Elemente de algebra logica -

Elemente de algebra logica

-Atestat-

1.1. Generalitati

Transferul, prelucrarea si pastrarea datelor numerice sau nenumerice in interiorul unui calculator se realizeaza prin intermediul circuitelor de comutare. Aceste circuite se caracterizeaza prin faptul ca prezinta doua stari stabile care se deosebesc calitativ intre ele. Starile sunt puse in corespondenta cu valorile binare "0" si "1" sau cu valorile logice "adevarat" si "fals" (din acest motiv se mai numesc si circuite logice). Pornind de la aceste considerente, un domeniul al logicii matematice, (stiinta care utilizeaza metode matematice in solutionarea problemelor de logica) numit "algebra logicii" si-a gasit o larga aplicare in analiza si sinteza circuitelor logice. Algebra logicii opereaza cu propozitii care pot fi adevarate sau false. Unei propozitii adevarate i se atribuie valoarea "1", iar unei propozitii false i se atribuie valoarea "0". O propozitie nu poate fi simultan adevarata sau falsa, iar doua propozitii sunt echivalente d.p.d.v. al algebrei logice, daca simultan ele sunt adevarate sau false. Propozitiile pot fi simple sau compuse, cele compuse obtinandu-se din cele simple prin legaturi logice de tipul conjunctiei Ù, disjunctiei sau negatiei Ø

Bazele algebrei logice au fost puse de matematicianul englez George Boole (1815-1864) si ca urmare ea se mai numeste si algebra booleana. Ea a fost conceputa ca o metoda simbolica pentru tratarea functiilor logicii formale, dar a fost apoi dezvoltata si aplicata si in alte domenii ale matematicii. In 1938 Claude Shannon a folosit-o pentru prima data in analiza circuitelor de comutatie.

1.2. Definirea axiomatica a algebrei booleene

Algebra booleana este o algebra formata din:

elementele

2 operatii binare numite SAU si SI, notate simbolic + sau si sau Ù

1 operatie unara numita NU negatie, notata simbolic sau Ø

Operatiile se definesc astfel:

SI SAU NU

0 0 + 0 = 0 0 = 1

0 0 + 1 = 1 1 = 0

1 1 + 0 = 1

1 1 + 1 = 1

Axiomele algebrei booleene sunt urmatoarele:

Fie o multime M compusa din elementele x₁, x₂,.x_n, impreuna cu operatiile si +. Aceasta multime formeaza o algebra daca:

Multimea M contine cel putin 2 elemente distincte x₁ ¹ x₂ (x₁,x₂I M);

Pentru x₁ I M, x₂ I M avem:

x₁ + x₂ I M si x₁ x₂ I M

Operatiile si + au urmatoarele proprietati:

a.       sunt comutative

x₁ x₂ = x₂ x₁

x₁ + x₂ = x₂ + x₁

b.      sunt asociative

x₁ (x₂ x₃) = (x₁ x₂) x₃

x₁ + (x₂ + x₃) = (x₁ + x₂) + x₃

c.       sunt distributive una fata de cealalta

x₁ (x₂ + x₃) = x₁ x₂ + x₁ x₃

x₁ + (x₂ x₃) = (x₁ + x₂) (x₁ + x₃)

Ambele operatii admit cate un element neutru cu proprietatea:

x₁ + 0 = 0 + x₁ = x₁

x₁ x₁ = x₁

unde 0 este elementul nul al multimii, iar 1 este elementul unitate al multimii.

Daca multimea M nu contine decat doua elemente, acestea trebuie sa fie obligatoriu elementul nul 0 si elementul unitate 1; atunci pentru x I M exista un element unic notat cu x cu proprietatile:

x x = 0 principiul contradictiei

x + x = 1 principiul tertului exclus

x este inversul elementului x.

In definirea axiomatica a algebrei s-au folosit diferite notatii. In tabelul urmator se dau denumirile si notatiile specifice folosite pentru diverse domenii:

1.3. Proprietatile algebrei booleene

Plecand de la axiome se deduc o serie de proprietati care vor forma reguli de calcul in cadrul algebrei booleene. Aceste proprietati sunt:

Principiul dublei negatii

x = x dubla negatie duce la o afirmatie

Idempotenta

x x = x

x + x = x

Absorbtia

x₁ (x₁ + x₂) = x₁

x₁ + (x₁ x₂) = x₁

Proprietatile elementelor neutre

x x 1 = x

x + 0 = x x + 1 = 1

Formulele lui De Morgan

x₁ x₂ = x₁ + x₂

x₁ + x₂ = x₁ x₂

Aceste formule sunt foarte utile datorita posibilitatii de a transforma produsul logic in suma logica si invers.

Formulele pot fi generalizate la un numar arbitrar de termeni:

x₁ x₂ x_n = x₁ + x₂ + . + x_n

x₁ + x₂ + . + x_n = x₁ x₂ x_n

Principiul dualitatii - daca in axiomele si proprietatile algebrei booleene se interschimba 0 cu 1 si + cu , sistemul de axiome ramane acelasi, in afara unor permutari.

Verificarea proprietatilor se poate face cu ajutorul tabelelor de adevar si cu observatia ca doua functii sunt egale daca iau aceleasi valori in toate punctele domeniului de definitie. Prin tabelul de adevar se stabileste o corespondenta intre valorile de adevar ale variabilelor si valoarea de adevar a functiei.

Obs. Comutativitatea si asociativitatea pot fi extinse la un numar arbitrar, dar finit, de termeni, indiferent de ordinea lor.

1.4. Functii booleene

O functie f: Bⁿ B, unde B = se numeste functie booleana. Aceasta functie booleana y = f(x₁, x₂,.,x_n) are drept caracteristica faptul ca atat variabilele cat si functia nu pot lua decat doua valori distincte, 0 sau 1. Functia va pune in corespondenta fiecarui element al produsului cartezian n dimensional, valorile 0 sau 1. Astfel de functii sunt utilizate pentru caracterizarea functionarii unor dispozitive (circuite) construite cu elemente de circuit avand doua stari (ex.: un intrerupator inchis sau deschis, un tranzistor blocat sau in conductie; functionarea unui astfel de circuit va fi descrisa de o variabila booleana x_i).

1.4.1. Functii booleene elementare

Revenim la forma generala a unei functii booleene de n variabile:

y = f(x₁, x₂,.,x_n)

Domeniul de definitie este format din m = 2ⁿ puncte. Deoarece in fiecare din aceste puncte functia poate lua doar valorile 0 si 1 rezulta ca numarul total al functiilor booleene de n variabile este N = 2^m.

Vom considera in continuare functiile elementare de 1 variabila. Pentru n = 1 avem m = 2 si N = 4. Functia are forma y = f(x) si cele 4 forme ale ei se gasesc in tabelul urmator:

La fel se pot realiza toate functiile cu ajutorul unor functii de baza. Acestora le vor corespunde si niste circuite logice elementare, cu ajutorul carora se poate realiza practic orice tip de circuit. Tinand cont de faptul ca circuitele logice de comutatie au 2 stari stabile LOW (L) si HIGH (H), asignand lui L 0 si lui H 1 se poate intocmi un tabel al functiilor elementare.

CIRCUITE LOGICE COMBINATIONALE

2.1. Definitii

Circuitele logice combinationale, CLC, sunt un caz particular al sistemelor secventiale finite sau al automatelor finite, numite automate de grad 0.

Circuitele logice combinationale se caracterizeaza prin faptul ca variabilele de iesire sunt independente de timp si de starea interna, fiind determinate numai de variabilele de intrare (starea variabilelor de intrare la momentul considerat).

Legatura dintre starea iesirii si starea intrarii unui CLC este realizata de functia de transfer.

x₁ y₁

x₂ y₂

CLC

x_n y_m

Oricare functie de iesire y (y₁, y₂,., y_m) este functie de toate variabilele de intrare (x₁, x₂,., x_n). Un CLC se poate descrie astfel:

y₁ = f₁(x₁, x₂,., x_n)

y₂ = f₂(x₁, x₂,., x_n)

y_m = f_m(x₁, x₂,., x_n)

Functiile se vor exprima in forma canonica disjunctiva FCD sau in forma canonica conjunctiva FCC.

Independenta fata de timp presupune ca o data cu modificarea variabilelor de intrare se modifica simultan si variabilele de iesire. Din punct de vedere practic, datorita intarzierilor produse de circuitele logice si de conexiuni, modificarea simultana nu este posibila. Ca urmare, pe durata procesului tranzitoriu de stabilire a variabilelor de iesire, vectorul iesirilor poate lua valori intermediare diferite de valoarea finala, ceea ce conduce la fenomenul de hazard combinational, de care trebuie sa se tina cont la proiectarea unui sistem numeric.

In general, la circuitele logice combinationale, vom face abstractie de proprietatile fizice ale portilor logice, de faptul ca un impuls teoretic difera de unul real. Vom analiza aceste fenomene doar in cazul hazardului combinational.

2.2. Analiza circuitelor logice combinationale

In cadrul analizei CLC se pleaca de la cunoasterea schemei logice a circuitului si se urmareste stabilirea functionarii acestuia. Stabilirea expresiei variabilei de iesire se face de la intrare la iesire, urmarind transformarile variabilelor de intrare.

Definim ca numar de nivele al unui CLC numarul maxim de porti dintre intrari si iesiri. Numerotarea nivelelor se face de la iesire inspre intrare.

x₅

x₁

x₂

y₁

x₃

x₄ y₂

x₆ x₇

4 3 2 1

Circuitul logic combinational din exemplu are 4 nivele.

Exista si urmatoarea situatie de legaturi intre porti:

x₁ y

x₂

x₃

Acest circuit are si legaturi inverse. Ultimele porti nu pot fi numerotate, deci circuitul nu este un CLC.

In CLC sunt admise legaturile inverse (iesirea unei porti dintr-un nivel inferior sa fie dusa la intrarea unei porti dintr-un nivel superior) cu conditia ca definitia CLC sa fie respectata.

2.3. Sinteza circuitelor logice combinationale

In cadrul sintezei circuitelor logice combinationale se cunoaste functia pe care trebuie sa o indeplineasca circuitul si se cauta sa se gaseasca structura acestuia.

Etapele sintezei circuitelor logice combinationale sunt:

Enuntul problemei;

Alcatuirea tabelului de adevar, definirea functiei sau functiilor;

Minimizarea functiei sau functiilor;

Desenarea schemei circuitului

Exista mai multe metode de implementare a CLC, diferentiate dupa nivelul de complexitate al circuitelor integrate folosite.

2.3.1. Sinteza CLC cu circuite integrate SSI

Circuitele integrate de tip SSI - small scale integration - au pana la 50 de tranzistoare integrate pe capsula. Dintre aceste circuite fac parte portile logice fundamentale: SI-NU (NAND), SAU-NU (NOR), NU (NOT), SI (AND), SAU (OR), SAU-EXCLUSIV (XOR).

Dupa parcurgerea etapelor de sinteza se face implementarea functiei sau functiilor logice cu ajutorul circuitelor integrate existente. CLC de tip SSI se folosesc mai mult pentru adaptarea la aplicatie a circuitelor de tip MSI si LSI standardizate, care nu satisfac cu exactitate cerintele de proiectare. Ele vor fi utilizate acolo unde circuitele cu grad inalt de integrare nu pot fi folosite.

2.3.2. Sinteza CLC cu circuite integrate MSI

Circuitele integrate de tip MSI - medium scale integration - au pana la 500 de tranzistoare integrate. Ele ofera structuri mai complexe, disponibile ca si structuri standard.

Forma functiilor logice pe care dorim sa le implementam cu circuite de tip MSI trebuie sa fie corelata cu circuitele disponibile. De obicei nu mai este necesara minimizarea functiilor.

Circuite combinationale uzuale (specializate)

Convertoare de cod

Convertoarele de cod sunt CLC care permit trecerea dintr-un cod binar in altul. La intrarea circuitului se aplica cuvintele unui cod si la iesire se obtine alt cod. Convertoarele de cod fac compatibila functionarea a 2 sisteme in care informatia este codificata in mod diferit.

Codificatoare

Codificatoarele sunt CLC la care activarea unei intrari conduce la aparitia unui cuvant de cod la iesire.

3.Decodificatoare

Decodificatoarele sunt CLC la care se activeaza doar una dintre iesiri, pentru combinatia (codul) corespunzatoare a variabilelor de intrare. Ele au functie inversa codificatoarelor. Iesirile decodificatoarelor sunt active pe 0 logic (functioneaza in logica negativa).

CIRCUITE LOGICE SECVENTIALE

Circuitele logice secventiale, CLS, sunt automate de ordinul 1. Se obtin din automatele de ordinul 0 (CLC) prin introducerea unor reactii (legaturi inverse). Sunt alcatuite din circuite logice combinationale si elemente de memorare binara.

Semnalele de iesire ale CLS depind atat de combinatia semnalelor aplicate pe intrari cat si de starea circuitului. Un CLS este caracterizat printr-o secventa a semnalelor de iesire si o secventa a starilor elementelor de memorie, pentru fiecare secventa a semnalelor aplicate pe intrarile circuitului.

3.1. Circuite basculante bistabile

Definitie. Circuitele basculante bistabile (CBB sau bistabil) sunt circuite logice secventiale care au doua stari stabile distincte. Trecerea dintr-o stare in alta se face la aplicarea unei comenzi din exterior.

Caracteristica principala a CBB este ca sunt sisteme cu memorie (elemente de memorie binara). Un bistabil poate pastra un timp nedefinit informatia binara si in acelasi timp starea sa poate fi citita in orice moment. Se asociaza uneia dintre cele 2 stari ale bistabilului functia de memorare a cifrei binare 1 si celei de a doua stari functia de memorare a cifrei binare 0. Bistabilul are 2 iesiri, una care pune in evidenta cifra binara memorata, numita iesire adevarata si a doua, care pune in evidenta valoarea negata a cifrei binare memorate, denumita iesire negata.

4.1Norme de protectia muncii

Art. 60. Pentru executarea lucrarilor in instalatiile electrice sau partile din acestea,  separate electric dar nelegate la pamant si in scurtcircuit trebuie sa se realizeze in succesiune urmatoarele masuri tehnice:

a) identificarea instalatiei si locului in care urmeaza a se lucra;

b) verificarea integritatii legarii la pamant a carcaselor aparatajelor, a stalpilor si suportilor metalici si de beton, dupa caz;

c)       separarea vizibila in cazul in care blocarea directa nu se poate realiza;

d) verificarea lipsei tensiunii, dupa caz, la elementele metalice ale instalatiilor (de exemplu: stalpi metalici, stelaje metalice ale tablourilor de distributie, usi ale cutiilor de distributie, ale firidelor de bransament);

e) descarcarea de sarcina capacitiva a instalatiei la care urmeaza a se lucra;

f) delimitarea materiala a zonei de lucru, dupa caz, si montarea indicatoarelor de interzicere;

g) luarea masurilor pentru evitarea accidentelor de natura neelectrica;

h) utilizarea dispozitivelor si sculelor electroizolante.

Principalele masuri de prevenire a electrocutarii la locurile de munca sunt:

Asigurarea inaccesibilitatii elementelor care fac parte din circuitele electrice si care se realizeaza prin

amplasarea conductelor electrice, chiar izolate, precum si a unor echipamente electrice la o inaltime inaccesibila pentru om. Astfel, normele prevad ca inaltimea minima la care se pozeaza orice fel de conducto electric sa fie de 4M, la traversarea partilor carosabile de 6M, iar acolo unde se manipuleaza materiale sau piese cu un gabarit mai mare, aceasta inaltime se depaseasca cu 2.25m gabaritele respective.

Izolarea electrica a conductoarelor;

Folosirea carcaselor de protectie legate la pamant;

Ingradirea cu plase metalice sau cu tablii perforate, respectandu-se distanta impusa pana la elementele sub tensiune. qs866b1558essn

Folosirea tensiunilor reduse ( de 12, 24, 36V) pentru lampile si sculele electrice portative. Sculele si lampile portative care functioneaza la tensiune redusa se alimenteaza la un transformator coborator. Deoarece exista pericolul inversarii bornelor este bine ca atat distanta picioruselor fiselor de si 36V, cat si grosimea acestor picioruse, sa fie mai mari decat cele ale fiselor obisnuite de si 380 V, pentru a evita posibilitatea inversarii lor.

La utilizarea uneltelor si lampilor portative alimentate electric, sunt obligatorii:

varificarea atenta a uneltei, a izolatii ai a fixarii sculei inainte de incperea lucrului;

evitarea rasucirii sau a incolacirii cablului de alimentare in timpul lucrului si a deplasarii muncitorului, pentru mentinerea bunei stari a izolatiei;

menajarea cablului de legatura in timpul mutarii uneltei dint-un loc de munca in altul, pentru a fi solicitat prin intindere sau rasucire; unealta nu va fi purtata tinandu-se de acest cablu;

evitarea trecerii cablului de alimentare peste drumurile de acces si in locurile de depozitare a materialelor; daca acest lucru nu poate fi evitat, cablul va fi protejat prin ingropare, acoperire, cu scanduri sau suspendate;

interzicerea repararii sau remedierii defectelor in timpul functionarii motorului sau lasarea fara supraveghere a uneltei conectate la reteua electrica.

Folosirea mijloacelor individuale de protectie si mijloacelor de avertizare. Mijloacele de protectie individuala se intrebuinteaza de catre electricieni pentru prevenirea electrocutarii prin atingere directa si pot fi impartite in doua categorii: principale si auxiliare.

Mijloacele principale de protectie constau din: tije electroizolante, clesti izolanti si scule cu manere izolante. Izolatia acestor mijloace suporta tensiunea de regim a instalatiei in conditii sigure; cu ajutorul lor este permisa atingerea partilor conductoare de curent aflate sub tensiune.

Mijloacele auxiliare de protectie constau din: echipament de protectie (manusi, cizme, galosi electroizolanti), covorase de cauciuc, platforme si gratare cu picioruse electroizolante din portelan etc. Aceste mijloace nu pot realiza insa singure securitatea impotriva electrocutarilor.

Intotdeauna este necesara folosirea simultana cel putin a unui mijloc principal si a unuia auxiliar.

Mijloacele de avertizare constau din placi avertizoare, indicatoare de seuritate (stabilita prin standarde si care contin indicatii de atentionare), ingradiri provizorii prevazute si cu placute etc. Acestea nu izoleaza, ci folosesc numai pentru avertizarea muncitorilor sau a persoanelor care se apropie de punctele de lucru periculoase.

Deconectarea automata in cazul aparitiei unei tensiuni de atingere periculoase sau a unor scurgeri de curent periculoase. Se aplica mai ales la instalatiile electrice care functioneaza cu punctul neutru al sursei de alimentare izolat fata de pamant.

Mentionand faptul ca un curent de defect 300-500A poate deveni in anumite conditii, un factor provocator de incendii, aparatul prezentat asigura protectia si impotriva acestui pericol.

Intreruptorul este prevazut cu carcase izolante, si este echipat cu declansatoare termice, electromagnetice si releu de protectie la curenti de defect.

Separarea de protectie se realizeaza cu ajutorul unui transformator de separatie. Prin acesta, se urmareste crearea unui circuit izolat fata de pamant, pentru alimentarea echipamentelor electrice, la care trebuie inlaturat pericolul de electrocutare. In cazul uni defect, intensitatea curentului care se inchide prin om este foarte mica, deoarece trebuie sa treaca prin izolatia care are o rezistenta foarte mare.

Conditiile principale care trebuie indeplinite de o protectie prin separare sunt:

la un transformator de separatie sa nu se poata conecta dacat un singur utilaj;

izolatia conductorului de alimentare sa fie intotdeuna in stare buna, pentru a fi exclusa posibilitatea aparitii unui curent de punere la pamant de valoare mare.

Izolarea suplimentara de protectie consta in executarea unei izolari suplimentare fata de izolarea obtinuta de lucru, dar care nu trebuie sa reduca calitatile mecanice si electrice impuse izolarii de lucru.

Izolarea suplimentara de protectie se poate realiza prin

aplicarea unei izolari suplimentare intre izolatia obisnuita de lucru si elementele bune conducatoare de electricitate ale utilajului;

aplicarea unei izolatii exterioare pe carcasa utilajului electric;

izolarea amplasamentului muncitorului fata de pamant.

Protectia prin legarea la pamant este folosita pentru asigurarea personalului contra electrocutarii prin atingerea achipamentelor si instalatiilor care nu fac parte din circuitele de lucru, dar care pot intra accidental sub tensiune, din cauza unui defect de izolatie. Elementele care se leaga la pamant sut urmatoarele: carcasele si postamentele utilajelor, masinilor si ale apartelor electrice, scheletele metalicecare sustin instaltiile electrice de distributie, carcasele tablourilor de distributie si ale tablourilor de comanda, corpurile mansoanelor de calibru si mantalele electrice ale cablurilor, conductoarele de protectie ale liniilor electrice de transport etc. Instalatia de legare la pamant consta din conductoarele de legare la pamant si priza de pamant, formata din electrozi. Prizele de paman verticale sau orizontale se realizeaza astfel incat diferenta de potential la care ar putea fi expus muncitorul prin atingere directa sa nu fie mai mare de 40V.

In general, pentru a se realiza o priza buna, cu rezistenta mica, elementele ei metalice se vor ingropa la o adancime de peste 1M, in pamantul bun conducator de electricitate, bine umezit si batut.

Sistemul de priza (legare la pamant) separata pentru fiecare utilaj prezinta urmatoarele dezavantaje: este costisitor (cantitati mari de materiale si manopera); unele utilaje (transformatoare de sudura, benzi transportoare etc.) se muta frecvent dintr-un loc in altul; legatura este de multe ori incorect executata datorita caracterului de provizorat al instalatiei.

Protectia prin legare la nul se realizeaza prin construirea unei retele generale de protectie care insotesc in permanenta reteua de alimenare cu energi electrica a utilajelor.

Reteaua de protectie are rolul unui conductor principal de legare la pamant, legat la prize de pamant cu rezistenta suficient de mica.

Sistemul prezinta o serie de avantaje:

- utilajle electrice pot fi legate la o instalatie de legare la pamant cu o rezistenta suficient de mica;

- este economic, deoarece la instalatiile provizorii pentru santiere, materialele folosite pot fi recuperate in cea mai mare parte;

- este usor de realizat, putand fi folosite prizele de pamant naturale, constituite chiar din constructiile de beton armat;

- permite sa se execute legaturi sigure de exploatare, deoarece are prize stabile cu durata mare de functionare;

- toate utilajele electrice pot fi racordate cu usurinta la reteua de protectie;

- se poate executa in mod facil un control al instalatiei de legare la pamant, deoarece legaturile sunt simple si vizibile, iar prizele de pamant pot fi separate pe rand pentru masurare, utilajele ramanand protejatesigur de celelalte prize. Pentru cazul unei intreruperi accidentale a legaturii la nul se prevede, ca o masura suplimentara, un numar de prize de pamant.

In aceeasi instalatie nu este permisa protejarea unor utilaje electrice prin legare la pamant, iar a altora prin legare la nul. Instalatia de protectie nu poate fi modificata in timpul exploatarii, fara un proiect si fara dispozitia sefului unitatii respective.

Conductoarele de legare la pamant si la nul nu se vor folosi pentru alte scopuri (alimentarea corpurilor de iluminat, a prizelor monofazate etc.). Conductoarele circuitelor electrice prin care circula curentul de lucru (conductoarele de nul, de lucru) nu pot fi folosite drept conductoare de protectie. Pentru a nu se crea confuzii, conductoarele de nul de protectie se vopsesc in culoarea rosie (sau se folosesc conductoare cu izolatie rosie), iar cele de lucru in culoare alb-cenusie.

Protectia prin egalizarea potentialelor este un mijloc secundar de protectie si consta in efectuarea unor legaturi, prin conductoare, in toate partile metalice ale diverselor instalatii si ale constructiilor, care in mod accidental ar putea intra sub tensiune si ar fi atinse de catre un muncitor ce lucreaza sau de catre o persoana care trece prin acel loc.

Blibiografie

Tehnici algebrice, analitice si probabiliste utile in matematicile moderne aplicate de Orman, Gabriel V.

Bazele matematice ale sistemelor de calcul de Cocan, Moise

Matematica - Elemente de calcul integral si ecuatii diferentiale de Radomir, Irinel

MIHAIELA LUPEA

ANDREEA MIHIS LOGICI CLASICE si CIRCUITE LOGICE

TEORIE si EXEMPLE