FORME BILINIARE. FORME PATRATICE

FORME BILINIARE. FORME PATRATICE

1 Forme biliniare

Multe probleme ale geometriei, analizei, fizicii si tehnicii conduc la forme biliniare, hermitiene sau patratice.

Distanta de la un punct M la origine este o forma patratica de coordonatele punctului M ; ecuatia unei sfere in coordonate omogene este o forma patratica in coordonate, expresia analitica a energiei cinetice, asa cum intervine ea, de exemplu, in ecuatiile lui Lagrange, este o forma patratica.

Definitia t1. Fie V un spatiu vectorial peste K. O functie de doua variabile vectoriale cu valori in campul K,se numeste forma biliniara sau tensor covariant de ordinul doi pe V daca este liniara in raport cu fiecare variabila, adica daca

(t1)

(t2)

Exemplu. Produsul scalar definit pe un spatiu vectorial real este o forma biliniara, in timp ce produsul scalar definit pe un spatiu vectorial complex nu este o forma biliniara.

Teorema t1. Fie o baza arbitrara in V. O forma biliniara este complet determinata daca se cunosc valorile sale pe produsul cartezian

Demonstratie. Fie x,y arbitrari din V,

tinand seama de (1) si (2) avem

Expresia obtinuta pentru

(t3)

se numeste expresia analitica a formei biliniare . Ea arata ca o forma biliniara este unic determinata daca se cunosc cele numere din K

(t4)

numite coeficientii formei biliniare in baza B.

Matricea

(t5)

de elemente se numeste matricea formei biliniare in baza B .

Daca utilizam matricele coloana

asociate vectorilor x si y , atunci expresia analitica a formei biliniare poate fi scrisa sub forma matriceala

(t6)

Forma biliniara se numeste nedegenerata (degenerata) daca matricea sa este nesingulara (singulara). Rangul formei biliniare este rangul matricei A.

Definitia t2. Forma biliniara se numeste simetrica daca . Daca se numeste forma biliniara

antisimetrica.

Teorema t2 O forma biliniara este simetrica (antisimetrica) daca si numai daca matricea formei intr-o baza a spatiului este simetrica (antisimetrica).

Demonstratie. Presupunem ca este o forma simetrica:

in particular cuapartinand bazei din V. Cu notatiile (4) adica matricea A este simetrica Reciproc, daca A este simetrica atunci avem

deci forma este simetrica .

Teorema t3. Fie o forma biliniara data in baza B.

Daca este matricea de trecere de la baza la baza din, iar sunt matricele lui in cele doua baze respectiv, atunci

(t7)

Demonstratie. In noua baza avem

(t8)

Fie matricea formei in aceasta baza :

Notam Atunci

(t9)

Folosind acum si relatiile de legatura dintre X si X', Y si Y' anume relatiile X = CX', Y =CY' din expresia

obtinem

(t10)

Comparand cele doua expresii (9) si (10) ale lui obtinem

(t11)

Definitia t3. o forma biliniara simetrica. Multimea se numeste nucleul formei biliniare.

Propozitia tt Nucleul formei biliniare este un subspatiu vectorial al lui V.

t2. Forme patratice

Consideram un spatiu vectorial V peste campul K si o forma biliniara simetrica .

Definitia tt Functia definita prin egalitatea

(t12)

se numeste forma patratica asociata formei biliniare simetrice iar se numeste forma polara sau forma dedublata a lui .

Exemplu. Forma patratica corespunzatoare produsului scalar real este patratul normei euclidiene

Observam ca forma patratica se obtine din forma biliniara simetrica data punand y =x. Invers, determinarea formei polare din forma patratica data se face cu ajutorul relatiei

(t13)

Pentru a se obtine (13) se exprima in functie de forma simetrica

Cum avem relatia

care implica (13). Pentru a gasi expresia analitica a formei patratice punem y = x, adica y_i = x_i in expresia analitica a formei biliniare simetrice (3). Tinand seama de notatia (4) a coeficientilor formei biliniare in baza obtinem

(t14)

Din(14) rezulta ca rangul formei patratice coincide cu rangul formei biliniare simetrice asociate lui .

Definitia t5. Fie o forma biliniara simetrica si forma patratica asociata. Vectorii x,y se numesc ortogonali in raport cu (sau ) daca

(x,y) =0.

Definitia t6. Fie un spatiu vectorial al lui V. Multimea se numeste complementul ortogonal al lui U in V fata de .

Definitia t7. Fie o forma biliniara simetrica. O baza , se numeste ortogonala in raport cu forma daca

(t15)

adica oricare doi vectori e_i sunt ortogonali fata de forma . Cum , rezulta ca, in raport cu o baza ortogonala , matricea formei este diagonala.

(t16)

Notand b_ii = b_i, i=1,,n, expresiile analitice ale formei biliniare si formei patratice asociate , in baza ortogonala , devin:

(t17)

Aceste expresii se numesc expresii canonice corespunzatoare formei biliniare simetrice si respectiv formei patratice . Se spune in acest caz ca forma patratica (respectiv forma biliniara ) a fost redusa la expresia canonica .

t3. Reducerea formelor patratice si a celor biliniare simetrice la expresia canonica

Metoda lui GAUSS

Aceasta metoda opereaza asupra coordonatelor . Mai precis, dandu-se o forma patratica (14), se cauta o transformare liniara, nesingulara de matrice

astfel incat forma patratica sa se reduca la expresia canonica

Vom arata mai intai ca daca in forma patratica toti coeficientii a_ij sunt nuli (deci nu contine nici un patrat) se poate determina o transformare liniara nesingulara astfel incat forma sa contina un patrat. Intr-adevar, sa

consideram ca , de exemplu . In acest caz efectuam transformarea liniara nesingulara

x₁ = y₁ , x₂ = y₂ - y₃ , x₃ =y₂ +y₃ , x₄ = y₄,,x_n = y_n

Determinantul transformarii este

deci transformarea este nesingulara. Atunci

Deci cazul se reduce la cazul cand exista cel putin un patrat.

Fara a restrange generalitatea metodei, presupunem . Forma patratica se scrie acum punand in evidenta toti termenii care contin variabila x₁:

unde Q(x) nu mai contine variabila x₁; patratul se formeaza astfel :

sau echivalent

unde

Determinantul acestei transformari liniare este egal cu ;

Analog se procedeaza la formarea unui patrat pentru

etc.;

Dupa cel mult n-1 de astfel de operatii obtinem expresia canonica a lui . Transformarea liniara este egala cu produsul transformarilor nedegene-

rate .

Aplicatii rezolvate

Aplicatia 1

Sa se reduca urmatoarele forme patratice la expresia canonica prin metoda Gauss :

a)     

b)     

Rezolvare :

Fie transformarea :

Signatura este (2,+1,0) .

b)     

Fie transformarea :

Signatura : (1,1,1).

Aplicatia 2

Sa se aduca la expresia canonica folosind metoda valorilor proprii urmatoarea forma patratica :

Matricea este

Valorile proprii sunt radacinile ecuatiei

Signatura (2,0,1) .