Variabile aleatoare. Caracteristici numerice. Functie de repartitie

Variabile aleatoare. Caracteristici numerice. Functie de repartitie

Una dintre notiunile fundamentale ale teoriei probabilitatilor este aceea de variabila aleatoare.

Evenimentele unui camp de probabilitate nu sunt, principial, marimi in intelesul atribuit acestora in stiintele naturale sau tehnica; ele se descriu insa cu ajutorul unor marimi avand valori reale si care, in general, sunt rezultatul unor masuratori. Principalul merit al actualei sistematizari a calcului probabilitatilor consta in definirea variabilelor aleatoare, deci a marimilor pe care ni le prezinta experimentul direct, sau teoriile destinate sa-l interpreteze.

Daca intelegem prin variabila aleatoare o functie reala definita pe multimea evenimentelor elementare asociate experimentului considerat vom putea ilustra prin exemple tipice pentru teoria probabilitatilor cum se trece de la un eveniment la o variabila aleatoare si anume:

Exemplul 3.1. Sa consideram un experiment care are ca rezultat evenimentul A. In locul evenimentul A putem considera variabila aleatoare care ia valoarea 1 daca s-a realizat A si 0 daca s-a realizat . Am definit o variabila aleatoare bernuolliana cu doua valori (variabila indicatoare a evenimentului A) prin relatia:

In practica este de multe ori mai comod ca in locul evenimentelor sa utilizam variabilele aleatoare indicatoare care le sunt asociate.

Variabile aleatoare discrete

Fie un s-camp de probabilitate si un sistem complet (finit sau numarabil) de evenimente. Sistemul numeric , se numeste distributia s-campului de probabilitate

Definitie. Numim variabila aleatoare discreta o functie definita pe multimea evenimentelor elementare cu valori reale daca:

ia valorile , ;

, .

O variabila aleatoare discreta pentru care I este finita se numeste variabila aleatoare simpla.

Schematic variabila aleatoare se noteaza prin:

Tabloul (3.1) se numeste distributia sau repartitia variabilei aleatoare .

Numarul produselor defecte dintr-un lot examinat, numarul de defectiuni care apar intr-o anumita perioada de functionare a unui dispozitiv, indicatorul unui eveniment A sunt variabile aleatoare discrete.

Faptul ca ne sugereaza ideea ca aceasta suma se repartizeaza intr-un anumit mod intre aceste valori deci din punct de vedere probabilistic o variabila aleatoare este complet determinata daca se da o astfel de repartitie. Vom stabili o astfel de lege de repartitie.

Una din formele cele mai simple in care putem reprezenta o astfel de lege este forma schematica (3.1) sau sub forma unui tabel.

iar o alta forma este cea grafica luand pe axa absciselor valorile x_i iar pe axa ordonatelor probabilitatile corespunzatoare. Putem obtine unind aceste puncte poligonul de repartitie

sau diagrama in batoane

Exemplul 3.2. Un lot de piese este supus unui control de calitate in modul urmator: se extrage pe rand cate o piesa care se cerceteaza daca poate fi admisa sau nu. Se cerceteaza 5 piese. Daca piesa din extractia de rang nu corespunde, lotul se respinge. Sa se scrie tabloul de repartitie al variabilei aleatoare care reprezinta numarul de piese cercetate, daca probabilitatea ca o piesa luata la intamplare din lot sa fie admisa este 0,85.

Sa se traseze poligonul de repartitie corespunzator.

R. Variabila aleatoare poate lua valorile:

1 - daca prima piesa e rebut, deci

2 - daca prima piesa extrasa e buna, iar a doua rebut: ;

3 - daca primele doua piese sunt bune si a treia rebut;

4 - primele trei piese sunt bune, iar a patra rebut :

5 - primele patru piese sunt bune;

Deci

Poligonul de repartitie este cel din figura:

Momentele unei variabile aleatoare discrete

Momentele unei variabile aleatoare discrete sunt valorile tipice cele mai frecvent utilizate in aplicatii.

Definitie. Fie o variabila aleatoare discreta care ia valorile cu probabilitatile , . Daca seria este absolut convergenta, expresia:

se numeste valoare medie a variabilei aleatoare discrete .

Daca ξ este o variabila aleatoare simpla care ia valorile x₁,.,x_n cu probabilitatile p₁,.,p_n atunci valoarea medie va fi:

Vom da in continuare cateva proprietati ale valorilor medii:

(P1)           Daca si η sunt doua variabile aleatoare discrete definite prin (3.2.) si daca M ) si M exista, atunci exista valoarea medie M(x h) si avem:

Prin recurenta, se obtine:

(P2)           Fie , () n variabile aleatoare discrete. Daca () exista, atunci exista si

(P3)           Fie o variabila aleatoare discreta si c o constanta. Daca exista, atunci exista si avem

(P4)           Fie ) n variabile discrete si ), n constante. Daca ) exista, atunci exista si

(P5)           Valoarea medie a variabilei aleatoare este nula. ( se numeste abaterea variabilei aleatoare ).

(P6)           Inegalitatea lui Schwarz. Fie si doua variabile aleatoare discrete pentru care exista si . Avem:

(P7)           Daca si sunt doua variabile aleatoare discrete independente si daca si exista, atunci exista si

Exemplul 3.3. Un aparat este format din 5 elemente care se pot defecta independent unul de altul. Numerotam elementele de la 1 la 5 si fie probabilitatea sa se defecteze elementul cu numarul k, . Sa se calculeze valoarea medie a numarului de defectiuni.

R. Fie variabila aleatoare asociata elementului cu numarul k care ia valori pe 1 sau 0 dupa cum elementul se defecteaza sau nu:

Variabila aleatoare care da numarului de defectiuni este , deci:

Avem: de unde:

Definitie. Fie o variabila aleatoarea discreta si r un numar natural. Daca exista valoarea medie a variabilei aleatoare , atunci aceasta valoare medie se numeste moment de ordin r al variabilei aleatoare si se noteaza:

Valoarea medie a variabilei aleatoare se numeste moment absolut de ordin r al variabilei aleatoare si se noteaza:

Definitie. Data o variabila aleatoare discreta , momentul de ordinul r al variabilei aleatoare abatere a lui se numeste moment centrat de ordinul r a lui si se noteaza

Momentul centrat de ordinul doi a variabilei aleatoare discrete se numeste dispersie sau varianta si se noteaza prin sau , deci:

Numarul se numeste abatere medie patratica a lui .

Vom da in continuare cateva proprietati ale dispersiei si ale abaterii medii patratice:

(D1)   Are loc egalitatea

(D2)   Daca cu a si b constante, atunci

(D3)   Fie , n variabile aleatoare discrete doua cate doua independente si , n constante. Avem

(D4)   Inegalitatea lui Cebisev Fie o variabila aleatoare. Are loc inegalitatea:

pentru orice

Variabile aleatoare de tip continuu

Fie un -camp de probabilitate.

Definitie. Se numeste variabila aleatoare o functie (definita pe multimea evenimentelor elementare cu valori reale), astfel incat toate multimile de forma apartin lui pentru orice

Vom da in continuare cateva proprietati ale variabilelor aleatoare:

(P1)     Fie o variabila aleatoare si c o constanta; atunci ; ; ; ; cu sunt variabile aleatoare.

(P2)      Fie si doua variabile aleatoare; atunci , , .

(P3)      Daca si sunt doua variabile aleatoare atunci , , , daca: , , sunt de asemenea variabile aleatoare.

Teorema 3.1. Daca este o variabila aleatoare nenegativa, exista un sir crescator de variabile aleatoare simple, nenegative, care converge catre .

Teorema 3.2. Daca este un sir de variabile aleatoare atunci sunt de asemenea variabile aleatoare.

Definitie. Vom spune ca variabilele aleatoare sunt independente daca pentru toate sistemele reale avem:

Functie de repartitie

Definitie. Se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare , functia:

definita pentru orice .

Din aceasta definitie rezulta ca orice variabila aleatoare poate fi data prin intermediul functiei sale de repartitie.

Daca este o variabila aleatoare discreta cu , atunci din (3.16.) rezulta:

si se numeste functie de repartitie de tip discret. Rezulta ca in acest caz F este o functie in scara, adica ia valori constante pe intervalele determinate de punctele

Exemplul 3.4. Fie variabila aleatoare

Fig. 3.1

Graficul ei este cel din fig. 3.1.

Teorema 3.3. Functia de repartitie a unei variabile aleatoare are urmatoarele proprietati:

daca

pentru orice

Teorema 3.4. Orice functie monotona, nedescrescatoare, continua la stanga si cu este functia de repartitie a unei variabile aleatoare definita pe un camp de probabilitate convenabil ales.

Teorema 3.5. Fie o variabila aleatoare a carei functie de repartitie este Fie a si b doua numere reale cu . Au loc egalitatile:

Exemplul 3.5. Se considera functia F definita prin relatiile:

Se cere:

Sa se determine constanta a asa incat F sa fie functie de repartitie.

Sa se calculeze

R. Functia F este continua in toate punctele axei reale cu exceptia punctului . Tinand seama de definitia functiei de repartitie trebuie ca F sa fie continua la stanga in orice punct si deci in trebuie sa avem:

de unde rezulta:

Daca cerem ca F sa fie continua in atunci . Avem:

de unde

Definitie. Fie o variabila aleatoare a carei functie de repartitie este . Daca exista o functie reala ƒ definita si integrabila pe R asa incat:

atunci se numeste functie de repartitie absolut continua, iar se numeste variabila aleatoare absolut continua. Functia ƒ(x) se numeste densitate de probabilitate (repartitie), iar expresia ƒ(x)dx se numeste lege de probabilitate elementara.

Densitatea de probabilitate are urmatoarele proprietati:

pentru orice .

Pentru orice reali are loc relatia:

P(a £ x < b) =

Exemplul 3.6. Se considera functia:

Se cere:

Sa se determine constanta reala a, astfel ca ƒ sa fie densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare.

Sa se determine functia de repartitie corespunzatoare.

Sa se calculeze

R. 1. Din proprietatile densitatii de probabilitate deducem:

de unde

2. Fie F functia de repartitie corespunzatoare. Avem:

Pentru , deci

Pentru , avem:

Pentru , avem:

Deci:

3. .

Graficul functiei ƒ este cel din fig. 3.2, iar al functiei F este cel din fig. 3.3.

Aria hasurata din fig. 3.2. reprezinta probabilitatea ceruta la punctul 3.

Momentele unei variabile de tip continuu

Fie un -camp de probabilitate si o variabila aleatoare a carei functie de repartitie este . Fie densitatea de repartitie a variabilei aleatoare

Definitie. Se numeste valoare medie a variabilei aleatoare expresia:

Definitie. Se numeste moment de ordinul r, , al variabilei aleatoare continue , expresia:

iar expresia:

se numeste moment absolut de ordin r al variabilei aleatoare

In acelasi mod in care s-au definit momentul centrat de ordinul r, dispersia, abaterea medie patratica in cazul variabilelor aleatoare discrete, se definesc si pentru variabile aleatoare de tip continuu. Proprietatile valorii medii si ale dispersiei date pentru variabile aleatoare de tip discret se mentin pentru variabile aleatoare de tip continuu. In aplicatii se intalnesc si urmatoarele caracteristici:

Asimetria si excesul. Se numesc asimetrie, A_s, si exces, E, numerele:

daca momentele respective exista.

Exemplul 3.7. Fie o variabila aleatoare de tip continuu cu densitatea de probabilitate:

Sa se calculeze valoarea medie, dispersia, coeficientul de asime-trie si excesul.

R. Avem:

Din cauza simetriei repartitiei date rezulta .

deci E = 3.

Definitie Se numeste moment centrat in a de ordinul r al variabilei aleatoare , momentul de ordinul r al variabilei aleatoare , iar momentele se numesc momente absolute centrate in a de ordinul r.

Din definitie rezulta urmatoarele proprietati:

(P1)   Daca e o variabila aleatoare cu si , are loc inegalitatea:

(P2)   Daca si sunt doua variabile aleatoare independente care au aceeasi functie de repartitie F si este un numar real oarecare, au loc inegalitatile:

pentru orice , cu mediana variabilei aleatoare .

Din definitia medianei rezulta ca in cazul unei variabile aleatoare de tip continuu, mediana este unic determinata de egalitatea:

Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului prin care trece paralela la axa Oy, care imparte in doua parti egale aria limitata de curba de ecuatie si axa Ox.

Exemplul 3.8. Fie o variabila aleatoare a carei densitate de probabilitate este:

Sa se determine mediana lui .

R. Daca este de tip continuu, atunci:, de unde:

deci . Rezulta M_e = (figura 3.4.).

Inegalitatea lui Markov. Fie o variabila aleatoare pozitiva a carei valoare medie este finita. Pentru orice avem: