :

- trei puncte necoliniare,

- o dreapta si un punct exterior,

- doua drepte concurente,

- doua drepte paralele,

Determinarea urmelor planului se poate face numai cunoscand urmele dreptelor care determina planul, stiut fiind ca urmele dreptei se gasesc pe urmele de acelasi nume ale planului.

a) determinarea urmelor planului cunoscand pozitia a doua drepte concurente, ₁ si ₂, figura 38.

Pentru determinarea urmelor planului cunoscand pozitia a doua drepte concurente in punctul I, vom trasa mai intai urmele dreptelor pe cele doua pla-ne de proiectie si determinam punctele in care aceste drepte inteapa planele de proiectie : h₁, h₂, v'₁, v'₂. Unind proiectiile de acelasi nume ale punctelor vom obtine urmele planului : P, P' si P''.

Fig. 38. Determinarea urmelor planului, _{1 2}, a- in spatiu, b- in epura,

b) determinarea urmelor planului cunoscand pozitia a doua drepte paralele, ₁ II ₂, figura 39.

Pentru determinarea urmelor planului se procedeaza similar cazului anterior.

Fig.39. Determinarea urmelor planului, ₁II₂, a-in spatiu, b-in epura,

Determinarea urmelor planului avand coordonatele a trei puncte necoliniare se reduce la trasarea a doua drepte, unind cate doua puncte, unul fiind comun, ales ca punct de intersectie a dreptelor.

Determinarea urmelor planului cunoscand pozitia unei drepte si un punct exterior ei se reduce la constructia unei drepte paralele cu prima, trasata prin punctul dat, rezultand astfel drepte paralele.

4. Drepte particulare ale planului.

a) dreapta orizontala, sau dreapta de nivel, este paralela cu planul orizontal de proiectie, II [H], figura 3 Dreapta orizontala are proiectia verticala d' paralela cu axa O_x, deoarece toate punctele dreptei au aceeasi cota, (z=ct), implicit, proiectia orizontala va fi paralela cu urma orizontala a planului.

b) dreapta frontala, este paralela cu planul vertical de proiectie, II[V], figura 34. Dreapta frontala are proiectia orizontala d paralela cu axa O_x, deoarece toate punctele dreptei au aceeasi departare, (y=ct), implicit, proiectia verticala va fi paralela cu urma verticala a planului, d'II P'.

c) dreapta de profil, este paralela cu planul lateral de proiectie, II[L], figura 35. Dreapta de profil are proiectia orizontala d paralela cu axa O_y, deoarece toate punctele dreptei au aceeasi abscisa, (x=ct), implicit, proiectia laterala va fi paralela cu urma laterala a planului, d''II P''.

Fig.3 Dreapta orizontala I [P] : a- in spatiu, b- in epura,

Fig.34. Dreapta frontala I[P] : a- in spatiu, b- in epura,

Fig.35. Dreapta de profil I [P] : a- in spatiu, b- in epura,

d) dreapta de cea mai mare panta, este o dreapta apartinand planului [P] care face cel mai mare unghi posibil cu unul din planele de proiectie.

- dreapta de cea mai mare panta fata de planul orizontal de proiectie, figura 36 este perpendiculara pe urma orizontala a planului si pe toate dreptele de nivel apartinand planului.

- dreapta de cea mai mare panta fata de planul vertical de proiectie, figura 37 este perpendiculara pe urma verticala a planului si pe toa-te dreptele frontale apartinand planului.

Dreapta de cea mai mare panta a unui plan determina complet urmele planului.

Considerand dreapta (d,d') din figura 36.b, ca dreapta de cea mai mare panta fata de planul orizontal de proiectie, pentru determinarea urmelor planului [P] prin punctul h se traseaza perpendiculara pe proiectia orizontala d a dreptei, aceasta fiind totodata si urma orizontala a planului, P d. La intersectia urmei orizontale a planului cu axa Ox obtinem punctul Px, iar prin uni-rea acestui punct cu v' obtinem urma verticala P' a planului.

Fig.36. Dreapta de cea mai mare panta fata de planul orizontal. a- in spatiu, b- in epura,

Fig.37. Dreapta de cea mai mare panta fata de planul vertical de proiectie.

Daca dreapta este de cea mai mare panta fata de planul vertical de proiectie, in punctul v' vom trasa perpendiculara pe proiectia verticala d' a dreptei si vom obtine urma verticala P' a planului, figura 37. Prin unirea punctului Px cu punctul h obtinem urma orizontala P a planului.

5.Pozitii particulare ale planului in raport cu planele de proiectie.

5.1. Plane paralele cu planele de proiectie.

a) planul orizontal, [N], sau plan de nivel, este paralel cu planul orizontal de proiectie, [N] II [H], si implicit perpendicular pe planul vertical si planul lateral de proiectie, figura 38.

Urma planului orizontal pe planul orizontal de proiectie se confunda cu acesta, N ≡[ H ]. Urmele pe planul vertical si pe planul lateral sunt in prelungire, paralele cu axele O_x, respectiv O_y. Figurile geometrice apartinand planului orizontal se proiecteaza in adevarata marime pe planul orizontal de proiectie, iar pe planul vertical si lateral proiectiile apartin urmelor N' si N'' sub forma punctelor ( a', b', c'), respectiv ( a'', b'', c'' ).

Fig.38. Planul orizontal : a- in spatiu, b-in epura

b) planul frontal, [F], sau plan de front, este paralel cu planul vertical de proiectie, [F] || [V], si implicit perpendicular pe planul orizontal si planul lateral de proiectie, figura 39.

Urma planului frontal pe planul vertical de proiectie se confunda cu acesta, F' ≡ [V]. Figurile geometrice apartinand planului frontal se proiecteaza in adevarata marime pe planul vertical de proiectie.

Urma orizontala a planului, F, este paralela cu axa O_x, iar urma laterala, F'', este paralela cu axa O_z. Proiectiile orizontale si laterale ale figurilor geometrice sunt situate pe urma F, respectiv F'' ale planului de front.

Fig. 39. Planul frontal : a-in spatiu, b-in epura

c) planul de profil este paralel cu planul lateral de proiectie, [P] || [L], si implicit perpendicular pe planele orizontal si vertical de proiectie, figura 40.

Fig. 40. Planul de profil : a-in spatiu, b-in epura.

Urmele pe planul orizontal de proiectie si pe planul vertical de proiectie sunt in prelungire, paralel cu axele O_y, respectiv O_z. Urma planului de profil pe planul lateral de proiectie este confundata cu acesta, P'' ≡ [L]. Figurile geometrice apartinand planului de profil se proiecteaza in adevarata marime pe planul lateral, iar proiectiile orizontale si verticale apartin urmelor P, respectiv P' ale planului.

5.2. Plane perpendiculare pe planele de proiectie.

a) planul vertical, este un plan perpendicular pe planul orizontal de proiectie, [P] [H], figura 41.

Urmele planului sunt : urma orizontala P, inclinata fata de axa orizontala ; urma verticala P', perpendiculara pe axa Ox si urma laterala P'', perpendiculara pe axa Oy.

Figurile geometrice apartinand planului vertical se proiecteaza defor-mat pe toate cele trei plane de proiectie. Urmele orizontale ale figurilor geometrice apartin urmei orizontale a planului vertical.

Fig. 4.1. Planul vertical : a-in spatiu, b-in epura.

b) planul de capat, este un plan perpendicular pe planul vertical de proiectie, [Q] [V], figura 42.

Fig. 42. Planul de capat : a-in spatiu, b-in epura.

Planul de capat are urma orizontala Q, perpendiculara pe axa Ox ; urma laterala Q'', perpendiculara pe axa Oz, iar urma pe planul vertical de proiectie Q', inclinata fata de axa Ox.

Figurile geometrice apartinand planului de capat se proiecteaza deformat pe planele de proiectie. Urmele verticale ale figurilor geometrice apartin urmei verticale a planului de capat.

c) plan paralel cu linia de pamant, este perpendicular pe planul lateral de proiectie, [R] [L], figura 4

Fig. 4 Plan paralel cu linia de pamant : a-in spatiu, b-in epura.

Planul paralel cu linia de pamant are urma orizontala si urma verticala paralela cu linia de pamant. Urma pe planul lateral este inclinata fata de axele Oy si Oz.

Figurile geometrice apartinand planului paralel cu linia de pamant se proiecteaza deformat pe planele de proiectie. Urmele laterale ale figurilor geometrice apartin urmei laterale a planului.

d) planul axial, este perpendicular pe planul lateral de proiectie si contine axa Ox, figura 44.

Planul axial este un caz particular al planului perpendicular pe planul lateral. Urma orizontala si urma verticala sunt confundate cu linia de pamant, T≡T'≡Ox.

Figurile geometrice apartinand planului axial se proiecteaza deformat pe planele de proiectie.

Fig. 44. Planul axial : a-in spatiu, b-in epura.

6. Pozitia relativa a doua plane.

6.1. Plane concurente.

Doua plane, [P] si [Q], concurente, se intersecteaza dupa o dreapta . Urmele dreptei pe planele de proiectie se afla la intersectia urmelor de acelasi nume a celor doua plane, figura 45.

Urma orizontala a dreptei se afla in punctul H(h,h') de intersectie a urmelor orizontale, P si Q, a celor doua plane, iar cea verticala in punctul V(v,v') de intersectie a urmelor verticale, P' si Q', a planelor. Unind punctele h si v rezulta urma orizontala d a dreptei, iar prin unirea punctelor h' si v' rezulta urma verticala d' a dreptei.

Fig.45. Plane concurente, (cazul general) : a-in spatiu, b-in epura.

Cazul particular de intersectie dintre un plan orizontal, (de nivel), [N] cu un plan oarecare [P] este prezentat in figura 46. Dreapta de intersectie dintre cele doua plane este o dreapta orizontala, (d,d'), a carei urma orizontala este paralela cu urma orizontala a planului [P], d || P.

Fig. 46. Plane concurente, [N] [P] : a- in spatiu, b-in epura.

Fig. 47. Plane concurente, [F] ∩ [P] : a- in spatiu, b- in epura.

Intersectia dintre un plan de front [F] si un plan oarecare [P] este prezentata in figura 47. Dreapta de intersectie dintre cele doua plane este o dreapta frontala, (d,d'), a carei urma verticala este paralela cu urma verticala a planului [P], d' || P'.

In cazul in care urmele verticale si orizontale ale planelor concurente nu se intersecteaza in cadrul epurei dreapta de intersectie se determina cu ajutorul a doua plane de nivel auxiliare,[N1] si [N2], figura 48.

Fig.48. Determinarea dreptei de intersctie in cazul

in care urmele planelor nu se intalnesc in epura.

Planul auxiliar [N1] intersecteaza planul [Q] dupa dreapta orizontala ₁(d₁,d₁') si planul [P] dupa orizontala ₂(d₂,d₂'), drepte care au urma verticala confundata, iar urmele orizontale paralele cu urmele planelor :

d₁'≡d₂' ; d₁ || d₃ || Q ; d₂ || d₄ || P ;

Punctul de intersectie dintre d₁ si d₂ este punctul m apartinand dreptei de intersectie a planelor. Similar se obtine punctul n. Unind punctele m si n se obtine urma orizontala d a dreptei. Ducand liniile de ordine verticale obtinem punctele m' si n', iar prin unirea lor urma verticala d' a dreptei de intersectie.

6.2. Plane paralele.

Fig. 49. Plane paralele : a- in spatiu, b-in epura.

Doua plane, oarecare, [P] si [Q], paralele intre ele au urmele de acelasi nume paralele, figura 49.

P || Q ; P' || Q'

7. Pozitiile relative ale dreptei fata de plan.

Cazul dreptei apartinand planului este prezentat in subcapitolul 2, figura 37.

7.1. Dreapta paralela cu planul.

O dreapta este paralela cu un plan, daca este paralela cu o dreapta apartinand planului. Fiind dat planul [P] si un punct oarecare M(m,m'), exterior planului, prin acesta putem construi o infinitate de drepte paralele cu planul. Vom alege o dreapta oarecare (t,t') apartinand planului [P]. Prin punctul M(m,m') se va trasa dreapta (d,d') paralela cu dreapta (t,t'), adica : d || t si d' || t', figura 50.

Fig.50. Dreapta paralela cu planul.

7.2. Dreapta concurenta cu planul.

O dreapta (d,d'),oarecare, intersecteaza planul [P] intr-un punct I(i,i'). Pentru determinarea punctului de intersectie vom trasa mai intai urmele planului [P], (P, P') si urmele dreptei (d,d'). Consideram un plan proiectant [Q], de capat, [Q] [V], care contine dreapta . Dreapta de intersectie dintre planul [P] si planul [Q] este dreapta (t,t'). Punctul de intersectie dintre drepta (t,t') si dreapta (d,d') este punctul cautat, I(i,i'), figura 51.

Fig. 51. Dreapta concurenta cu planul : a-in spatiu, b-in epura.

In cazul in care planul este determinat de figuri geometrice, figura 52, de exemplu trei puncte A(a,a'),B(b,b'),C(c,c'), punctul de intersectie cu dreapta (d,d') se determina similar cazului precedent. Se considera planul vertical [P] care trece prin dreapta (d,d'). Acest plan va intalni planul triunghiului in punctele (1,1') si (2,2') ; la intersectia urmei d' cu urma 1'2' re-zulta puncrtul i' . Ducand o linie de ordine orizontala la intersectia cu urma d obtinem punctul i.

Fig.52. Dreapta concurenta cu un plan determinat de trei puncte.

8. Drepte si plane perpendiculare.

8.1. Dreapta perpendiculara pe plan.

O dreapta este perpendiculara pe un plan, daca este perpendiculara pe orice dreapta apartinand planului, figura 5 Pentru determinarea urmelor dreptei consideram un plan vertical care contine dreapta . Acest plan este perpendicular si pe planul [P], deoarece contine o dreapta perpendiculara pe plan. Prin urmare dreapta de intersectie dintre cele doua plane va fi perpendiculara pe urma orizontala a planului [P], dreapta care este si urma orizontala a dreptei . Daca consideram un plan perpendicular pe planul vertical, continand dreapta , vom obtine urma verticala a dreptei perpendiculara pe urma verticala a planului, figura 5b. Concluzionand, urmele dreptei sunt perpendiculare pe urmele de acelasi nume ale planului,(si reciproc). Pentru determinarea urmelor dreptei vom considera drepte particulare continute in plan, orizontale si frontale.

Fig.5 Dreapta perpendiculara pe plan : a-in spatiu, b-in epura.

Astfel, pentru determinarea urmelor dreptei , perpendiculara pe planul [P] intr-un punct oarecare, M(m,m'), consideram o orizontala (d₁,d₁'), si o frontala (d₂, d₂'), continute in planul [P], figura 54

Fig. 54. Dreapta perpendiculara pe plan. D [P]

8.2. Plan perpendicular pe o dreapta.

Cunoscand urmele dreptei (d,d'), trasam urmele planul [P] perpendicular pe dreapta , in punctul A(a,a'), exterior dreptei, figura 55.

Fig.55. Determinarea urmelor planului perpendicular pe dreapta.

Consideram dreapta orizontala (t,t'), apartinand planului, prin punctul A(a,a'), in asa fel incat proiectia orizontala t sa fie perpendiculara pe d. Obtinem punctele v si v'. Prin v' tra-sam urma verticala P' a planului, perpendiculara pe d'. Rezulta punctul Px, prin care vom tra-sa urma orizontala P a planului, paralela cu urma t a orizontalei, deci implicit perpendiculara pe urma d a dreptei.

8. Plane perpendiculare.

Doua plane sunt perpendiculare daca o dreapta continuta in unul din plane este perpendiculara pe celalalt plan.

Cunoscand urmele planului [P], si un punct A(a,a'), exterior planului, construim urmele planului [Q], perpendicular pe planul [P], prin punctul A. Trasam urmele dreptei (d,d'), perpendiculara pe planul [P], prin punctul A, si consideram dreapta , apartinand planului [Q], figura 56. Prin punctul h trasam urma orizontala Q a planului. Punctul Qx se alege arbitrar pe axa Ox, deci problena are o infinitate de solutii. Unind punctele Qx si v' obtinem urma verticala Q' a planului.

Fig. 56. Determinarea urmelor planlui perpendicular pe alt plan.[Q] [P]

8.4. Plan perpendicular pe alte doua plane.

Fie planele [P] si [Q], secante. Planul [S], perpendicular pe cele doua plane, este perpendicular si pe dreapta de intersectie a celor doua plane, figura 57.

Fig. 57. Plan perpendicular pe alte doua plane. a-in spatiu, b-in epura.

Prin punctul A(a,a') trasam frontala (f,f'), si obtinem punctul (u,u'). Prin u trasam urma S d, iar prin Sx, obtinut, S' d'

8.5. Perpendiculara comuna a doua drepte.

Perpendiculara comuna a doua drepte determina distanta minima dintre acestea. Condiderand dreptele si , disjuncte, distanta minima dintre acestea este data de perpendiculara comuna MN, figura 58.

Fig. 58. Perpendiculara comuna a doua drepte, in spatiu.

Fig.59. Perpendiculara comuna a doua drepte. In epura.

Pentru determinarea distantei MN in epura se parcurg urmatorii pasi :

1- prin punctul oarecare I, apartinand dreptei , se traseaza dreapta , paralela cu dreapta

2- se traseaza urmele planului [P] determinat de dreptele si

3- dintr-un punct A, oarecare, apartinand dreptei se traseaza perpendiculara pe planul [P], rezultand punctul B ;

4- trasand prin B paralela la dreapta , obtinem punctul N la intersectia cu dreapta  ; trasand paralela la dreapta prin punctul N, obtinem punctul M la intersectia cu dreapta , figura 59.

9. Probleme rezolvate si probleme propuse pentru rezolvare referitoare la plan.

Probleme rezolvate.

Problema 1.

Sa se determine urmele planului determinat de punctele A(95, 50, -10), B(50, 5, 20), C (5, 15, -25).

Rezolvare.

Urmele planului sunt determinate de urmele a doua drepte concurente intr-un punct. ( vezi subcapitolul 3).

Fig. 60. Epura planului. (problema 1)

Se vor trasa proiectiile a doua drepte determinate de perechi de puncte, unul dintre puncte fiind comun celor doua drepte. Pentru aceasta se reprezinta in dubla proiectie ortogonala punctele A(a,a'), B(b,b'), C(c,c'), figura 60. Dreapta (d₁,d'₁) este determinata de punctele A si B, iar dreapta (d₂,d'₂) este determinata de punctele B si C. Urmele dreptelor pe planele de proiectie sunt H₁(h₁,h'₁), V₁(v₁,v'₁) respectiv H₂(h₂,h'₂), V₂(v₂,v'₂). Unind punctele h₁-h₂ obtinem urma orinzontala P a planului; unind punctele v₁-v₂ obtinem urma verticala P' a planului. Cele doua urme intalnesc linia de pamant in punctul P_x.

Problema 2.

Se dau punctele A(60,20,25), B(15, -15,60) si C(80, -50,40).

Sa se determine:

- urmele planului [P] definit de punctele A, B si C,

- urmele planului [Q] II [P], care contine punctul M(50,30,20).

Rezolvare.

Reprezentam in dubla proiectie ortogonala punctele A, B, C, figura 61. Prin aceste puncte trasam dreapta determinata de punctele A si B, si dreapta determinata de punctele A si C.

Fig. 61. Epura planului.(problema 2)

Cele doua drepte sunt concurente in punctul A. Urmele dreptelor pe planele de proiectie determina urmele planului. ( vezi subcapitolul 3).

Dreapta are urma verticala V₁(v₁,v'₁) si urma orizontala H₁(h₁,h'₁). Pentru dreapta , (in acest caz) determinam numai urma verticala V₂(v₂,v'₂). Unind punctele v'₁-v'₂ obtinem urma verticala P' a planului; la intersectia P' cu linia de pamant obtinem punctul P_x. Unind P_x cu punctul h₁ obtinem urma orizontala P a planului.

Pentru determinarea urmelor planului [Q] II [P] trebuie sa consideram dreapta , care contine punctul M(m,m'), si este paralela cu o dreapta apartinand planului [P], astfel vom trasa II , ( d₃ II d₁ si d'₃ II d'₁). Prin urmele v'₃ si h₃ trasam urmele planului Q : Q' II P' si Q II P. ( vezi subcapitolul 6.2)

Problema

Se da dreapta definita de punctele A(55, -15, 40) si B(5, 45, 0), si dreapta II , prin punctul M(35, 20, 10).

Sa se traseze urmele planului determinat de cele doua drepte.

Rezolvare.

Reprezentam in dubla proiectie ortogonala punctele A si B si trasam proiectiile dreptei (d₁,d'₁). Prin punctul M(m,m') trasam d₂IId₁ si d'₂IId'₁, figura 62.

Fig. 62. Problema Reprezentarea in epura.

Determinam urmele dreptelor, rezultand perechile de puncte: H₁(h₁,h'₁), V₁(v₁,v'₁) si H₂(h₂,h'₂), V₂(v₂,v'₂). Unind urmele dreptelor din plan orizontal respectiv vertical obtinem urmele planului.

Problema 4.

Se dau punctele P_x (70, 0,0), H₁(55,10, 0), V₁(60, 0, 15) care determina planul [P], si punctele H₂(25,20,0) si V₂(45,0,25) care determina dreapta

Sa se determine:

-urmele planului [Q] determinat de dreapta stiind ca aceasta este linie de cea mai mare panta fata de planul orizontal,

- dreapta de intersectie dintre cele doua plane,

Rezolvare.

Deoarece punctele H₁ si V₁ apartin planelor de proiectie, iar punctul P_x apartine liniei de pamant, (adica ambelor plane) urmele planului [P] sunt determinate unind punctele P_x-h₁ respectiv P_x -v₁, figura 6 Trasam urmele dreptei (d₂,d'₂) prin punctele H₂(h₂,h'₂) si V₂(v₂,v'₂). Punand conditia ca aceasta dreapta sa fie linie de cea mai mare panta fata de planul orizontal, (vezi subcapitolul 4) prin punctul h₂ trasam urma orizontala Q a planului cautat. La intersectia cu linia de pamant obtinem punctul Q_x, unind acest punct cu punctul v'₂ obtinem urma verticala Q' a planului.

Dreapta de intersectie dintre planele [P] si [Q] este dreapta (d,d'). Urma verticala a dreptei este punctul v' de intersectie a urmelor celor doua plane, iar urma orizontala a dreptei este punctul h, determinata similar.

Fig. 6 Problema 4. Reprezentarea in epura.

Problema 5.

Se da dreapta determinata de punctele A(45,10,20) si B(15,25,20).

Sa se traseze urmele planului [P] stiind ca dreapta este o dreapta orizontala apartinand planului si ca planul trece prin punctul M(55,0,40).

Sa se traseze prin punctul A dreapta frontala F(f,f') apartinand planului [P].

Rezolvare.

Proiectiile dreptei sunt (d,d'), iar urma in plan vertical este V(v,v'). Dreapta fiind paralela cu planul orizontal nu lasa urma pe acesta, figura 64.

Punctul M(m, m') apartine planului vertical, prin urmare unind punctul m' cu punctul v' obtinem urma verticala P' a planului. La intersectia cu axa O_x obtinem punctul P_x. Proiectia orizontala a planului este paralela cu proiectia orizontala a dreptei, PIId, (vezi subcapitolul .4).

Dreapta frontala F(f,f'), are urma verticala f'IIP' prin punctul m', iar urma orizontala fIIO_x prin punctul m.

Fig. 64. Problema 5. Reprezentarea in epura.

Problema 6.

Se dau punctele P_X(45,0,0), H(10,15,0), V(30,0,10).

Sa se traseze dreapta de intersectie dintre planul [P] determinat de cele trei puncte si primul plan bisector [B₁].

Rezolvare.

Intrucat punctele date apartin planelor de proiectie trasam urmele planului [P] prin unirea acestora, figura 65.

Urma orizontala si urma verticala a primului plan bisector se confunda cu linia de pamant, B₁≡B'≡O_x . Urma pe planul lateral este dreapta B'', inclinata la 45 fata de axe. Dreapta de intersectie dintre cele doua plane inteapa planul lateral in punctul A(a,a',a"). Unind acest punct cu punctul P_x obtinem proiectiile (d,d',d") ale dreptei de intersectie.

Fig. 65. Problema 6. Reprezentarea in epura.

Problema 7.

Sa se reprezinte planul [P] [B₁].

Rezolvare.

Doua plane sunt perpendiculare daca o dreapta continuta in unul din plane este perpendiculara pe celalalt plan, (vezi subcapitolul 4.8.3)

Fig. 66. Problema 7. Reprezentarea in epura.

Astfel, consideram dreapta (d,d') apartinand primului bisector. Dreapta are proiectiile simetrice fata de axa O_x, figura 66. Trasam urma orizontala a planului P d, rezulta punctul P_x prin care ducem P' d'. Problema are o infinitate de solutii, deoarece dreapta poate ocupa orice pozitie in primul plan bisector, iar urmele planului pot fi trasate prin oricare punct apartinand dreptei.

Problema 8.

Sa se determine proiectiile dreptei de intersectie dintre un plan definit de doua drepte concurente si primul plan bisector.

Rezolvare.

Dreapta de intersectie dintre cele doua plane este determinata de punctele in care cele doua dreapte intersecteaza primul plan bisector.

Planul este definit de dreptele (d,d') si T(t,t') care se intersecteaza in punctul I(i,i'), figura 67. Punctele de intersectie cu primul plan bisector rezulta dupa constructia dreptelor simetrice si sunt M(m,m') pentru dreapta , respectiv N(n,n') pentru dreapta T.

Unind punctele de acelasi nume obtinem dreapta L(l,l') de intersectie a celor doua plane.

Fig. 67. Problema 8. Reprezentarea in epura.

Problema 9.

Sa se determine proiectiile dreptei de intersectie dintre un plan definit de doua drepte concurente si un plan vertical.

Rezolvare.

Intersectia celor doua plane este o dreapta care este determinata daca se cunosc doua puncte apartinand acesteia.

Avem planul [P] determinat de proiectiile dreptelor (d,d') si T(t,t'). Urmele planului ver-tical, ( [V] [H] ), sunt (V, V'), figura 68.

Dreapta de intersectie dintre cele doua plane are proiectia orizontala confundata cu urma orizontala V a planului vertical, fiind o dreapta apartinand si acestui plan. Intersectia proiectiei orizontale d a dreptei cu urma orizontala V a planului vertical este punctul m; similar obtinem punctul n pentru dreapta T. Trasand liniile de ordine verticale obtinem la intersectiile cu d' respectiv t' punctele m' si n'. Unind punctele de acelasi nume obtinem drepta de intersectie L(l,l').

Fig. 68. Problema 9. Reprezentarea in epura.

Problema 10.

Sa se determine punctul de intersectie dintre o dreapta orizontala si un plan vertical.

Rezolvare.

Punctul I(i,i') de intersectie dintre plan si dreapta are proiectia i pe planul orizontal apartinand urmei orizontala a planului, figura 69.

Trasand o linie de ordine verticala din punctul i la intersectia cu proiectia d' a dreptei obtinem punctul i'.

Fig. 69. Problema 10. Reprezentarea in epura.

Problema 11.

Se da dreapta (d,d') determinata de punctele A(45, 25, 50) si B(10, 35, 40) si planul [P] determinat de punctele: P_x(20, 0, 0), P_H(60, 25, 0), P_V(60, 0, 35).

Sa se determine planul [Q] care contine dreapta si este perpendicular pe planul [P].

Rezolvare.

Doua plane sunt perpendiculare daca o dreapta continuta in unul din plane este perpendiculara pe celalalt plan.

Fig. 70. Problema 11. Reprezentarea in epura.

Astfel, dintr-un punct apartinand dreptei vom construi o dreapta perpendiculara pe planul [P].

Construim dreapta T(t,t') [P] prin punctul B(b,b'); ( t P, t' P'), figura 70. Planul [Q] este definit de dreptele si T care sunt concurente in punctul B.

Problema 12.

Se da dreapta (d,d') verticala in punctul M(25, 35, 0) si planul [P] definit de punctele: P_x(60, 0, 0), P_H(0, 45, 0), P_V(0, 0,55).

Sa se determine punctul de intersectie dintre dreapta si plan.

Rezolvare.

Pentru a determina punctul de intersectie dintre dreapta (d,d') si planul [P] consideram un plan auxiliar (Q,Q'), vertical in acest caz, care contine dreapta , figura 71.

Dreapta de intersectie dintre cele doua plane este T(t,t'). Punctul de intersectie cautat i' se afla in plan vertical la intersectia proiectiilor d' si t'. In plan orizontal punctul i de intersectie se confunda cu departarea punctului m si cu urma orizontala a dreptei d, m≡d≡i.

Fig. 71. Problema 12. Reprezentarea in epura.

Probleme propuse pentru rezolvare.

Problema 1.

Sa se traseze urmele planului determinat de punctele A(65, 35, 15), B(45, 10, 25), C ( 35, 20, -15).

Problema 2.

Se da dreapta definita de punctele A(30, 45,10) si B(55,10,30) si un punct C(75,35,10).

Sa se traseze urmele planului determinat de dreapta si punctul C.

Problema

Se da dreapta definita de punctele A(55,10,15) si B(35,-10,60) si dreapta TII prin punctul C(30,5,45).

Sa se traseze urmele planului determinat de cele doua drepte.

Problema 4.

Se da punctul Q_x(35,0,0) si dreapta definita de punctele H(55,-30,0) si V(30,0,-20).

- sa se traseze urmele planului [P] determinat de dreapta stiind ca aceasta este linie de cea mai mare panta fata de planul vertical de proiectie,

- sa se traseze urmele planului vertical [Q], care contine punctul Q_x si are urma orizontala Q paralela cu urma orizontala a planului [P], QIIP,

- sa se determine dreapta de intersectie dintre cele doua plane,

Problema 5.

Se da planul [P] determinat de punctele: P_X(45,0,0), H(25,10,0), V(25,0,20) si un punct exterior A(60,15,5).

Sa se determine planul [Q] care contine punctul A si se intersecteaza cu [P] dupa o dreapta continuta in planul bisector doi [B II].

Problema 6.

Se da planul [P] este definit de dreapta determinata de punctele H(5,40,0) si V(45,0,60), care este l.c.m.m.p. fata de [V], si planul [Q] definit de punctul A(40,10,45) si orizontala N determinata de punctele B(50,0,25) si C(90,40,z_C).

Sa se determine dreapta de intersectie dintre planele [P] si [Q].

Problema 7.

Sa se reprezinte planul [P] [B₂].

Problema 8.

Sa se determine proiectiile dreptei de intersectie dintre un plan definit de doua drepte concurente si al doilea plan bisector.

Problema 9.

Sa se determine proiectiile dreptei de intersectie dintre un plan definit de doua drepte concurente si un plan de capat.

Problema 10.

Sa se determine punctul de intersectie dintre o dreapta verticala si un plan de capat.

Problema 11.

Se da planul [P] determinat de punctele P_X(130,0,0), H(60,40,0) si V(100,0,20) si un punct exterior A(40,20,25).

Sa se duca prin punctul A dreapta II[P].

Problema 12.

Se da dreapta frontala F determinata de punctele A(115,15,-10) si B(40,y_B,65) si dreapta T determinata de punctele C(5,-15,50) si D(65,25,15).

Sa se determine:

- urmele planului [P] determinat de dreapta frontala F si punctul P_x(120,0,0),

- urmele planului [Q] determinat de dreapta T stiind ca aceasta este linie de cea mai mare panta fata de planul vertical de proiectie,

- dreapta de intersectie dintre planele [P] si [Q],

Problema 1

Se dau punctele: A(80,40,50), B(110,20,40), C(70,y_C,0), H(130,40,0), M(50,0,50), N(130,90,10), T(140,70,-10) si Q_X(20,0,0).

Sa se determine:

- valoarea departarii y_C punctului C pentru ca dreptele AH si BC sa fie concurente,

- urmele planului [P] determinat de dreptele AH si BC,

- urmele planului [Q] determinat de punctele Q_X, M si N,

- dreapta de intersectie dintre planele [P] si [Q],

- punctul de intersectie dintre dreapta MT si [P],

Problema 14.

Se dau punctele: P_X(170,0,0), A(120,0,80), B(80,50,40) si C(20,0,90). Sa se determine:

- urmele planului [P] determinat de punctele P_X, A si B,

- urmele planului [Q]II(O_x), stiind ca dreapta BC I [Q],

- dreapta de intersectie [P]∩ [Q],

- punctul de intersectie dintre o dreapta verticala in punctul C si [P],

Problema 15.

Se da punctul M(65,25,35).

Sa se traseze prin acest punct o dreapta orizontala care face un unghi de 60 cu planul vertical de proiectie [V].

Sa se traseze urmele planului [P] [H], care contine dreapta orizontala.

Sa se traseze dreapta [P] in punctul M.

Problema 16.

Se dau: dreapta orizontala care trece prin punctul A(65,20,15) si face un unghi de 30 cu planul [V] si dreapta orizontala care trce prin punctul B(25,10,35) si face tot un unghi de 30 cu [V].

Sa se traseze:

- urmele planului [P] determinat de cele doua drepte,

- dreapta de intersectie dintre planul [P] si primul plan bisector [B I],

Problema 17.

Se dau o dreapta orizontala si o dreapta frontala apartinand planului [P]. Stiind ca dreapta orizontala trece prin punctul A(15,25,45) si ca dreapta frontala trece prin punctul B(30,20,25) facand un unghi de 60 cu planul [H] sa se determine urmele planului [P].

Problema 18.

Se da planul [P] determinat de punctele O_x=50, O_y=60, O_z=70.

Sa se traseze linia de cea mai mare panta, apartinand planului [P], printr-un punct care are departarea y_c=25.