Derivate partiale de ordin superior

Derivate partiale de ordin superior

Fie o functie reala definita pe . Se presupune ca functiile si sunt definite pe si ca au derivate partiale pe . Atunci exista urmatoarele derivate partiale de ordinul II:

Functiile    , se numesc derivate mixte de ordinul II.

O functie de    variabile poate avea derivate partiale de ordinul doi, , .

Enuntam urmatoarele teoreme:

Teorema 1 (Criteriul lui Schwartz).    Daca functia    are derivate partiale mixte de ordinul doi si intr-o vecinatate a unui punct si daca si sunt continue in , atunci .

Teorema 2 (Criteriul lui Young). Daca functia are derivate partiale de ordinul intai si intr-o vecinatate a lui si daca si sunt diferentiabile in , atunci derivatele partiale mixte de ordinul doi in exista si sunt egale in acest punct,

Definitia 1 Fie o functie reala de doua variabile definita pe o multime si un punct interior lui . Se spune ca este diferentiabila de ori in punctul daca toate derivatele de ordinul ale lui exista intr-o vecinatate a lui si sunt diferentiabile in .

Diferentiala de ordinul in punctul se defineste prin egalitatea:

unde exponentul inseamna ca se dezvolta suma din paranteza dupa regula binomului lui Newton si apoi se inmulteste formal cu .

Diferentiala de ordinul pentru o functie de variabile va fi: