Elemente de algebra liniara

Elemente de algebra liniara

Spatii vectoriale

Definitie. Fie (K,+,) corp comutativ si V o multime nevida. Spunem ca V are structura de spatiu vectorial peste K daca s-au definit doua legi de compozitie :V V V (lege de compozitie interna) si A:K V V (lege de compozitie externa) astfel incat sa fie satisfacute urmatoarele:

i)            (V, ) este un grup abelian

ii)          a b Ax=(aAx) bAx), ( a b IK si xIV

aA(x y)=(aAx) aAy), ( aIK si ( )x,yIV

ab Ax=aA bAx), ( a b IK si x IV

x=x, ( )x IV unde 1IK este elementul unitate.

2.Subspatii vectoriale

Definitie. Fie V|K si W V, W Spunem ca W este subspatiu vectorial al spatiului V daca W este spatiu vectorial in raport cu legile de compozitie interna si externa induse pe W de legile corespunzatoare din V.

Notam W<V

Teorema. Fie V|K, W V, W Atunci W<V a b IK si x,yIW T ax + by I W.

3.Dependenta si independenta liniara. Baza.

Fie V K

Definitii Fiind data multimea S= V, vectorul av++av cu a,,a IA se numeste combinatie liniara a elementelor multimii S.

Multimea    S= V se numeste sistem de generatori al spatiului vectorial V daca orice vector din V se scrie ca o combinatie liniara a elementelor multimii S.

Multimea    S= V se numeste sistem liniar independent daca din orice combinatie liniara nula a elementelor multimii S obtinem toti scalarii nuli.

Daca S nu este sistem liniar independent spunem ca este sistem liniar dependent.

Sistemul de vectori B= V este o baza a spatiului vectorial V daca B este sistem liniar independent si sistem de generatori.

Teorema Reprezentarea unui vector intr-o baza este unica.

Teorema 2. Orice spatiu vectorial admite o baza.

Definitie. Fie V K. Se numeste dimensiunea lui V numarul vectorilor unei baze din V.

Teorema 3. Orice doua baze ale unui spatiu vectorial au acelasi numar de elemente.

Teorema 4. Fie V/K un spatiu vectorial de dimensiune n, atunci orice sistem liniar independent cu n vectori este baza.   

Teorema 5. Vectorii v= ,, v_n= din Aformeaza o baza in A determinantul matricei asociate A=formata cu cei n vectori este nenul, deci detA 0. Daca detA=0 T sistemul de vectori nu formeaza o baza a lui A

4.Schimbarea bazei. Lema substitutiei.

Metoda pivotului.

Regula practica dedusa din lema substitutiei, numita regula pivotului de schimbare a bazei, are urmatoarele etape:

elementele de pe linia pivotului se impart la pivot;

coloana pivotului devine vector unitar.

pentru orice alt element se aplica regula dreptunghiului: se construieste un dreptunghi imaginar cu

varfurile in pivot si elementul ce trebuie transformat si se aplica regula:

noua componenta este data de : [(produsul elementelor de pe diagonala pivotului)-(produsul elementelor de pe cealalta diagonala)]/pivot.

a=pivot si x=elementul ce se recalculeaza

T noul element x'

5. Functionale pe spatii vectoriale

Functionale liniare

Definitie. Fie V|A. Aplicatia f:V A este o functionala liniara daca sunt satisfacute axiomele:

f(x+y)=f(x)+f(y), x,yIV - aditivitatea;

2. f(lx)=lf(x), xIV si lIA - omogenitatea.

Teorema. f :V A este o forma liniara a b IA si x,yIV, f(ax+by)=af(x)+bf(y)

Functionale biliniare

Definitie. Fie V/A si W/A . Aplicatia f V W A este o functionala biliniara daca este liniara in fiecare argument.

Teorema. Fie V/A , cu dimV=n; W/A, cu dim W=m; B = o baza a lui V si B' = o baza a lui W.

O functionala biliniara f V W A se poate reprezenta matriceal f(x,y) = x^TAy, unde , a_ij = f(e_i,l_j) .

Caz particular. Pentru V=W si dim V=n obtinem f V V A este o functionala biliniara astfel ca f(x,y)=x^TAy, x,yIV.

Definitie. O functionala biliniara f V V A se numeste simetrica daca are loc: f(x,y)=f(y,x), x,yIV

Observatie. Functionala biliniara f V V A este simetrica daca si numai daca    A = A^T, adica matricea A este simetrica.

Forme patratice

Definitie. h:V A este o forma patratica pe spatiului vectorial V, daca exista o functionala biliniara simetrica f:V V A astfel incat h(x)=f(x,x), xIV.

Teorema. Fie V/A , cu dimV=n. Aplicatia h V A este o forma patratica a spatiului vectorial V daca si numai daca exista astfel incat h(x) = x^TAx , xIV.

Clasificarea functionalelor patratice

Fie h V A o functionala patratica a spatiului vectorial V.

h(x) este pozitiv definita daca h(x)> xIV-

h(x) este pozitiv semidefinita daca h(x) xIV-

h(x) este negativ definita daca h(x)< xIV-

h(x) este negativ semidefinita daca h(x) xIV-

h(x) este nedefinita daca exista x_1,x₂IV astfel incat h(x₁)>0 si h(x₂)<

Metoda Jacobi de reducere a functionalelor patratice la forma canonica

Aceasta metoda consta in aducerea functionalei patratice cu matricea A la o noua functionala patratica avand matricea B - diagonala si se bazeaza pe trecerea de la baza initiala B₀=(e₁,.,e_n) la o noua baza B₁=(b₁,.,b_n) numita baza canonica sau normala, in raport cu care functionala patratica se scrie ca o suma de patrate.

Teorema Jacobi Fie h V A o functionala patratica a spatiului vectorial V exprimata in baza B₀=(e₁,.,e_n), h(x) = x^TAx, xIV (unde A = (a_ij)_i,j=1,n , a_ij = f(e_i,e_j) sunt valorile functionalei biliniare simetrice asociate pe multimea vectorilor bazei B₀).

Daca toti minorii principali ai matricei A, D = a₁₁, D = a₁₁ a₂₂- a₂₁ a_12,., D_n = detA, sunt nenuli, atunci exista baza B₁=(b₁,.,b_n) a lui V astfel incat:

h(x)=(1/D x D D x Dn-₁/D_n x_n

unde (x x_n) sunt coordonatele lui x in noua baza.

Din aceasta teorema se deduc cateva proprietati importante ale functionalelor patratice:

i)functionala patratica este pozitiv definita D_h> h=1,..,n.

ii) functionala patratica este negativ definita D_h>0 pentru h par si D_h<0 pentru h impar.

Daca exista D_h>0 si D_h<0 si nu se incadreaza in situatia ii) T functionala patratica este nedefinita.

Daca exista D_h=0 atunci natura functionalei patratice nu poate fi stabilita prin metoda Jacobi ci se apeleaza la metoda Gauss.

Metoda Gauss de reducere a functionalelor patratice la forma canonica

Fie

Daca a₁₁ 0, se grupeaza intr-o paranteza toti termenii care contin pe

x₁ pentru a obtine un patrat perfect, restul termenilor aflandu-se in afara acesteia.

unde h₁(x) este o functionala patratica in care apar doar variabilele x₂,.,x_n

Efectuand transformarea liniara:

, i=2,.,n

obtinem .

Daca a₁₁=0, cautam un indice jI astfel incat a_jj

Daca gasim un asemenea indice renumerotam variabilele astfel incat variabila j sa devina prima variabila si in continuare procedam ca in primul caz.

Daca a₁₁=0 jI exista un indice i astfel incat a_1i 0 si

efectuam transformarea:

,daca j 1 si j i.

Astfel coeficientul lui este nenul si procedam mai departe ca in primul caz.

Acelasi procedeu se aplica si functionalei patratice h₁(x) in care apar doar variabilele x₂,.,x_n.

Se continua algoritmul pana la epuizarea tuturor variabilelor, cand obtinem h(x)=(k₁)x +(k₂)x +.+(k_n)x_n

Aplicatii

Sa se arate ca mutimea B= A, unde v , v v , este o baza in A. Sa se gaseasca coordonatele vectorului v= in aceasta baza.

Solutie : i) Pasul 1 Asociem matricea sistemului de vectori :

A=

Pasul 2 Calculam determinantul matricei A:

detA== -2

Cum detA TB baza in A

ii)B fiind baza in A, orice vector din A se scrie ca o combinatie liniara a vectorilor v,v,v in mod unic.

Avem v=av+av+av

=a+a+a =

Matricea asociata sistemului este A=, iar detA T sistemul este compatibil determinat cu solutia data de a=, a=, a=, unde =detA=-2 .

=

=

T a=3 ; a=-1 ;a=0 T[v]=.

Studiati compatibilitatea sistemului si in caz de compatibilitate rezolvati sistemul :

(S)

Solutie:(A|b)=~~

rang A=3, rang A=3 T (S) este compatibil simplu nedeterminat cu solutia data de:

(-1+4t,2-3t,-2t,t), tIA

Construiti o forma liniara pe V=R⁴.

Solutie: Alegem astfel ca f(x) = x₁+ x₂+ x₃+ x₄

Fie = 1 si x= => f(x) = 2 x₁+ x₄

Pentru y = => x+y =

Verificam aditivitatea: f(x+y)=    f(x)+f(y), x,yI R⁴

f( x+y) = 2 (x₁+ y₁) + x₄+ y₄ = 2x₁+2 y₁+ x₄+ y₄

Cum f(x)+f(y) = 2 x₁+ x₄ + 2 y₁+ y₄ rezulta ca axioma este verificata.

Verificam omogenitatea: f( x) = f(x), aIA xI R⁴

Din f( x) = 2 x₁+ x₄ = (2 x₁+ x₄) si f(x)= (2 x₁+ x₄) rezulta ca si axioma de omogenitate este verificata => f astfel construita este functionala liniara.

Pe V=A construiti o forma biliniara simetrica.

Solutie: Fie A =

Fie f: x , f(x,y)=xAy.

Practic, pentru a scrie f putem asocia urmatorul tabel:

f(x,y) = x₁y₁+x₁y₂+x₁y₃+x₁y₄+x₂y₁+2x₂y₃+x₃y₁+2x₃y₂+x₃y₄+x₄y₁+x₄y₃

Sa se reduca la forma canonica, forma patratica h :A A, h(x)=2x+x+x+2 xx+xx

Solutie: Asociem matricea formei patratice A=

Calculam D=2, D==1, D=1/2.

Conform teoremei Jacobi :

h(x)=+ += +2+2.

Observatie: forma patratica data este pozitiv definita.