Teoreme si reguli fundamentale ale teoriei probabilitatilor

1.4.1 REGULA ADUNARII PROBABILITATILOR EVENIMENTELOR INCOMPATIBILE

Se considera evenimentele apartinand unui acelasi camp , incompatibile doua cate doua, adica: , , . Atunci :

Demonstratia este imediata, prin inductie matematica dupa (numarul de evenimente considerat), folosind regula de adunare a probabilitatii evenimentelor incompatibile data de cea de a treia axioma, si anume : , unde .

REMARCA Pentru demonstratie se puteau considera urmatoarele ipoteze : evenimentul se poate realiza in cazuri, evenimentul se poate realiza in cazuri,., evenimentul se poate realiza in cazuri, iar evenimentul sigur se poate realiza in cazuri.

Atunci :

Incompatibilitatea evenimentelor , revine la separarea completa a cazurilor , adica, numarul de cazuri in care se realizeaza evenimentul este: .. Prin urmare :

si

1.4.2 PROBABILITATEA EVENIMENTELOR CONTRARE

Conform definitiei, doua evenimente si sunt contrare sau complementare, daca:

si .

Aceste relatii arata ca evenimentele sunt incompatibile si ca in fiecare proba se realizeaza unul dintre ele. +tiind ca evenimentul se realizeaza de ori in operatii individuale, iar de ori, probabilitatile acestor evenimente sunt :

Efectuand suma probabilitatilor acestor evenimente, se obtine:

adica suma probabilitatilor a doua evenimente opuse este egala cu .

1.4.3 SISTEM COMPLET DE EVENIMENTE

Sa consideram un numar oarecare de evenimente incompatibile, in asa fel incat in fiecare operatie individuala sa se produca neaparat unul din ele si numai unul. Un astfel de sistem de evenimente se numeste sistem complet de evenimente. Din definitia data rezulta:

,

cu probabilitatea:

sau

adica suma probabilitatilor unor evenimente care formeaza un sistem complet de evenimente este egala cu .

Evenimentele opuse, fiind incompatibile si in fiecare operatie de masa producandu-se unul dintre ele, acestea formeaza un sistem complet.

1.4.4 EVENIMENTE INDEPENDENTE SI DEPENDENTE

Doua sau mai multe evenimente se numesc independente daca probabilitatea efectuarii unuia dintre ele nu este influentata de faptul ca celelalte evenimente s-au produs sau nu.

EXEMPLE a) Daca dintr-un lot continand atat piese standard cat si piese rebut se extrage cate o piesa care revine la lot dupa fiecare extractie, evenimentele care constau in extragerea unei piese standard la fiecare extractie sunt independente.

b) Daca se arunca o moneda de doua ori, probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul ) in a doua aruncare nu depinde de faptul ca in prima aruncare s-a produs sau nu aparitia valorii (evenimentul ).

Doua sau mai multe evenimente se numesc dependente daca probabilitatea unuia dintre ele este influentata de evenimentele anterioare (depunde de faptul ca evenimentele anterioare s-au produs sau nu).

EXEMPLU Intr-o urna se gasesc bile albe si bile negre. Se noteaza cu evenimentul de a extrage o bila alba si cu evenimentul constand in extragerea unei bile negre dupa ce a fost extrasa o bila (care nu se reintroduce in urna inaintea celei de-a doua extrageri). Se fac, deci doua extrageri succesive. Daca prima bila extrasa a fost alba, adica s-a produs evenimentul , atunci in urna au ramas bile negre si probabilitatea evenimentultui este  ; daca prima bila extrasa a fost neagra, realizandu-se evenimentul , atunci in urna au ramas bile negre si probabilitatea evenimentului este . Se observa ca probabilitatea evenimentului depinde de faptul ca evenimentul s-a produs sau nu.

EXEMPLU Sa se calculeze probabilitatea ca un aparat cu o vechime de ani sa nu mai functioneze dupa o perioada cuprinsa intre si ani (). In acest caz apar evenimentele si . Evenimentul se realizeaza atunci cand aparatul cu o vechime de ani functioneaza dupa ani, iar evenimentul atunci cand aparatul isi inceteaza functionarea in perioada . Se vede din acest exemplu ca evenimentul este dependent (conditionat) de evenimentul , deoarece pentru ca aparatul cu o vechime de ani sa isi inceteze functionarea intre si ani trebuie mai intai sa functioneze dupa ani.

1.4.5 TEOREMA INMULTIRII EVENIMENTELOR INDEPENDENTE SI DEPENDENTE

Fie si doua evenimente dependente. Se va determina in continuare probabilitatea producerii simultane a acestor evenimente, adica .

Intr-o operatie de masa se pot intampla urmatoarele :

1) se produce evenimentul in cazuri favorabile ;

2) se produce evenimentul in cazuri favorabile ;

3) se produce evenimentul in cazuri favorabile ;

4) se produce evenimentul in cazuri favorabile.

In total sunt cazuri posibile. Rezulta ca :

Probabilitatea evenimentului se stabileste astfel: Numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului este , deci :

Evenimentele si fiind dependente, insemna ca probabilitatea lui va fi influentata de realizarea lui , deci se va calcula , relatie care se citeste ,,probabilitatea lui conditionata de '' sau ,, probabilitatea lui dupa ce s-a realizat '' . Cazurile favorabile realizarii evenimentului , dupa ce s-a produs , sunt in numar de , iar cazurile posibile . Deci :

Inmultind relatiile si , membru cu membru, se obtine :

adica rezultatul de la

Deci,

relatie care constituie regula de inmultire a probabilitatilor a doua evenimente dependente.

Din se obtine :

In mod analog, probabilitatea evenimentului conditionata de este :

Relatiile si arata ca probabilitatea unui eveniment, conditionata de realizarea unui alt eveniment, este egala cu raportul dintre probabilitatea intersectiei (producerii simultane) a celor doua evenimente si probabilitatea evenimentului ce conditioneaza.

APLICATIE Dintr-un lot de de becuri sosit la un magazin, dintre care corespund standardului si nu corespund, un cumparator cumpara doua bucati. Sa se calculeze probabilitatea ca aceste doua becuri sa fie corespunzatoare.

Fie evenimentul ca primul bec sa fie corespunzator si ca al doilea bec sa fie corespunzator. Probabilitatea evenimentului este . Cand becul al doilea a fost luat dupa ce in prima extragere am obtinut un bec standard, n-au mai ramas decat de becuri, dintre care standard si rebut. Probabilitatea evenimentului conditionata de va fi:

Deci probabilitatea ce amandoua becurile sa fie corespunzatoare este :

In general fie evenimentele . Probabilitatea producerii simultane se calculeaza pe baza formulei

Demonstrarea acestei relatii se face prin metoda inductiei matematice.

DEFINITIE Daca se va spune, ca evenimentele si sunt independente intre ele.

Se vede ca doua evenimente sunt independente daca probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de faptul ca celalalt eveniment s-a produs sau nu. Daca, de pilda, se arunca o moneda de doua ori este clar ca probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul ) in prima aruncare nu depinde de faptul ca in a doua aruncare are sau nu loc evenimentul (aparitia valorii) ; si invers, probabilitatea lui nu depinde de faptul ca s-a produs sau nu evenimentul . Un alt exemplu de evenimente independente il gasim in cazul unei urne cu bile de doua culori, din care se fac extrageri in urmatoarele conditii : in urna se gasesc bile albe si negre. Daca este evenimentul care consta in extragerea unei bile albe, atunci :

Dupa extragere, bila se reintroduce in urna si se face o noua extragere. Fie evenimentul ca sa fie extrasa o bila neagra in aceasta a doua extragere. Atunci , probabilitate care nu depinde de faptul ca evenimentul s-a produs sau nu.

Se considera, prin urmare, relatia :

Facand inlocuirea corespunzatoare in relatiile si se obtine:

Egalitatile

si

arata ca a conditiona pe de si pe de nu influenteaza probabilitatile si . Evenimentele si sunt independente.

In acest caz, formula devine

Prin urmare, probabilitatea producerii simultane a unui numar oarecare de evenimente independente este egala cu produsul probabilitatilor acestor evenimente.

APLICATIE Doua masini produc aceeasi piesa. Probabilitatile ca piesa sa fie corespunzatoare sunt de , respectiv de . Se ia pentru incercare cate o piesa de la fiecare masina si se cere sa se calculeze probabilitatea ca ambele piese sa fie corespunzatoare. Acestea fiind independente, rezulta:

Este important sa se precizeze ca cele aratate mai inainte nu pot fi extinse la un numar oarecare de evenimente, fara a defini in prealabil ce se intelege prin evenimente independente in totalitatea lor. Mai multe evenimente se numesc evenimente independente in totalitatea lor daca fiecare dintre ele si orice intersectie a celorlalte (continand fie pe toate, fie o parte a lor) sunt evenimente independente. Astfel, evenimentele si sunt independente in totalitatea lor daca sunt

independente evenimentele: si si si si

si si . Se poate vedea ca independenta in totalitate nu poate fi asigurata de independenta evenimentelor luate doua cate doua.

1.4.6 TEOREMA ADUNARII PROBABILITATILOR EVENIMENTELOR COMPATIBILE

Fie si doua evenimente compatibile. Sa se calculeze . Evenimentele fiind compatibile, evenimentul se poate realiza in urmatoarele moduri:

1. , se realizeaza impreuna cu opusul
2. , nu se realizeaza , dar se realizeaza;
3. , se realizeaza simultan     si .

Rezulta:

Deoarece evenimentele intersectiei sunt incompatibile doua cate doua, se poate scrie :

Se vor calcula probabilitatile evenimentelor si :

Insumand ultimele doua relatii si tinand seama de , se obtine:

de unde rezulta :

Pentru trei evenimente si aceasta relatie devine :

In general, pentru evenimente are loc :

Cu aceasta formula, numita formula lui Poincare, se calculeaza probabilitatea ca cel putin unul din cele evenimente compatibile si in numar finit , ,., sa se realizeze.

APLICATIE Un muncitor deserveste trei masini. Probabilitatile ca in decursul unui schimb masinile sa nu se defecteze sunt : pentru prima masina de , pentru a doua masina de si pentru a treia masina de . Sa se calculeze probabilitatea ca cel putin una din masini sa lucreze fara defectiuni in decursul unui schimb.

Aceasta probabilitate este :

1.4.7 FORMULA PROBABILITATII TOTALE

Se presupune ca o operatie data conduce la rezultatele , , ., , care formeaza un sistem complet de evenimente. Fie un eveniment care nu se poate realiza singur, ci impreuna cu unul din evenimentele , ,., . Deci :

Deoarece evenimentele sunt incompatibile doua cate doua, rezulta :

sau

rezultat care constituie formula probabilitatii totale exprimand urmatoarea :

teoremA  Probabilitatea evenimentului care poate sa se produca conditionat de unul din evenimentele ,,., si care formeaza un sistem complet de evenimente, este egala cu suma produselor dintre probabilitatile acestor evenimente si probabilitatile conditionate corespunzatoare ale evenimentului .

Teorema se demonstreaza foarte simplu. In conditiile teoremei, producerea evenimentului revine la producerea unuia din urmatoarele evenimente incompatibile

adica :

Aplicand o consecinta a teoremei de adunare a probabilitatilor evenimentelor incompatibile, se obtine :

Insa, dupa regula inmultirii probabilitatilor dependente, atunci :

, ,.

.,.

Prin urmare,

APLICATIE In magazia unei uzine se gasesc piese de acelasi fel provenite de la cele trei sectii ale uzinei. Se stie ca prima sectie produce din totalul pieselor, a doua si a treia si ca rebuturile sunt de , si pentru fiecare sectie. Sa se calculeze probabilitatea ca luand o piesa la intamplare din magazie, aceasta sa fie necorespunzatoare.

Fie evenimentele ca piesa sa apartina uneia din cele trei sectii si fie evenimentul ca piesa sa fie necorespunzatoare. Piesa necorespunzatoare putand proveni numai de la una din cele trei sectii, insemna ca evenimentul nu se poate realiza singur ci impreuna sau cu , sau cu , sau cu  ; adica au loc intersectiile , , .

Probabilitatile evenimentelor , , si a evenimentului conditionat de realizarea evenimentelor , , sunt :

, , ,

, , .

Deci,

Se vede de aici ca la fiecare de piese, in medie sunt necorespunzatoare.

1.4.7 REGULA LUI BAYES

Folosind aceasta regula se rezolva problemele cuprinse in urmatoarea schema generala: se considera un sistem complet de evenimente , ,., care reprezinta cauzele producerii unui eveniment necunoscut (acest eveniment poate sa se produca conditionat de unul din evenimentele , ,., ).

Se cunosc probabilitatile :

Aceste probabilitati care se pot calcula inaintea efectuarii vreunei probe se numesc probabilitati apriorice.

In urma efectuarii probei se produce evenimentul si trebuie determinate probabilitatile :

Aceste probabilitati calculate dupa efectuarea probei se numesc probabilitati aposteriori. Fie evenimentul compus :

, i fixat,

a carui probabilitate este :

Din ultima egalitatate rezulta :

La numitor poate fi exprimata prin formula probabilitatii totale, deci :

relatie ce reprezinta formula lui Bayes.

APLICATII 1. Sa se calculeze probabilitatea ca piesa obtinuta (vezi problema precedenta) si care nu corespunde conditiilor standard sa provina de la sectia intai.

. Un magazin se aprovizioneaza zilnic de la trei depozite diferite , , , cu aceleasi cantitati globale de marfa, insa in proportii diferite in raport cu cele doua calitati ale ei. Situatia se vede din tabelul alaturat.

Daca un cumparator cumpara la intamplare o unitate din marfa in cauza si se constata ca ea este de calitatea a doua se pune intrebarea care este probabilitatea aposteriori ca unitatea de marfa cumparata sa fie de la depozitul . Se considera evenimentele :

evenimentul , cumpararea unei unitati de marfa provenind de la depozitul () ;

evenimentul , cumpararea unei marfi de calitatea a doua.

Evenimentul are loc in una din urmatoarele situatii :

Prin urmare se poate scrie :

Cum evenimentele , , formeaza un sistem complet de evenimente, intrucat :

, , ,

Intrebarea problemei inseamna de fapt calculul probabilitatii conditionate . Aplicand formula lui Bayes, se obtine :

Avand in vedere ca :

, , , , ,

prin aplicarea formulei lui Bayes, se obtine:

1.4.8 SCHEME DE PROBABILITATE

1. Schema binomiala (Bernoulli)

Acesta schema corespunde modelelor in care fenomenele se repeta in conditii identice.

Se considera o urna care contine bile de doua culori: albe si negre. Numarul acestora este cunoscut, aceasta insemnand ca daca din urna se extrage o bila se cunoaste probabilitatea ca aceasta sa fie alba, precum si probabilitatea ca aceasta sa fie neagra. Evident, .

Din aceasta urna se extrage cate o bila, aceasta revenind in urna dupa fiecare extragere.

Din urna se fac extrageri; dupa fiecare extragere, bila revenind in urna, atrage dupa sine nemodificarea probabilitatii de a obtine o bila alba sau una neagra.

Fie evenimentul care consta in extragerea unei bile albe si evenimentul extragerii unei bile negre. Se considera ca la o experienta in care au fost extrase bile, se obtine un eveniment de forma :

unde dintre acestea sunt , iar sunt .

Evenimentele din sirul de mai sus sunt independente, probabilitatea lui, folosind regula de inmultire a probabilitatilor, , fiind :

Insa, obtinerea in extragerea a bile, bile albe si negre, se poate realiza in moduri.

Prin urmare, probabilitatea ca in probe sa se obtina de ori o bila alba si de ori o bila neagra este

Deoarece acest termen este unul din termenii dezvoltarii binomului , aceasta schema se mai numeste si schema binomiala.

2. Schema urnei lui Bernoulli cu mai multe stari

In situatia in care urna contine bile de mai multe culori, problema determinarii probabilitatii evenimentului, care consta in obtinerea unei anumite combinatii de bile de diferite culori, se rezolva similar. Astfel, daca urna contine bile de culoarea bile de culoarea bile de culoarea , atunci probabilitatea ca in extrageri sa se obtina bile de culoarea bile de culoarea bile de culoarea este :

unde si

Deoarece reprezinta unul din termenii dezvoltarii unui polinom la puterea , aceasta schema se mai numeste si schema polinomiala.

. Schema bilei nerepetate

Dintr-o urna care contine bile albe si bile negre se fac extrageri succesive, fara ca bila sa revina in urna. Problema este de a determina probabilitatea ca din cele bile extrase extrase sa fie albe si negre.

Numarul total al cazurilor posibile se determina formand cu cele bile toate combinarile posibile de cate , adica .

Pentru a determina numarul cazurilor favorabile, se asociaza fiecare grupa cu bile albe din cele (in total ) cu fiecare grupa de bile negre () si se obtin . Deci probabilitatea cautata este:

In general, cand in urna se gasesc bile de culoarea bile de culoarea bile de culoarea si se extrag bile, fara intoarcerea bilei in urna, atunci probabilitatea ca bile dintre acestea sa fie de culoarea bile sa fie de culoarea bile de culoarea , este:

4. Schema lui Poisson

Se dau urnele , fiecare continand bile albe si bile negre in proportii cunoscute. Daca sunt probabilitatile extragerii unei bile albe din , care este probabilitatea ca luand o bila din fiecare urna, sa obtinem bile albe si bile negre?

Fie evenimentul extragerii unei bile albe din urna si evenimentul extragerii unei bile negre din aceeasi urna.

 ; , .

Fie evenimentul care consta in extragerea a bile albe si bile negre, cand se extrage cate o bila din fiecare urna.

Prin urmare, este reuniunea evenimentelor de forma :

,

unde indicii , iau valorile si sunt diferiti doi cate doi, adica reprezinta o permutare a numerelor .

Probabilitatea evenimentului de mai sus este :

,

iar probabilitatea lui este suma produselor de aceasta forma. Astfel, in fiecare produs, litera apare de ori, iar litera de ori. Considerand produsul :

atunci probabilitatea evenimentului este coeficientul lui .

1.4.9 INEGALITATEA LUI BOOLE

Fie I o multime arbitrara de indici. Atunci are loc urmatoarea inegalitate (inegalitatea lui Boole):

Inegalitatea se mai poate scrie si in forma :

Intr-adevar, avand in vedere ca :

rezulta:

EXEMPLU Intr-o grupa de studenti, cunosc limba franceza, cunosc limba engleza si cunosc limba germana. Care este probabilitatea ca un student ales la intamplare sa cunoasca toate limbile ?

Considerand evenimentele ca un student sa cunoasca libile franceza, engleza si respectiv germana atunci evenimentul cerut ca un student ales la intamplare sa cunoasca toate limbile este . Atunci:

adica: